| |
| Autor |
  Trapezhöhe bei gegebener Fläche und Diagonalensumme |
|
robertoprophet
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
 |  Themenstart: 2007-10-05
|
Hallo, folgende Aufgabe entstammt dem BWM 1989/Runde 1: Bei einem Trapez ist die Summe der Diagonalen ist e+f=4m, der Flächeninhalt A=2m². Bestimmen Sie die Höhe des Trapezes!
Vorneweg: Ich weiß schon die Lösung, nämlich e=f=2, demnach ist das Trapez ein Quadrat und die Höhe gleich der Seitenlänge gleich Wurzel 2. Darauf bin ich aber nur durch "Probieren" gekommen. Mein Ansatz waren ja verschiedene Gleichungen, allerdings mit sehr vielen Variablen. Ich ging zunächst von c größer gleich a aus und definierte c=a+x+y, wobei x und y größer gleich 0 sind. Dabei habe ich versucht zu zeigen, dass x=y=0 sein muss, was mir aber nicht gelang. Ein Freund meinte, dass A=e*f*sin(alpha), wobei alpha der Schnittwinkel der Diagonalen ist. Damit könnte man es schön zeigen, doch in meinem Tafelwerk steht diese Formel nicht. Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
|
 Profil
|
fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-10-05
|
\
Hallo Robert!
Einer von Euch beiden hat sich geirrt, die Formel für A ist falsch.
Du kannst aber das Trapez durch die beiden Diagonalen in vier Dreiecke zerlegen. Zwei davon haben einen Winkel \a, die anderen beiden einen Winkel (\p-\a). Du kennst vielleicht die Formel
A_Dreieck=ab/2*sin|\g
Dabei bezeichnet \g den von den beiden Dreiecksseiten a und b eingeschlossenen Winkel.
Zerlege also die beiden Diagonalen geeignet in je zwei Summanden
e=e_1+e_2
f=f_1+f_2
und wende dann viermal die obige Flächenformel an. Beachte dabei
sin(\p-\f)=sin|\f für alle \f
Nach Addition der vier Flächen kommst Du durch einfache Umformungen zur richtigen Formel für A_Trapez.
Liebe Grüße, Franz
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-06
|
Hab in der Eile das 1/2 vergessen: Die Formel lautet demnach A=1/2*e*f*sin(alpha)
|
Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior 
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.3, eingetragen 2007-10-06
|
Hallo, A=1/2*e*f*sin(\alpha), daraus ergibt sich:
4=e*f*sin(\alpha)<=e*f.Wegen (e+f)/2>=sqrt(ef) kommt man auf e=f.
Viele Grüße,Sonnhard.
|
Profil
|
fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.4, eingetragen 2007-10-06
|
\quoteon(2007-10-06 00:46 - robertoprophet)
Hab in der Eile das 1/2 vergessen: Die Formel lautet demnach A=1/2*e*f*sin(alpha)
\quoteoff
Hi Robert!
Dann hast also Du  Dich geirrt, nicht Dein Freund.
Jetzt stimmt die Formel jedenfalls.
Aus Deinem letzten Beitrag geht aber nicht hervor, ob Du die Aufgabe schon gelöst hast, oder ob Du weitere Hilfe brauchst:
Hast Du die Formel mit meinen Anleitungen auch schon herleiten können?
Hast Du noch Fragen zum Rest der Aufgabe?
Statt Sonnhards AGM-Ungleichung könntest Du übrigens auch (vielleicht etwas elementarer) den Satz von Vieta anwenden.
Falls Dir also noch etwas unklar ist, dann fasse Dich nächstes Mal besser nicht so kurz wie dieses Mal .
Liebe Grüße, Franz
|
Profil
|
robertoprophet
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-07
|
Mir ist die Aufgabe inzwischen vollkommen klar. Ich konnte die Formel herleiten und verstehe auch, wie man auf e=f=2 kommt. Die AGM-Ungleichung ist mir geläufig. Wie es dann weitergeht ist einfach. Aber auf den Weg zu kommen ist eben schwer. Blos verstehe ich nicht, wie mir der Satz des Vieta hilft. Ich dachte immer der hilft mir nur bei Gleichungen der Form x^n+(a(1))*x^(n-1)+...+(a(n))=0.
