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  Regeln für das Störglied? |
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TheHeap
Neu 
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2003-08-16
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erst mal schönen Tag.
Zur Lösung einer inhom DGL nter Ordnung gibt es ja entweder die Möglichkeit den inhomogene Anteil über die Wronski Matrix und nerviges integrieren zu bestimmen, oder in Abhängigkeit des Störglieds ein Yp aufzustellen und dieses dann entsprechend häufig abzuleiten und dann in die DGL einzusetzen, um die koeffizienten des yp zu bestimmen.
Meine Frage ist nun wie komm ich nun bei gegebenem störglied an yp?
z.b. bei
x*exp(x) -> (a*x+b)*exp(x)
Würde mich freuen bis Dienstag was zu hören, denn dann schreib ich meine Klausur *G*
Schönes WE noch.
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 Profil
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.1, eingetragen 2003-08-16
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Hi,
uns hat man in der vorlesung drei lösungsansätze für das lösen von inh. diff'gleichungen gegeben:
- ist f(x) = yh (homogene lösung), dann setze
yp= x*{Linearkombination von von f(x) und gewissen ableitungen von f(x)}
- ist dies nicht der fall, setze
yp = {LK von f(x) und gewissen ableitungen von f(x)}
in beiden fällen muss dann yp n-mal abgeleitet und in die gegebene diff.gleichung eingesetzt werden, um so die unbekannten bestimmen zu können.
- die dritte variante wäre diejenige mit der Wronski-Determinante.
Ich weiss nicht, ob dir das jetzt weiterhilft. Ich habe gerade erst das erste studienjahr hinter mir und kann dir nicht sagen, ob es noch effektivere wege gibt...
Gruss Nicole
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-08-16
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Hi TheHeap,
erstmal herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Nun, dein Problem ist eine Standardaufgabe, die in jedem (aber auch wirklich jedem) Lehrbuch zu gewöhnlichen Differentialgleichungen zu finden ist. Heute schaffe ich es nicht mehr, aber morgen kann ich ausführlicher dazu schreiben. Reicht doch noch?!
Gruß Eckard
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-08-17
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Hi TheHeap,
wie versprochen zu deiner Frage hinsichtlich der Störgliedansätze.
Ich zitiere einfach einen Satz aus Wenzel, Gewöhnliche Differentialgleichungen,
Reihe MINÖL, Bd. 7/1, Teubner, 1976, S. 72:
Es wird die gewöhnliche lineare inhomogene DGL n-ter Ordnung mit
konstanten Koeffizienten
a_n*x^((n))(t) + a_(n-1)*x^((n-1))(t) + ... + a_1*x'(t) + a_0*x(t) = g(t),
(a_n != 0)
untersucht, wobei das Störglied g(t) die spezielle Struktur
g(t) = (b_0 + b_1*t + ... + b_m*t^m)*e^(qt) (b_m != 0)
besitzt. Die Konstanten a_0, a_1, ..., a_n, b_0, b_1, ..., b_m, q
dürfen auch nicht-reell sein. Zur Herstellung einer partikulären Lösung
benutzen wir den
Satz 3.12: Für die obige DGL mit dem speziellen Störglied g(t) führt der
Ansatz
x_p(t) = (B_0 + B_1*t + ... + B_m*t^m)*e^(qt)*t^l
stets zu einer speziellen (partikulären) Lösung. Zur Bestimmung von l des
Ansatzes ist die zur zugehörigen homogenen DGL
a_n*x_h^((n))(t) + a_(n-1)*x_h^((n-1))(t) + ... + a_1*x_h'(t) + a_0*x_h(t) = 0
(der Index h weist auf die Homogenität der DGL hin) gehörige charakteristische
Gleichung
a_N*\l^n + a_(n-1)*\l^(n-1) + ... + a_1*\l + a_0 = 0
hinzuziehen. Ist die Zahl q des Störglieds keine Lösung der charakteristischen
Gleichung, so ist l=0 zu setzen. Wenn jedoch q eine Lösung der charakteristischen
Gleichung ist, so ist l gleich der Vielfachheit dieser Lösung q zu setzen.
Zur Bestimmung der B_0, ..., B_m setzt man den Ansatz in die DGL ein, dividiert
anschließend beide Seiten durch e^(qt), ordnet danach nach Potenzen von t und
führt schließlich einen Koeffizientenvergleich durch. Es ergibt sich ein
lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von B_0, ..., B_m.
Zusatz zu Satz 3.12: Im Ansatz sind alle (unbekannten) Koeffizienten
B_0, B_1, ..., B_m auch dann mitzuführen, wenn im Störglied einige der (bekannten)
Konstanten b_0, ..., b_(m-1) gleich null sein sollten.
Zitat Ende.
Damit ist eigentlich alles gesagt. Etwas vereinfacht gesagt bedeutet das:
Hat das Störglied die spezielle Form "Polynom vom Grad m * Exponentialfunktion"
(wobei Exponentialfunktion wegen des komplexen q auch die sin- oder cos-Funktion
sein kann), dann nimm als Ansatz ebenso "Polynom vom Grad m * Exponentialfunktion"
falls keine Resonanz vorliegt (Vielfachheit null) bzw. letzten Ansatz multipliziert
mit t^l falls Resonanz der Vielfachheit l vorliegt.
In einem nachfolgenden Beitrag könnte ich später noch zwei, drei Beispiele bringen.
Gruß Eckard
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Profil
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.4, eingetragen 2003-08-18
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Jo vielen Dank.
Hoffe mal morgen kommt kein exp(x)*sin(x) *G* aber dann halt mit wronski
Schönen Tag noch.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.5, eingetragen 2003-08-19
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War eh nur ein DGL-system, trotzdem vielen dank, sollte bestanden haben :-)
komme dann bei gelegenheit auf das forum zurück
Man sieht sich
Ciao.
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| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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