| |
| Autor |
 Differentialgleichung, partikuläre Lsg. |
|
suse
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.11.2005
Mitteilungen: 22
 |  Themenstart: 2007-06-06
|
Hallo!
Noch hab ich das mit den DGL nicht inne. Habe bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten die spezielle Lösung zu finden:
y^(3)-3y´+2y=2sint
Lösen des inhomogenen Gleichungssystem mit d´Alembert-Ansatz hab ich noch geschafft:
y(t)=e^(\lambda t)
y´(t)=\lambda e ^(\lambda t)
y´´(t)=\lambda ^2 e^(\lambda t)
y^(3)(t)= \lambda ^3 e^(\lambda t)
einsetzten:
\lambda ^3 e^(\lambda t)-3\lambda e ^(\lambda t)+2e^(\lambda t)=0
<=> e^(\lambda t) (\lambda ^3 -3\lambda +2)=0
<=> \lambda ^3 -3\lambda +2=0
Mit Hilfe von Polynomdivison komm ich auf die Nullstellen:
\lambda_1=1
\lambda_2=1
\lambda_3=-2
Also ist nach dem Fundamentalsystem die Lösung der homogenen Gleichung:
y(t)=c_1*e^t+c_2*te^t+c_3*e^(-2t)
So weit so gut. Aber wie komm ich denn auf die partikuläre Lösung von
y^(3)-3y´+2y=2sint ???
Ich hab da was gelesen von Variation der Konstanten, bin mir aber garnicht sicher, ob das das richtige Schema ist, das ich dafür abwenden muß, und wenn ja, ob ich das richtig gemacht habe, denn das Gleiungssystem lässt sich nicht lösen, oder vielleicht doch?
(e^t,te^t,e^(-2t);e^t,te^t,-2e^(-2t);e^t,te^t,4e^(-2t))(u_1;u_2;u_3)=(0;0;2sint)
Wenn mir jemand sagen könnt, ob das der richtige Ansatz ist, und wenn ja, was an meinem Gleichungssystem falsch ist, wäre ich unheimlich dankbar!
Liebe Grüße
Susi
|
 Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior 
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-06-06
|
Hallo, mach mal den Ansatz
y=A*sin(t), wobei A eine reelle Zahl ist.
Viele Grüße,Sonnhard.
|
Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2007-06-06
|
Hallo, Suse, mach lieber einen Ansatz
y= A sin(t) + B cos(t).
Das geht auf sin t=1/2i (e^it + e^(-it)) zurück. Die partikulären Lösungen zu e^it und e^(-it) lassen sich mit der Eulerformel wieder als sint und cos t zurückübersetzen.
Wally
|
Profil
|
Odin
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 26.12.2005
Mitteilungen: 70
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.3, eingetragen 2007-06-09
|
Hi Wally!
Du meinst doch sicher
sin t=1/2i (e^it - e^(-it)) oder??? sonst kommst doch net auf sin(t)
oder lieg ich da jetzt falsch? (ist schon sooo spät)
LG Odin
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, eingetragen 2007-06-10
|
Hallo! Habe gerade die Aufgabe mal gerechnent und wollte fragen, ob richtig ist, was ich da fabriziert hab. 
Die homogene Lösung hat suse ja schon vorgemacht.
Ich schreib sie nochmal hin:
y_h(t)= c_1 e^t+c_2 te^t+c_3 e^(-2t)
Nun also die spezielle inhomogene Lösung:
Ich setze y^(3) - 3y' + 2y = 2e^it (*)
da Im(e^it) = sint
Dann bekomme ich ein y^~(t) = A2e^it
und setze das für y ein bei (*) ein:
2e^it = y^~(t)^(3) - 3 y^~(t)' + 2 y^~(t) = -2Aie^it - 6Aie^it + 4Ae^it = 2e^it(-4Ai + 2A)
=> -4Ai + 2A = 1
<=> A = 1/(-4i+2) = (1+2i)/(2(1-2i)(1+2i))= (1+2i)/10 = 1/10 + i/5
A einsetzen:
y^~(t) = A2e^it = (1/10 + i/5)2e^it = 1/5 e^it + 2i/5 e^it = 1/5 cost + 1/5 i sint + 2i/5 cost - 2i/5 i sint
=> y(t) = Im(y^~(t)) = 2/5 cos t + 1/5 sin t = y_p (t) (partikuläre Lö)
Die allg Lö ist dann:
y_a (t) = y_h (t) + y_p (t) = c_1 e^t+c_2 te^t+c_3 e^(-2t) + 2/5 cost + 1/5 sint
Kann man das alles so machen und auch aufschreiben. Bin mir so unsicher wegen des y~. 
Für jedes Kommentar dankbar!
|
Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.5, eingetragen 2007-06-10
|
Hallo, deine Lösung ist richtig.
Viele Grüße,Sonnhard.
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.6, eingetragen 2007-06-10
|
Hallo, Odin,
natürlich hast du recht
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, eingetragen 2007-06-10
|
Da bin ich beruhigt. Vielen Dank! 
Dieser Lösungsweg hat doch bestimmt auch einen Namen, oder? Weiß den jemand?
|
Profil
|
suse
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.11.2005
Mitteilungen: 22
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-10
|
Hallo alle zusammen!
Man, ich hab in alle möglichen Richtungen gerechnet, aber so hervorragend wie Mana bin ich da nicht drauf gekommen!
Ich lass das Thema mal unabgehakt, vielleicht weiß ja jemand wie der Lösungsweg heißt!
Vielen Dank an alle für die Lösungsfindung!
Gruß Susi
|
Profil
|
| suse hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. | | suse wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