[ Nachricht wurde editiert von robertoprophet am 08.10.2007 10:32:29 ]
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.6, eingetragen 2007-10-08
|
\quoteon(2007-10-07 21:05 - robertoprophet)
Blos verstehe ich nicht, wie mir der Satz des Vieta hilft. Ich dachte immer der hilft mir nur bei Gleichungen der Form x^n+(a(1))*x^(n-1)+...+(a(n)).
\quoteoff
\
Ja, deshalb kannst Du Dir mit Hilfe dieses Satzes so eine Gleichung \(auch wenn bei Dir gar keine Gleichung dasteht ...) konstruieren.
Das Zwischenresultat 1/2*e*f*sin|\a=2|cm^2 kann man wegen
0<\a<\p => sin|\a>0 => sin|\a!=0
auch umformen zu
\ll(1) e*f=4/(sin|\a)|cm^2
Zusammen mit dem gegebenen
\ll(2) e+f=4|cm
kennen wir also Summe und Produkt der beiden Diagonalen. Nach dem Satz von Vieta sind aber e und f die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung
\ll(3) x^2-(e+f)*x+e*f=0
Wenn wir hierin \ref(1) und \ref(2) einsetzen, und zur Abkürzung x=y*1|cm substituieren, so ergibt sich nach Division durch 1|cm^2
y^2-4*y+4/(sin|\a)=0
und diese Gleichung ist gleichwertig mit
\ll(4) (y-2)^2+4*(1/(sin|\a)-1)=0
Wegen (y-2)^2>=0 und 4>0 ist diese Gleichung für 1/(sin|\a)-1>0 unlösbar. Aus dem gegenteiligen 1/(sin|\a)-1<=0 folgt aber wegen sin|\a>0 sofort sin|\a>=1 und daraus wegen sin|\a<=1 als einzige verbleibende Möglichkeit sin|\a=1. Damit geht \ref(4) über in
(y-2)^2=0
und diese Gleichung hat die Doppellösung y_1=y_2=2. Wenn wir die Substitution x=y*1|cm rückgängig machen, erhalten wir als Resultat, daß die Gleichung \ref(3) die Doppellösung x_1=x_2=2|cm hat, also gilt auch e=f=2|cm.
Nun fehlt nur noch der Beweis, daß jedes Trapez mit gleichlangen Diagonalen ein Rechteck ist \(das schaffst Du alleine \?).
EDIT: Das ist natürlich Unsinn, sorry wegen der Irreführung! END EDIT
Dein "Ich weiß schon die Lösung, nämlich array(e=f=2\, demnach)____ ist das Trapez ein Quadrat" aus dem Eröffnungspost ist natürlich falsch. Daß es sich bei dem Rechteck um ein Quadrat handelt, kann man erst folgern, wenn man auch den gegebenen Flächeninhalt A=2|cm^2 \(oder auch das obige Zwischenergebnis sin|\a=1) berücksichtigt \(auch diesen Teil des Beweises mußt Du also noch nachholen!).
