Sei K ein Körper. Ein K-Vektorraum (oder Vektorraum über K) ist ein Tripel (V,+,*) bestehend aus einer Menge V, einer Verknüpfung (Addition)

+: VxV -> V    (v,w) -> v+w

und einer Verknüpfung (Multiplikation mit Skalaren):

+: KxV -> V    (c,w) -> c*w

Beispiel: p(x) = x³+2x²+0x+2, q(x) = 3x² + x -6 Dann ist (p+q)(x) = x³+5x²+x-4 Das ist voellig normal, so macht es es bei Polynomen immer. Auch die Skalarmultiplikation ist leicht erklärt: c*p = å_i=0ⁿ (c*a_i)*xⁱ

Damit ist P ein Vektorraum

Nun zu P₂(R). Ein Polynom, dessen dritte Ableitung 0 ist (für alle xeIR), hat höchstens Grad 2. Offensichtlich ergibt die Addition oder Skalarmultiplikation von Polynomen höchstens 2-ten Graden immer wieder ein Polynom höchstens zweiten Grades. P₂(R) ist mit der oben eingeführten Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum.

Eine Basis von P₂(R) ist z.B;  1, x, x² Jedes Polynom aus P₂(R) kann als Linearkombination dieser drei primitiven Einheitspolynome geschrieben werden. Eine nicht so einfache Basis ist: 7+x,x+13x²,3

Gruß Matroid