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| Autor |
  Fragen zur Gammafunktion |
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TobiPfanner
Senior 
Dabei seit: 27.07.2003
Mitteilungen: 3622
Wohnort: Weiler
 |  Themenstart: 2003-08-19
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Hallo,
ich hab mal ein paar Questions zur Gammafunktion.
Auf den Mathworld-Seiten habe ich einige Formel gesehen,
welche die Gammafunktion betreffen und von denen
ich gerne wissen wurde wie sich diese Gleichungen nachweisen lassen.
Warum ist $ \|(ix)!\|^2=(\pi*x)/(sinh(\pi*x)) $ und
\|(n+ix)!\|=wurzel((\pi*x)/(sinh(\pi*x)))*produkt(wurzel(s^2+x^2),s=1,n)
und wie bewies L.Euler den Eulerschen Ergänzungssatz
\Gamma(x)*\Gamma(1-x)=\pi/sin(\pi*x)
Wenn man im Besitz des Beweises der Formel von Cauchy
nämlich $ \Gamma^´(z)/\Gamma(z)=\int((1/e^t-1/(1+t)^z),t/t,0,\inf) $ ist
kann man mit Hilfe dieser Formel irgendwie auf die
Malmstensche Formel
ln(\Gamma(z))=\int(((z-1)-(1-e^(-(z-1)*t) )/(1-e^(-t)))*e^(-t)/t,t,0,\inf) $ schließen.
Und wie zeigt man die Richtigkeit der ersten Binetsche Formel (Re(z)>0)
ln(\Gamma(z))=(z-1/2)*ln(z)-z+1/2*ln(2*\pi)+\int((1/2-1/t+1/(e^t-1))*e^(-t*z)/t,t,0,\inf)
Viele Grüße T.Pfanni
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2003-08-20
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Mir ist für die 1. Gleichung allein unter Verwendung des Eulerschen Ergänzungssatzes, dessen Beweis du ja überall nachlesen kannst, ein Beweis gelungen, falls ich mich nicht verrechnet habe.
x ist ja reell, oder?
Aber bevor ich mir jetzt die Mühe mache, ihn hier reinzuschreiben hätte ich gerne noch eine Rückmeldung, ob du überhaupt noch Interesse an dem Beweis hast, bisher kam nämlich auf keine meiner Antworten auf deine zahlreichen Fragen zu Integralen eine Antwort und dafür ist mir meine Zeit dann doch zu schade, auch wenn mir das tüfteln über deine Aufgaben natürlich selbst schon Spaß macht, sonst würde ich es ja auch nicht machen.
Also, wenn irgendjemand Interesse an dem Beweis der 1. Gleichung hat dann soll er sich melden, erst dann schreibe ich ihn hier rein.
Gruß
Philipp
[ Nachricht wurde editiert von Philipp-ER am 2003-08-20 19:44 ]
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Profil
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TobiPfanner
Senior
Dabei seit: 27.07.2003
Mitteilungen: 3622
Wohnort: Weiler
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-08-20
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@Philipp-ER:
Der Beweis der 1.Gleichung mit dem Eulerschen Ergänzungssatzes
allein wurde mich interessieren also schreib in bitte rein.
Übrigens einen Beweis des Eulerschen Ergänzungssatzes
habe ich in einem Buch über Funktionentheorie auch schon
mal gelesen. Allerdings wurde bei diesem Proof an einigen
Stellen wieder Unbekanntes mit Unbekanntem erklärt,
was die Herleitung dann wieder unverständlich machte.
Wo hast den du einen einfachen Beweis des Eulerschen
Ergänzungssatzes gefunden.
(wie du behauptest kann man diesen ja überall nachlesen.)
Gruß Tobias
[ Nachricht wurde editiert von TobiPfanner am 2003-08-20 20:40 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-08-21
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Ich hatte alles schon geschrieben doch dann ist mein IE abgestürzt. Ich habe aber gerade entdeckt, dass mein Beweis viel zu umständlich war und ich mir viele Zwischenschritte sparen kann.
Hier die neue Version, die auschließlich den Eulerschen Ergänzungssatz voraussetzt, die Weierstraßdarstellung dürftest du ja mit Beweis kennen, oder?
abs(\Gamma(i*x+1))^2=(\pi*x)/sinh(\pi*x)
abs(\Gamma(i*x)*x*i)^2=(\pi*x*i)/(sinh(\pi*x)*i)
sinh(x)*i=sin(i*x)
Damit folgt:
abs(\Gamma(i*x))^2*abs(i*x)^2=x*i*(\pi)/sin(x*i*\pi)
Das rechts ist gerade der Ergänzungssatz für z=x*i:
abs(\Gamma(i*x))^2*x^2=x*i*\Gamma(i*x)*\Gamma(1-i*x)
Aus der Funktionalgleichung folgt die Beziehung
\Gamma(1-z)=-z*\Gamma(-z)
abs(\Gamma(i*x))^2*x^2=x*i*\Gamma(i*x)*(-x*i)*\Gamma(-x*i)
abs(\Gamma(i*x))^2=\Gamma(i*x)*\Gamma(-x*i)
und diese Gleichheit lässt sich in wenigen Zeilen mit der Weierstraß-
Darstellung zeigen.
Diese lautet ja
\Gamma(x)=1/x*exp((-\gamma*x))*produkt(exp((x/p))/(1+x/p),p=1,\inf)
Rechnen wir mal die linke Seite der Gleichung ganz formal aus:
\Gamma(i*x)=1/(x*i)*exp((-\gamma*x*i))*produkt(exp(((x*i)/p))/(1+(x*i)/p),p=1,\inf)
abs(\Gamma(i*x))=1/abs(x)*produkt(1/abs(1+(x*i)/p),p=1,\inf)
wegen abs(exp((x*i)))=1
abs(\Gamma(i*x))^2=1/x*produkt(1/abs(1+(x*i)/p)^2,p=1,\inf)
Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja
sqrt(x^2+y^2)
Also bekommt man letztendlich
1/x*produkt(1/(1+x^2/p^2),p=1,\inf)
Und wenn du die rechte Seite auch mal so aufschreibst siehst du, dass
so gut wie alles rausfällt und genau das gleiche rauskommt, womit
die Richtigkeit der Ausgangsgleichung gezeigt ist.
Gruß
Philipp
[ Nachricht wurde editiert von Philipp-ER am 2003-08-21 15:48 ]
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