Dann endlich ist die gesuchte Trapezhöhe h gleich der Quadratseite:
h=e/sqrt(2)=(2|cm)/sqrt(2)=sqrt(2)|cm
Liebe Grüße, Franz
[ Nachricht wurde editiert von fed am 11.10.2007 22:37:08 ]
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-11
|
Nun poste ich mal meinen fertigen Beweis. Zu Beginn werden die Diagonalenabschnitte benannt zwecks besserer Übersicht. e=e_1+e_2 und f=f_1+f_2. Der Winkel zwischen e_1 und f_1 sei \alpha, der zwischen e_1 und f_2 \beta. Es ist zu beachten, dass \alpha+\beta=180° (Nebenwinkel). Weiterhin ist folgende Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken bekannt: A_Dreieck=0,5a*b*sin(\alpha), wobei \alpha der eingeschlossene Winkel der Seiten a und b ist. Jetzt kann man folgende Gleichungen aufstellen: A_1=0,5e_1*f_1*sin(\alpha), A_2=0,5*e_1*f_2*sin(\beta), A_3=0,5*e_2*f_2*sin(\alpha) und A_4=0,5e_2*f_1*sin(\beta). Nach Addition aller 4 Gleichungen erhält man eine Formel für den Flächeninhalt des Trapezes, schließlich ergeben alle 4 Teildreiecke das Trapez. Nach Ausklammern und Berücksichtigung, dass sin(\alpha)=sin(180°-\alpha),(also in diesem Fall gilt sin(\alpha)=sin(\beta)) erhält man: A_Trapez=0,5*e*f*sin(\alpha). Daraus folgt 4m^2=e*f*sin(\alpha) und weiterhin 4m^2<=e*f, da der Sinus eines Winkels höchstens 1 sein kann. Außerdem ist bekannt, dass das arithmetische Mittel stets größer oder gleich dem geometrischen Mittel ist. In diesem Fall bedeutet das:
(e+f)/2>=sqrt(e*f) , da beide Werte positiv sind ist Quadrieren eine Äquvalenzumformung
(e+f)^2/4>=e*f
4m^2>=e*f. Nun gilt aber: 4m^2<=e*f<=4m^2. Daraus folgt unmittelbar, dass e*f=4m^2 sein müssen. Es gelten folgende Gleichungen:
e+f=4m
e*f=4m^2. Es darf bedenkenlos durch die Variablen dividiert werden , da sie immer von 0 verschieden sind, schließlich existieren ja die Diagonalen.
e^2+4e+4m^2=0
e_(1,2)=2+,-sqrt(4-4)
e=2m Daraus folgt sofort f=2m. Nun ist es bekannt, dass ein Trapez, dessen Diagonalen gleich lang sind, ein Rechteck ist. Es muss nun also gelten:
a*b=2m^2 (hierbei sind a und b die Rechteckseiten)
a^2+b^2=4m^2 (Pythagoras über a,b und die 2 m lange Diagonale e oder f) Auch hier darf wieder bedenkenlos durch die Variablen dividiert werden.
a=2m^2/b
b^4-4b^2+4m^4=0 , b^2=x
x^2-4x+4m^4=0
Man erhält wieder nur eine Lösung, da die Diskriminante 0 ist.
x=2m^2 , woraus folgt a=b=sqrt(2)m. Demnach ist das Rechteck sogar ein Quadrat, weil alle Seiten gleich lang sind. In Quadraten ist die Höhe logischerweise gleich der Seitenlänge. Die Antwort der frage lautet demnach: h=sqrt(2)m
PS: Es kann sein, dass ich mich manchmal mit den Einheiten vertan habe. Ich hätte wohl besser ohne Berücksichtigung der Einheiten rechen sollen, aber was soll's.
PPS: @fru: Es reicht indessen bei Schülerwettbewerben meist völlig, einen bekannten Sachverhalt anzugeben, wie z.B. bei diesem Rechteck. So muss ich ja auch nicht den Satz des Pythagoras beweisen, wenn ich ihn denn verwende.
[ Nachricht wurde editiert von robertoprophet am 11.10.2007 22:06:44 ]
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.8, eingetragen 2007-10-11
|
Hi Robert, da hast Du Dich leider irreführen lassen von mir:
Aus der gleichen Länge der Diagonalen folgt natürlich nur, daß das Trapez gleichschenkelig ist. Ich habe es selbst soeben erst bemerkt.
Es mag also vielleicht reichen, einen bekannten Sachverhalt bloß anzugeben. Aber hierbei handelt es sich um keinen solchen.
Tut mir Leid wegen der Irreführung, für nächstes Mal merke Dir aber:
Kontrolle ist besser als Vertrauen !
