| Autor |
  DGL mit y''' und e^t :( |
|
insane
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
 |  Themenstart: 2003-06-11
|
hallo,
gegeben ist folgende inhomogene DGL
y'''(t)-3y''(t)+4y'(t)-2y(t)=te^t+2t^2
wie gehe ich hier vor...wir haben letztens schon mal eine ähnliche Aufgabe gehabt allerdings auf der rechten Seite "0" stehen gehabt...wie geh ich hier vor?
kann ich die gesamte Gleichung integrieren also alle Terme einmal integrieren?
habe irgendwie keinen Ansatz gefunden...
danke schon mal
|
 Profil
|
sternenstaub
Senior 
Dabei seit: 07.02.2003
Mitteilungen: 247
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-06-11
|
Hallo insane,
da geht man immer gleich vor:
1. Loesen der zugehoerigen homogene Gleichung (also mit rechter Seite =0 wie ihr es schon gehabt habt)
2. Variation der Konstanten: In der fuer die homogenen Gleichung erhaltenen Loesung variiert man die Konstanten, schau dazu mal in Deine Mitschrift oder Buch etc.
Viele Gruesse
Sternenstaub
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-06-11
|
du löst als erstes die homogene dgl (=0).
HOMOGENE:
charakteristisches polynom: p(x)= x^2-3x^2+4x-2 (=0)
liefert die nullstellen 1, 1+i, 1-i
und somit die folgende homogene lösung:
x_h(t)= c_1*e^t + c_2*e^((1+i)*t) + c_3*e^((1-i)*t)
diese kann man auch reell schreiben:
x_h(t) = e^t (c_1 + c_2*cos(t) +c_3 * sin(t))
wobei die c_i von den anfangsbedingungen abhängen.
INHOMOGENE
die inhomogene lösung setzt sich aus zwei teilen zusammen, da du
ja zwei inhomogene teile (t*e^t und 2*t^2) hast.
t*e^t = (b_0 + b_1*t)*e^t
und die lösung hat die gestalt x_(p1)(t) = (c_0 +c_1*t)*t^k*e^t,
wobei k die vielfachheit von 1 (wegen e^(1*t) als nullstelle in
p(x) ist, also k=1.
nun setzt du diesen ansatz in die DGL (musst also dreimal
ableiten) ein und findest die c_0 und c_1, wenn du das mit t*e^t
gleichsetzt.
2*t^2 = (b_0+ b_1*t +b_2*t^2)*t^k*e^(0*t)
und die lösung hat die gestalt x_(p2)(t) = (c_0 + c_1*t+c_2*t^2),
weil ja k=0 (denn 0 ist keine nullstelle des char. poly.).
auch da verfährst du wie oben, setzt in die gleichung ein und
findest die c_i.
LÖSUNG
die allgemeine lösung setzt sich dann folgendermassen zusammen:
x(t)=x_h(t)+x_(p1)(t) + x_(p2)(t)
so ich hoffe jetzt dass da kein fehler drin ist... rechnen mochte ich nicht. aber es müsste so gehen :-) viel spass beim rechnen und gib bescheid wenn du irgendwo stecken bleibst...
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
|
hi,
leider weiß ich nicht wie und wo ich was ableiten und einsetzen soll :(
=0 habe ich hinbekommen /hatte ich schon..
dass das gesamtergebnis die summer einzellösungen ist habe ich auch verstanden...
aber die berechnung der lösungen für t*e^t und 2t^2 bekomme ich noch nicht hin...
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.4, eingetragen 2003-06-11
|
also, du nimmst an, dass eine teillösung wie beschrieben so aussieht:
y_p(t)= (c_0+c_1*t)e^t
und setzt diese nun in
y'''(t)-3y''(t)+4y'(t)-2y(t)
ein. das heisst du leitest y_p(t) dreimal ab, ziehst dann 3 mal
die zweite ableitung ab etc.
dann kommt ein term raus mit
c_0, c_1 und e^t.
nun setzt du das gleich den partiellen teil:
y'''(t)-3y''(t)+4y'(t)-2y(t) = t*e^t
und vergleichst wie die c's sein müssen, damit das aufgeht. und
fertig! das andere geht genau gleich...
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
|
so habe jetzt c_1 = -t heraus? ist das irgendwie richtig?
muss ich jetzt c_1 wieder einsetzen und c_0 berechnen?
und dann habe ich die zweite von 3 gebrauchten lösungen?
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.6, eingetragen 2003-06-11
|
nein, c_1 kann nicht etwas mit t sein. müsste eigentlich ne konstante geben. und du kriegst gerade beide auf einmal, normalerweise. wenn ich zeit finde rechne ich das noch durch und melde mich wieder.
und ja: das wäre dann die zweite lösung von 3en. die letzte wieder genauso...
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.7, eingetragen 2003-06-11
|
also: c_1 = -1 und c_0 = 0. dann sollte es stimmen. gibt ja ne saulange rechnung...
das zweite hast selber hingekriegt?
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.8, eingetragen 2003-06-11
|
beim zweiten krieg ich c_0 = 5, c_1 = 4, c_2 = -1
hoffe dass ich da jetzt keinen fehler habe in der eile. prüf das mal nach...
