| Autor |
 Eine weitere DGL |
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Perso
Junior 
Dabei seit: 20.06.2007
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2007-06-20
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Hallöchen Leute,
ich will mich erstmal vorstellen:
Ich bin der Perso 22 Jahr alt und Maschinenbaustudent im 2.Semester.
Ich habe Probleme mit einer Hausübung, die ich bestehen muss weil ich sonst nicht an der Klausur teilnehmen kann.
Es handelt sich um eine inh. DGL
y'''+2y''+5y''-26y=50*exp(2x)+312*exp(2x)*cos(3x)
Den homogenen Teil habe ich schon mal gelöst, er lautet:
y_h = c_0*exp(2x)+exp(-2x)*(c_1*cos(3x)+c_2*sin(3x))
ich hoffe ihr kommt mit meiner Didaktik zurecht.
Mit dem partikulären Teil habe ich Probleme.
Ich hab ihn erstmal in Klammern geschrieben, also:
exp(2x)*(50+312cos(3x))
Hier komme ich nun nicht weiter. Könnte mir vielleicht einer sagen, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin? Wäre euch sehr dankbar
Gruß Perso
[ Nachricht wurde editiert von praeci am 20.06.2007 15:38:00 ]
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praeci
Senior 
Dabei seit: 29.12.2005
Mitteilungen: 1194
Wohnort: Magdeburg, D
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2007-06-20
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Hallo und Willkommen :)
Ich war einmal so frei und habe deinen Post etwas editiert -- sieht doch gleich ein wenig übersichtlicher aus, oder? Wenn du sehen möchtest, wie man das erreichen kann, einfach einmal auf den Bereich klicken.
Dein Problem ist nun die Bestimmung einer partikulären Lösung. Dafür gibt es bei linearen Gleichungen mit konstanten Koeffizienten im Wesentlichen zwei Verfahren: Variation der Konstanten und der Stögliedansatz. Welchen der beiden kennst du denn, bzw. wie geht ihr denn im Allgemeinen vor?
--
[Verschoben in Forum 'Lineare DGLen höherer Ordnung' von praeci]
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Perso
Junior
Dabei seit: 20.06.2007
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-20
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5y´´ soll 5y´heißen
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Perso
Junior
Dabei seit: 20.06.2007
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-20
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wir sollen es über die "Variation der KOnstanten" machen. aber diese methodik haben wir uns noch gar nicht angeschaut, was für mich "Selbstmord" heisst. In den meisten Mathebüchern steht nämlich immer nur viel text und zu wenig Rechnung.
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Hans-im-Pech
Senior
Dabei seit: 25.11.2002
Mitteilungen: 6919
| Beitrag No.4, eingetragen 2007-06-20
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Hi Perso,
Variation der Konstanten heißt erstmal folgendes:
Du bekommst ein y_h (x)=C*f(x) als Lösung der homogenen Gleichung.
Du setzt nun y_s (x) = C(x)*f(x) an, leitest das ab und setzt das in die DGL ein.
Der Clou ist also nur, die Konstante C als Funktion von x zu betrachten.
Viele Grüße,
HiP
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Perso
Junior
Dabei seit: 20.06.2007
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-20
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weise sprach der mathematiker zum landwirt :-)
Wie meinst du das mit C als funktion von x?
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praeci
Senior
Dabei seit: 29.12.2005
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Wohnort: Magdeburg, D
| Beitrag No.6, eingetragen 2007-06-20
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Genau so wie es da steht. In deiner homogenen Lösung tummeln sich eine ganze Menge c's -- die Integrationskonstanten. Im geforderten Ansatz variiert man diese, in dem man die c's nicht mehr als konstant betrachtet, sondern als Funktionen von x.
Für dich bedeutet das: Du nimmst als Ansatz für eine partikuläre Lösung die homogene Lösung, "änderst" alle c's in c(x) (c_0 --> c_0(x), c_1(x), c_2(x)) und setzt diese neue Funktion in die inhomogene Differentialgleichung ein.