Wenn Du einen Sachverhalt als "allgemein bekannt" einstufen willst, dann solltest Du also zumindest versuchen, ihn in einem Lehrbuch als Satz vorzufinden.
Liebe Grüße, Franz
[ Nachricht wurde editiert von fru am 11.10.2007 22:44:11 ]
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.9, eingetragen 2007-10-11
|
\quoteon(2007-10-11 21:54 - robertoprophet)
\
e^2+4e+4m^2=0
e_(1,2)=2+,-sqrt(4-4)
...
PS: Es kann sein, dass ich mich manchmal mit den Einheiten vertan habe. Ich hätte wohl besser ohne Berücksichtigung der Einheiten rechen sollen, aber was soll's.
\quoteoff
\
Das ist keine vernünftige Einstellung zu selbst erkannten Fehlern.
Neben den fehlenden Einheiten gibt es aber noch weitere Fehler.
Da Du bis dahin mit den Längen selbst gerechnet hast, wäre es so richtig gewesen:
e^2-4m*e+4m^2=0m^2
e_1,2=2m+-sqrt((2m)^2-4m^2)=2m+-0m=2m
Wie man korrekt ohne Einheiten \(also mit Maßzahlen) rechnen könnte, habe ich Dir ja im Beitrag No. 6 ausführlich erklärt und vorgeführt.
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-11
|
Was genau bedeutet gleichschenkelig? Kann man daraus trotzdem folgern, dass die 4 Teildreiecke gleich groß sind? Wenn nicht, sehe ich erst mal keine Möglichkeit zu begründen, dass das Trapez ein Quadrat ist.
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.11, eingetragen 2007-10-12
|
"Gleichschenkelig" bedeutet, daß die Längen der beiden Schenkel gleich sind. Ein Trapez hat ein Paar paralleler Seiten, die beiden anderen Seiten nennt man die Schenkel.
Daß das Trapez ein Quadrat ist, kannst Du auch nicht begründen, weil es gar kein Quadrat sein muß. Diese Annahme war von Anfang an falsch!
|
Profil
|
viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.12, eingetragen 2007-10-12
|
Hi roberto,
gehen wir das Ding mal geometrisch an:
A liegt im Ursprung. Dann wähle ich mal C beliebig und gucke, was passiert.
f=AC ist schon mal die eine Diagonale. yC ist die Höhe des Trapezes. Auf dieser Höhe muß auch D liegen. Also legen wir es auf diese Höhe, irgendwo. Die Diagonale e=4-f liegt ja schon fest, also schlagen wir einen Kreis um D, um B zu bekommen.
Damit ist unser Trapez komplett. Welche Fläche hat es? Lassen wir das erst mal beiseite und schauen, welche Auswirkungen die Wahl von D hat.
Schiebe ich D etwas nach links, wandert B um die gleiche Distanz nach links (denn DB ist ja fest). D.h. in dem Maße, wie die Seite CD vergrößert/verkleinert wird, paßt sich AB an und wird kleiner/größer, woraus folgt AB+CD=konstant. Oha! In der Formel für die Fläche kommt ja AB+CD (Summe der Grundseiten) vor. Wenn die Wahl von D aber nix an der Fläche ändert, dann kann ich mir ja auch eine günstige Lage aussuchen! Also lege ich es mir auf die y-Achse:
Beachte: gleiche Fläche.
Damit ist die Theorie, das Trapez sei ein Quadrat, futsch (Es wird sich später herausstellen, daß es eins sein kann). Schlimmer noch: es hat gar keine feste Form. Die Ecke D kann (in gewissen Grenzen) frei verschoben werden.
Die Trapezfläche hängt nur von der Wahl von C ab.
