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  Eindimensionaler Halbleiter |
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pfilz0
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 |  Themenstart: 2008-03-15
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Hallo Leute,
Beim Berechnen einer Übungsaufgabe bin ich mir nicht sicher, ob ich einen Fehler gemacht habe, oder ob die Aufgabe falsch ist:
Wir betrachten Elektronen, die sich auf einer 1-dimensionalen Kette bewegen können und benützen das tight-binding modell. Jedes Atom hat einen lokalisierten Elektronenzustand und Letztere können zwischen benachbarten Atomen hin- und herhüpfen. Dieser Prozess wird durch die kinetische Energie beschrieben. Wie betrachten spinlose Elektronen und benutzen die Sprache der zweiten Quantisierung. Seien c_i und c_i^\dagger die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren. t bezeichnet das Überlappungsintegral
H_0=-t*sum(c_i^\dagger*c_(i+1)+c_(i+1)^\dagger*c_i,i)
Man soll zeigen, dass die durch
c^\dagger=1/sqrt(N)*\sum(exp(-ikj)c_j^\dagger,j)
erzeugten Zustände Eigenzustände von H_0 sind, mit der Energie \epsilon_k=-2tcos(k), wobei k\el[-\pi,\pi ) (1. Brillouinzone)
Idee:
i.) Definition von c_k^\dagger in H_0 einsetzen
H_0=-t*\sum([ 1/N*sum(exp(-ila)c_a^\dagger,a)*\sum(exp(i(l+1)b)c_b,b)+1/N*\sum(exp(-il(d+1))c_d^\dagger,a)*\sum(exp(ilm)c_m,m)],l)
Mit {c_k, c_k' } = -\delta_kk' => c_k^\dagger c_k'=-c_k' c_k^\dagger (Antikommutator)
=> H_0=-t(1/N*\sum(2*cos(a)c_a^\dagger*c_a)
ii.) mit ket(\Phi_k)=c_k^\dagger ket(0) und
{c_a^\dagger c_a, c_k^\dagger }=c_a^\dagger {c_a, c_k^\dagger }-{c_a^\dagger, c_k^\dagger }c_a=c_a^\dagger*\delta_ak
sowie
c_a ket(0)=0
=> H_0 ket(\Phi_k)= - t/N*2 cos(k) ket(\Phi_k)
Der Faktor 1/N (N=Anzahl Zustände) kürzt sich mit meiner Methode nicht raus, d. h. entweder ich habe irgendwo einen üblen Fehler gemacht oder die Aufgabe enthält einen Fehler. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
mfg
Patrick
[ Nachricht wurde editiert von pfilz0 am 16.03.2008 15:16:15 ]
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John_Matrix
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Dabei seit: 18.04.2005
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2008-03-15
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Hallo Patrick,
Das Problem liegt bei Deiner Rechnung. Da Du sie ja nicht praesentiert
hast, kann ich Dir auch nicht so genau sagen, was Du falsch gemacht haben koenntest. Der Faktor 1/N kuerzt sich durch Ausfuehren der Summe
ueber i, was eine delta-Funktion mit Vorfaktor N ergibt.
Weiterhin ist in folgender Zeile einiges verkehrt, vielleicht sind
es nur Tippfehler:
\quoteon(2008-03-15 01:51 - pfilz0)
Mit {c_k, c_k' } = -\delta_kk' => c_k^\dagger c_k'=-c_k' c_k^\dagger (Antikommutator)
\quoteoff
LG,
JM
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pfilz0
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-15
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Hallo John,
ich merke gerade, dass ich einige Fehlüberlegungen drin habe. Ich werde es nochmal anschauen und dann die verbesserte Version posten.
Gruss
Patrick
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pfilz0
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-16
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Nachtrag:
Mein Ansatz scheint grundfalsch zu sein. Was meinst du mit "Der Faktor 1/N kuerzt sich durch Ausfuehren der Summe ueber i, was eine delta-Funktion mit Vorfaktor N ergibt.", Dazu fällt mir nur ein:
1/n*sum(exp(2\pi i(a-b))^j,j=1,n)=\delta_ab
Meintest du sowas? Dann ist mir nicht klar wie ich das hier ausnutzen kann.
mfg
Patrick
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John_Matrix
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| Beitrag No.4, eingetragen 2008-03-16
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Wenn wir z.B. den ersten Summanden ansehen, steht dort drinnen so was wie
sum(exp(il(b-a) +ib),l)=exp(ib) N \delta_a,b
[ Nachricht wurde editiert von John_Matrix am 16.03.2008 18:47:52 ]
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pfilz0
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-17
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@John Danke. Hat jetzt geklappt mit deinem Tipp.
mfg
Patrick
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pfilz0 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
pfilz0 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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