| Autor |
 DGL mit 3 Anfangswerten |
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elliott
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2002
Mitteilungen: 81
 |  Themenstart: 2003-09-28
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Bin leider an meiner Matheklausur in diesem Semester gescheitert und habe jetzt noch 4 Wochen um für die Nachklausur zu lernen.
Mit dieser Aufgabe hier bin ich in der Klausur und auch jetzt noch garnicht weitergekommen:
Für die folgende Differentialgleichung
y''' + 16y' = 0
bestimmen SIe die Lösung, die den Anfangsbedingungen
y(0) = 1
y'(0) = 4
y''(0) = 8
genügt.
Ich denke mal, dass die Aufgabe garnicht so schwer ist, nur hab' ich leider bisher noch keinen blassen Schimmer, wie ich sie lösen könnte.
Natürlich gibt's hier im Forum schon massenhaft Lösungen zu ähnlichen Problemen, trotzdem haben die mir wenig genutzt, weil ich einfach nicht weiß wie ich ans Lösen herangehen soll.
Wäre super, wenn ihr mir sagen könntet wie ich eine solche Aufgabe in diesem speziellen Fall löse. Eine fertige Lösung ist eigentlich nicht nötig, weil ich hoff', dass ich's irgendwann doch noch schaffe.
edit: Nennt man die Anfangsbedingungen wie sie in dieser Aufgabe genannt sind dann eigentlich Randwerte?
[ Nachricht wurde editiert von elliott am 2003-09-28 13:30 ]
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pendragon302
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Dabei seit: 29.06.2002
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-09-28
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Hi
Ich würd dir vorschlagen, die Nullstellen des characteristischen Polynoms zu berechenen und in einen
C_n*e^(\l*t)
Ansatz einzusetzen.
Sag uns dochmal wo deine Probleme liegen?
Gruß
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elliott
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-09-28
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Hmm, also mein hauptsächliches Problem ist, dass ich nicht weiß was ich machen soll...
Ist es richtig, dass das charakteristische Polynom von y''' + 16y' = 0 dann
P(z) = z³ + 16z ist?
Die einzige Nullstelle müßte ja dann die 0 sein.
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pendragon302
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2003-09-28
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Das charakteristische Polynom ist in Ordnung. Aber denk mal an komplexe Nullstellen 
Gruß
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.4, eingetragen 2003-09-28
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Die einzige Nullstelle müßte ja dann die 0 sein.
Hi!
Wenn Du z ausklammerst
(z² + 16) z = 0
dann siehst Du, dass auch
z² + 16 = 0
ein kann.
MfG
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elliott
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-09-28
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hmm... verdammt ;-)
Dann kommen also noch die komplexen Nullstellen (-4 * i) und (4 * i) hinzu.
Und wie bilde ich dann damit die Lösung?
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pendragon302
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| Beitrag No.6, eingetragen 2003-09-28
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Dann ist deine Lösung
y(t)=C_1*e^(\blue 0 \black *t)+C_2*e^(\blue 4*i \black *t)+C_3*e^(\blue -4*i \black *t)
Das ist die allgemeine Lösung der DGL.
Du kannst den Teil
C_2*e^(\blue 4*i \black *t)+C_3*e^(\blue -4*i \black *t)
noch mithilfe der Identität von
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
noch umschreiben. Dann must du nohc die Konstanten C1,C2 und C3 mit deinen Anfangsbedingungen ausrechnen.
gruß
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Dirk
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Mitteilungen: 51
 | Beitrag No.7, eingetragen 2003-10-02
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Hallo!
Ich hab' eine ähnliche Aufgabe zu lösen und bin über die Suche hier gelandet. Bisher konnte ich das hier recht gut nachvollziehen ging ja schön Schritt für Schritt vorwärts :) , aber wie komme ich denn jetzt auf die Konstanten C1, C2 und C3?
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.8, eingetragen 2003-10-02
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@Dirk:
Dafür hast Du die 3 Anfangsbedingungen. Die fertige Funktion muss alle erfüllen, das gibt ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen für 3 Unbekannte.
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
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Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.9, eingetragen 2003-10-02
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Hallo, ich habe als allgemeine Lösung raus:
$y(x)=C_1+C_2*sin(4*x)+C_3*cos(4*x)$
Nun müßten noch die entsprechenden Ableitungen gebildet werden,
um die Anfangswerte einzusetzen.
Viel Spaß dabei, Sonnhard.
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Dirk
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| Beitrag No.10, eingetragen 2003-10-02
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Hmm, könntest du mir vielleicht noch kurz erklären wie du auf
deine allgemeine Lösung kommst? Da komm ich noch nicht ganz mit.
Den Rest hab' ich mal versucht weiterzurechnen:
$y(x)=C_1+C_2*sin(4*x)+C_3*cos(4*x)$
$y'(x)=C_2*4*cos(4*x) - C_3*4*sin(4*x)$
$y''(x)=-C_2*16*sin(4*x) - C_3*16*cos(4*x)$
$y(0) = C_1+C_3=1$
$y'(0) = 4*C_2=4$
$y''(0) = 16*C_3=8$
=>
$C_1=0,5$
$C_2=1$
$C_3=0,5$
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.11, eingetragen 2003-10-02
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Hallo Dirk,
die komplexwertigen e-Funktionen
f_1(x)=e^(4*î*x)=cos(4*x)+î*sin(4*x)
f_2(x)=e^(-4*î*x)=cos(4*x)-î*sin(4*x)
sind eine Basis für den Raum der Lösungen der homogenen DGL.
Man kann sich auch eine reellwertige basteln. Dazu
sind f_1 und f_2 so linearzukombinieren, dass der Imaginärteil
wegfällt. Das geht auf zwei einfache Weisen:
1/2*(f_1+f_2)=cos(4*x)
(-î/2)*(f_1-f_2)=sin(4*x)
Jede Lösung der homogenen DGL, also jede Linearkombination von f_1 und
f_2 , ist auch eine L.K. von sin(4*x) und cos(4*x). Daher stehen auch
immer beide in der allgemeinen Lösung.
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Dirk
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.02.2003
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| Beitrag No.12, eingetragen 2003-10-02
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