Und wo soll das C nun liegen? Bemühen wir ein wenig Herrn Pythagoras:
Fläche=(x_C+x_B)/2*y_C
f^2=x_C^2+y_C^2
e=4-f => e^2=(4-f)^2
\align\ x_B^2=e^2-y_C^2
=(4-f)^2-y_C^2
=(4-sqrt(x_C^2+y_C^2))^2-y_C^2
\stopalign\ Zurück zur Fläche:
2=(x_C+sqrt((4-sqrt(x_C^2+y_C^2))^2-y_C^2))/2*y_C
Igitt 
Aber ein 3D-Plot der rechten Seite zeigt etwas Erstaunliches:
Die Funktion hat einen Gipfel, der gerade mal so die Höhe 2 erreicht.
Der Punkt C kann also gar nicht so frei gewählt werden. Er muß vielmehr an einer bestimmten Stelle liegen. Die Rechnung überlasse ich dir (das Ergebnis kenne ich) 
Und damit löst sich auch das Problem, daß die Aufgabe eigentlich unterbestimmt ist. Die Höhe des Trapezes, bei der die Fläche 2 angenommen werden kann, ist eindeutig, nämlich h=yC. Und mehr ist gar nicht verlangt. Ob das Trapez gleichschenklig ist oder sonst eine Sonderform hat, ist unerheblich (aber es ist für jedes D in der Tat gleichschenklig).
Gruß vom 1/4
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-12
|
Puh, also in diese geometrische Lösung kann ich mich irgendwie nicht hineinversetzen, es muss doch auch anders gehen! Es ist ja nun auch bekannt, dass die Diagonalen senkrecht zueinander stehen, wegen sin(α)=1(das ergibt sich nach dem einsetzen der Größen in die Formel A=1/2*e*f*sin(α)). Wie komme ich auf (a+c)=2*2^(1/2)?
|
Profil
|
viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
| Beitrag No.14, eingetragen 2007-10-12
|
Gib's zu: die Bildchen waren nett anzusehen, aber der Umfang hat Dich abgeschreckt
Die Gedankengänge sind nicht kompliziert. Versuch es.
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-12
|
Irgendwie verstehe ich das nicht. In Deinen Skizzen ist DA auf der y-Achse, wir wissen aber, dass das Trapez gleichschenklig ist, demnach müsste ja BC parallel zu DA sein.
|
Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior 
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.16, eingetragen 2007-10-12
|
Hallo, gleichschenklig bedeutet nur, dass BC=DA ist, die beiden Seiten müssen nicht parallel sein.
Viele Grüße,Sonnhard.
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-12
|
Ja, das ist mir inzwischen schon klar, aber warum hat dann viertel D auf die y-Achse gelegt, wobei A im Koordinatenursprung ist, und dabei die Parallelität nicht beachtet?
|
Profil
|
viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
| Beitrag No.18, eingetragen 2007-10-12
|
\quoteon(2007-10-12 20:33 - robertoprophet)
Irgendwie verstehe ich das nicht. In Deinen Skizzen ist DA auf der y-Achse, wir wissen aber, dass das Trapez gleichschenklig ist, demnach müsste ja BC parallel zu DA sein.
\quoteoff
Das stimmt so nicht ganz.
"In Deinen Skizzen ist DA auf der y-Achse…"
Wohl doch nur in der zweiten.
"Wir wissen aber, dass das Trapez gleichschenklig ist…"
Woher? Das steht von vornherein doch gar nicht fest. Das ergibt sich erst im Verlauf meiner Rechnung (siehe die letzte Klammer in meinem Post), wie bei eurem Weg auch.
Du betrachtest meinen Weg mit dem Vorwissen aus den vorherigen Rechnungen. Es ist aber ein neuer Ansatz, der nur auf der Aufgabenstellung aufsetzt.