Mache das einmal, dann schauen wir weiter.
--
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Perso
Junior
Dabei seit: 20.06.2007
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-21
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hab es gestern noch gelöst. war ja wirklich nicht schwer. danke für eure hilfe leute.
Habe eine weitere Frage
Wie ist der partikuläre Ansatz für
ys=exp(2x)(50+312cos(3x))
ich habe dafür geschrieben
y=exp(2x)(312cos(3x)+312sin(3x)) das ganze habe insgesamt 3 mal abgeleitet, weil AusgangDGL y´´´+2y´´+5y´-26y=exp(2x)(50+312cos(x)),
und dann gleich gesetzt. jedoch bekomme ich ein Polynom ersten Grades raus mit cos und sin. Hier funktionert der Koeffizientenvergleich nicht mehr. Oder bin ich etwa auf dem falschen weg?
Bitte um Hilfe
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.8, eingetragen 2007-06-21
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Hallo, wie lautet denn nun deine Gleichung wirklich:
y^'''+2*y^''+5*y'-26*y=50*e^(2*x)+312*e^(2*x)*cos(3*x)?
Die hast du nun gelöst?
Viele Grüße,Sonnhard.
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Perso
Junior
Dabei seit: 20.06.2007
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-21
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wie sie wirklich lautet? Wie meinst du das. ich habe es doch hingeschrieben.
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
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| Beitrag No.10, eingetragen 2007-06-21
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Hallo, dann lies mal deinen ersten Post.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Perso
Junior
Dabei seit: 20.06.2007
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-21
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also ich schreib es nochmal aus:
Ausganggleichung ist:
y´´´+y´´+5y´-26y=50exp(2x)+312exp(2x)cos(3x)
der homogene teil ist:
yh=c0exp(2x)+exp(-2x)*(c1cos(3x)+c1cos(3x))
mit dem partiküläre teil habe ich probleme. ich finde keine standardansatz aus der tabelle, weil die 50exp(2x) zuviel
also ich schreib es nochmal aus:
Ausganggleichung ist:
y´´´+y´´+5y´-26y=50*exp(2x)+312*exp(2x)cos(3x)
der homogene teil ist:
yh=c0*exp(2x)+exp(-2x)*(c1*cos(3x)+c1*cos(3x))
mit dem partiküläre teil habe ich probleme. ich finde keine standardansatz aus der tabelle, weil die 50exp(2x) zuviel
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
EDIT praeci: Wenn du nach fedon ein mixon (mit \ am Anfang) einfügst, kleben die Buchstaben nicht so aneinander.
[ Nachricht wurde editiert von praeci am 21.06.2007 22:37:48 ]
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praeci
Senior
Dabei seit: 29.12.2005
Mitteilungen: 1194
Wohnort: Magdeburg, D
| Beitrag No.12, eingetragen 2007-06-21
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Hallo Perso,
da das ganze eine lineare Differentialgleichung ist, kannst du auch so vorgehen: Bestimme zu jedem Summanden eine partikuläre Lösung und addiere diese anschließend auf zu einer partikulären Lösung der Ausgangsgleichung.
Für den zweiten Summanden exp()*cos() setzt du eine Funktion der Form exp()*(Acos() + B*sin()) an, mit dem gleichen Argument wie im Summanden. Der Sinus-Term ist notwendig, weil in der Differentialgleichung ungerade Ableitungen auftreten (1. und 3.); diese sorgen beim Ableiten des cos für ein Auftreten von Sinus-Termen.
Anschließen die Terme sortieren, und dann Koeffizientenvergleich.
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Perso
Junior
Dabei seit: 20.06.2007
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-22
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thanx. eine wirklich gut idee. sowas ähnliches habe ich mir auch schon überlegt, aber jetzt wo du es sagst habe ich viel mehr motivation es über diesen weg zu probieren.
ein Lob an die leute in diesem forum
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