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
|
also irgendwie bekomme ich das nicht hin?! warum...
folgendes habe ich gemacht:
f(t) = (c_0+c_1 *t)*e^t
f'(t) = c_1*e^t + (c_0+c_1 *t)*e^t = (c_0+c_1+c_1 *t)*e^t
f''(t) = c_1*e^t + (c_0+c_1+c_1 *t)*e^t =(c_0+2*c_1+c_1 *t)*e^t
f'''(t) = c_1*e^t + (c_0+2*c_1+c_1 *t)*e^t =(c_0+3*c_1+c_1 *t)*e^t
das alles in die ausgangsgleichung eingesetzt aller dings auf der rechten seite NUR t*e^t ? richtig oder???
und dann kommt da c_1 = -t raus :(
habe noch mal nachgerechnet kommt jetzt c_1 = t raus
hilfe
-----------------
[ Nachricht wurde editiert von insane am 2003-06-11 16:10 ]
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.10, eingetragen 2003-06-11
|
also ich krieg:
y' = (c_0 + c_1 t)e^t + (c_0 + c_1 t)t e^t + c_1 t e^t
y'' = 2(c_0 + c_1 t)e^t + (c_0 + c_1 t)t e^t+ 2c_1 t e^t + 2c_1 e^t
y'''= 3(c_0 + c_1 t)e^t + (c_0 + c_1 t)t e^t + 3c_1t e^t + 6 c_1 e^t
und dann eingesetzt gibt:
c_0 e^t - c_1 t e^t
und mit t e^t gleichgesetzt krieg ich eben
c_1 = -1 und c_0 = 0
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
|
nach welcher regel hast du denn das gemacht?
ich habe produktregel genommen.. das sollte doch stimmen
e^t --> e^t bleibt
klammer ' = summe der komponenten'
****ja meine rechnung STIMMT ! habe sie gerade mit Derive überprüft!****
-----------------
[ Nachricht wurde editiert von insane am 2003-06-11 16:22 ]
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.12, eingetragen 2003-06-11
|
sorry, hab das mit maple gemacht :-)
und daher wird es sicher stimmen. musst halt bei den termen
(c_0 + c_1) t e^t aufpassen, da sie dann in (c_0 * t + c_1 *t^2) e^t übergehen. dann hast du bei zwei summanden produktregel, also gibts dann 4 summanden. das wieder zusammengefasst sollte jeweils das angegebene liefern...
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
|
wie immer überlsen :(
ich habe doch bei f(t) gar kein t vor dem e !
deswegen bekomme ich immer andere ergebnisse *lol*
danke...
werde es jetzt mal testen...
und beim 3. ? genauso oder?
ansatz = ?
danke
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.14, eingetragen 2003-06-11
|
ansatz wie oben beschrieben...
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
|
irgend etwas stimmt nicht!
deine zweite ableitung integriert ergibt nicht die erste!
habe das jetzt alles von derive errechnen lassen...
1. ableitung stimmt über ein nur andere schreibweise...
dann habe ich von dieser die ableitung und von der folgenden dann wieder die nächste...
dann habe ich die eingesetzt und es kommt heraus:
c_0 +2*c_1*t = t
also c_0 = 0 und c_1 = 1/2
???
und beim 3. :
f = c_0 + c_1 *t +c_2 *t^2
f' = c_1 + 2c_2*t
f'' = 2c_2
f'''= 0
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
|
könnte sich denn noch jemand anderes die Aufgabe angucken?!
schon mal danke
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.17, eingetragen 2003-06-11
|
entschuldige... ich habe einen fehler gemacht :-)
habe
y_p(t) = (c_0 + c_1*t) *t*e^t
genommen statt
y_p(t) = (c_0 + c_1*t) e^t
neu hab ichs nun nicht gerechnet. aber ich denke du weisst ja jetzt wie es geht.
falls ichs wirklich auch mal von hand durchrechnen soll gib mir bescheid.
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
|
wie denn jetzt? jetzt hast du mich total durcheinander gebracht :(
ich denke mit t ist es richtig???
wäre wirklich sehr sehr gut wenn du das mal komplett aufschreiben könntest....
schon mal danke..
|
Profil
|
zwaegi
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 504
| Beitrag No.19, eingetragen 2003-06-12
|
also, habe jetzt das ganze von hand durchgerechnet und komme auf folgendes ergebnis:
HOMOGENE:
wie oben bereits beschrieben
INHOMOGENE mit
2*t^2
Ansatz: y(t)= (c_0 +c_1 t + c_2 t^2)
eingesetzt in DGL:
-6c_2 + 4c_1 + 8 c_2 t - 2c_0 -2c_1 t - 2c_2 t^2 = 2*t^2
ergibt bei mir c_2 = -1 c_1 = -4 c_0 =-5
INHOMOGENE
mit t*e^t
Ansatz: y(t) = (b_0 + b_1 t)*t*e^t
eingesetzt in DGL:
b_1 t e^t + (b_0 + b_1 t)e^t = t e^t
und daraus ergeben sich b_1 = 1/2 und b_0 = 0
und die einzelnen ableitungen, die ja das thema waren:
y'(t)= b_1*t*e^t+(b_0+b_1*t)*e^t+(b_0+b_1*t)*t*e^t
y''(t) = 2*b_1*e^t+2*b_1*t*e^t+2*(b_0+b_1*t)*e^t+(b_0+b_1*t)*t*e^t
y'''(t) = 6*b_1*e^t+3*b_1*t*e^t+3*(b_0+b_1*t)*e^t+(b_0+b_1*t)*t*e^t
und das sollte jetzt wirklich stimmen...
|
Profil
|
insane
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-12
|
na also hast ja endlich das raus was ich hier die ganze zeit sage;)))
habe die eine inhomogene lösung bis zum c erechnet richtig
die zweite: ansatz richtig...
an den thread kann jetzt ein haken ran;)
vielen Dank für die ganze Mühe!
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
2023-11-28 15:46 ?
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