Manchmal geht man an Aufgaben ran, indem man einfach mal was ausprobiert. Ich habe zB C frei gewählt, der Rest der Konstruktion ergibt sich dann. Daraus wird dann die Randbedingung für C entwickelt, das letztendlich halt doch nicht frei wählbar ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-12
|
Dann verstehe ich diesen 3D-Plot nicht. Welche rechte Seite meinst Du? Die von der"Igitt"-Gleichung?
|
Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.20, eingetragen 2007-10-12
|
Hallo, fälle von D bzw. C die Lote auf AB. Die Lotfußpunkte seien D' bzw C'.Dann sind die Dreiecke D^' DB und AC' C konkruent wegen Übereinstimmung in zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel. Dann sind in dem rechtwinkligen Dreieck mit dem Diagonalenschnittpunkt S, also in ABS die Basiswinkel 45° und demnach:
sin(45°)=h/e=h/2 und folglich h=2*sin(45°)=2*sqrt(2)/2=sqrt(2).
Viele Grüße,Sonnhard.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-13
|
Danke, nun habe ich auch den letzten Schritt zur Lösung bei meinem Weg. Der Schnittpunkt der Diagonalen sei mit S bezeichnet. h verlaufe durch S, die Fußpunkte auf den Seiten a und c seien X und Y. Nun sind die Dreiecke AXS und SXB nach SWS kongruent (AS und BS sind wegen des gleichschenkligen Trapezes gleich lang), und analog ist sind DSY und YSC kongruent. Weiterhin sind DSY und SXB ähnlich, deren Innen winkel sind 90, 45 und 45 Grad. Es gilt daher folgende Beziehung: f1/sin(90)=h1/sin(45) und f2/sin(90)=h2/sin(45) (es wurden XS und SY mit h1 und h2 bezeichnet, wobei beide zusammen h ergeben). Addition führt auf: f1+f2=(h1+h2)/sin(45), 2=h/sin(45), h=2/2*2^(0,5), und nun ist h endlich Wurzel 2.
|
Profil
|
viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
| Beitrag No.22, eingetragen 2007-10-13
|
\quoteon(2007-10-12 23:13 - robertoprophet)
Dann verstehe ich diesen 3D-Plot nicht. Welche rechte Seite meinst Du? Die von der"Igitt"-Gleichung?
\quoteoff
Ja, genau die Gleichung.
Der Punkt C(xC|yC) wurde ja von mir frei gewählt. Besagte rechte Seite stellt nun eine Funktion A(xC,yC) dar, die die Fläche der Figur in Abhängigkeit von C berechnet. Die 2 auf der linken Seite ist ja die Soll-Fläche von 2m2.
Der 3D-Plot zeigt die Funktion A auf dem Quadrat [0;2]×[0;2]. Und da gibt es mal gerade eine Stelle, an der der Wert 2 auch wirklich angenommen wird. Und das ist der inzwischen hinlänglich bekannte Punkt (√2|√2).
In dieser Grafik liegt C an der richtigen Stelle, und D wird verschoben. Alle diese Trapeze erfüllen die Vorgaben (A=2m2, e+f=4m), auch das Quadrat (D auf der y-Achse) ist dabei (ich mußte das Bild leider wegen der 48kb-Beschränkung verkleinern):
|
Profil
|
robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2007-10-13
|
Also mit der Kenntnis f=2 lässt sich diese Igitt-Gleichung auch als Gleichung mit nur einer Variablen lösen. Es kommt auch tatsächlich y(c)=2^(1/2) raus. Damit ist das ganze Problem nun abgehakt.
|
Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.24, eingetragen 2007-10-13
|
Hallo, na da freuen wir uns aber.
Viele Grüße,Sonnhard.
|
Profil
|
viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
| Beitrag No.25, eingetragen 2007-10-13
|
\quoteon(2007-10-13 10:20 - robertoprophet)
Also mit der Kenntnis f=2 lässt sich diese Igitt-Gleichung auch als Gleichung mit nur einer Variablen lösen.
\quoteoff
Ja schon, aber diese Erkenntnis wurde auf anderem Weg gewonnen und kann daher nicht einfach so in die Rechnung eingebracht werden. Das ist so, als stünde diese Information schon in der Aufgabenstellung mit drin.
|
Profil
|
robertoprophet hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
robertoprophet hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
2023-12-08 22:11 !
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
