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| Autor |
 Reihen einbeschriebener Quadrate |
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papst
Neu 
Dabei seit: 21.05.2002
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2002-05-21
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Hallo Leute, ich bin Schüler wer kann mir bitte folgendes beispiel erklären:
Einem Dreieck mit c=7 cm und h=10 cm wird ein Quadrat eingeschrieben. Dem Dreieck über dem Quadrat wird wieder ein Quadrat eingeschrieben usw. Brechne den flächeninhalt von unendlich vielen Quadraten.
thx papst
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-05-21
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Hallo!
Die Reihe sollte so aussehen:
(7/17h)²+(10/17*7/17*h)²+[(10/17)²*7/17*h)²+[(10/17)^3*7/17h)²...
(7/17*h)² ausklammern:
(7/17h)²*å von n=0 bis n=¥ von [(10/17)^2]^n
Summenformel:åa^x = (a^(n+1)-1)/(a-1)
Hierdrauf angewendet:
å(0,346)^x = (0,346^¥-1)/(0,346-1)
Zähler ist -1, Nenner 0,346-1, die Summe ist dann 1,529...die Quadrate decken dann 1,529*(7/17*h)² =25,926 von den 35 ab.
(Ich hoffe mal,es war vorausgesetzt, dass das Dreieck gleichschenklig ist, sonst weiss ich nicht, ob das stimmt).
Nachdem ich mich jetzt ca. 15mal verrechet habe, sollte es jetzt stimmen...
Du kannst auch einfach folgendes machen: Betrachte nur das erste Quadrat und die beiden anliegenden Dreiecke und berechne deren Flächeninhalte. Das Verhältnis Quadrat/(Quadrat + Dreiecke) = alle Quadrate/35
Gruß
Fabi
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2002-05-21 22:08 ]
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2002-05-21
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Hallo papst,
ist ein allgemeines Dreieck gemeint, also nicht notwendig rechtwinklig?
Gesucht ist also die Summe der lila-Flächen (die Zeichnung zeigt nur die ersten 3 Quadrate, den Prozeß muß man sich fortgesetzt denken).
Ist es so gemeint?
Gruß
Matroid
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-05-21
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Eigentlich müsste meine Lösung auch auf beliebige Dreiecke übertragbar sein: Käme bei verschiedenen Dreiecken mit c=7 und h=10 unterschiedliche Werte heraus, wäre ja die Aufgabe nicht lösbar...oder es ist doch vorrausgesetzt, dass es gleichschenklig ist.
Gruß
Fabi
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
| Beitrag No.4, eingetragen 2002-05-21
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Ja, auch allgemeine Dreiecke liefern dieses Ergebnis. Wenn du noch genauere Herleitungen willst (wahrscheinlich schon), meld dich nochmal, ist jetzt zu spät dafür.
Gruß
Fabi
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
| Beitrag No.5, eingetragen 2002-05-22
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Hier nochmal meine Vorüberlegung:
Dem Dreieck ABC wird ein Quadrat DEFG so einbeschrieben, dass D und E auf c liegen. Jetzt sind sich die beiden Dreiecke ABC und GFC ähnlich (F-Winkel!). Aufgrund der Ähnlichkeit gilt: h/c = (h-x)/x
x ist die gesuchte Quadratseite. Die Höhe im oberen Dreieck ist h-x, die Grundseite x. Damit rechnet man x aus und setzt es in ein Verhältnis zu h: x=7/17*h
Die erste Fläche ist also (7/17h)².
Die Höhe im oberen Dreieck ist dann h-7/17h = 10/17h. Da sich die Dreiecke ähnlich sind, ist die Quadratseite im oberenm Dreieck wieder 7/17*h' = 7/17*10/17*h. Im darauffolgendem Dreieck gilt ja wieder die Ähnlichkeit zu den ersten beiden, das heißt, auch hier ist die Quadratseite 7/17 der Höhe: x'' = h''*7/17 = h'*7/17*10/17= h*(10/17)²*7/17
Wenn man jetzt diese Ausdrücke in die gesuchte Reihe x²+x'²+x''²+... einsetzt, erhält man die Reihe, die ich in meinem ersten Beitrag bereits aufgeschrieben habe. Dies wird dann mit der Summenformel vereinfacht, und man erhält das Ergebnis. (Die 0,346 sind (10/17)²)
Gruß
Fabi
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
| Beitrag No.6, eingetragen 2002-05-22
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Sollte es dich noch interessieren:
Diese Summe ist eine geometrische Reihe: Summe(i=0;oo) für a<1 von a^i= 1/(1-a)
Gruß
Fabi
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