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| Autor |
  ganze Funktionen |
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Leeloo
Junior 
Dabei seit: 04.06.2003
Mitteilungen: 15
 |  Themenstart: 2003-06-19
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kann mir jemand bei folgender aufgabe helfen? ich hab zwar verstanden, was ganze funktionen sind. weiß aber nicht wie ich anfangen soll!
bestimmen sie alle! ganzen funktionen f mit f verknüpft mit f ist gleich f zum quadrat also mit f(f(z)) = (f(z))^2
für alle komplexen z.
schon mal danke leeloo
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 Profil
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scorp
Senior 
Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-06-19
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Hi Leeloo,
hier mal eine spontane Idee, ohne Garantie auf Richtigkeit:
f(f(z)) = ((f(z)))^2
d/dz *f(f(z)) = d/dz *((f(z)))^2
f'(f(z))*f'(z) = 2*f(z)*f'(z)
f'(f(z)) = 2*f(z)
d/dz *f'(f(z)) = d/dz *2*f(z)
f''(f(z))*f'(z) = 2*f'(z)
f''(f(z)) = 2
=>
f'''(f(z))*f'(z) = 0
=> f'''(f(z))=0 \or f'(z)=0
=> f'''(f(z))=0
#Falls f nicht konstant ist, so ist f''' null,
#fuer alle z aus der Wertemenge von f.
#Falls f konstant ist, ist f''' sowieso null.
#Daher vermute ich, dass gilt
f''' = 0
#Wenn es bis hierher stimmen sollte, so hat f die Form
f:z->az^2 + bz + c
#Einsetzen:
f(f(z)) = (f(z))^2
f(az^2+bz+c) = (az^2+bz+c)^2
a(az^2+bz+c)^2 + b*(az^2+bz+c) + c = (az^2+bz+c)^2
(az^2+bz+c)^2*(a-1) + b*(az^2+bz+c) + c = 0
(az^2+bz+c)*((az^2+bz+c)*(a-1) + b) + c = 0
#Daraus erhaelt man das folgende Gleichungssystem
#(Rechenfehler nicht auszuschliessen).
a^3-a^2 = 0
2a^2*b-2ab = 0
ab^2+2a^2*c-b^2-2ac+ab = 0
2abc-2bc+b^2 = 0
ac^2-c^2+bc+c = 0
a=0 \or a=1
2ac*(a-1)+ab^2-b^2+ab=0
b*(2c*(a-1)+b)=0
c*(c*(a-1)+b+1)=0
Ich bekomme drei Loesungen heraus. Du auch...?
Gruss,
/Alex
[ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-06-19 15:17 ]
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Profil
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LutzL
Senior
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-06-19
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Hi,
eine ganze Funktion, d.h. ein Polynom, ist surjektiv.
In obiger Ableitung kam die Gleichung
f'(f(z))=2*f(z)
vor, wobei man die (endlich vielen) Punkte mit f'(z)=0 ausschliessen muss. Also gilt, bis auf diese endlich vielen Punkte,
f'(w)=2w oder f(w)=w^2+C
naje, jetzt noch pruefen, C ausrechnen...
Ciao Lutz
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LutzL
Senior
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-06-20
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Hi,
wobei, wenn man die Surjektivitaet ganzer Funktionen (Anwendung Fundamentalsatz) auf die Ausgangsgleichung anwendet, kommt direkt bei w=f(z) heraus f(w)=w ², und das ist eindeutig.
Ciao Lutz
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
|  Beitrag No.4, eingetragen 2003-06-20
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@Lutz: Sind f(z)=0 und f(z)=1 nicht auch ganze Funktionen?
Gruss,
/Alex
[ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-06-20 11:29 ]
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
|  Beitrag No.5, eingetragen 2003-06-20
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@leeloo: Bitte um Rueckmeldung, ist die Aufgabe damit erledigt?
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| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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