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Thema eröffnet 2008-08-15 12:32 von matroid
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Kein bestimmter Bereich Spektrum-Krawattenrätsel
Goswin
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  Beitrag No.120, eingetragen 2008-12-23

Hallo KnutKnutsson, Ich finde es toll, dass du dir die Arbeit gemacht hast, eine erste Niederschrift zu erstellen: aller Anfang ist schwer. Ich finde, dein Aufsatz ist angenehm zu lesen, obwohl inhaltlich noch einiges [[  SIEHE NACHTRAG! abgeändert werden muss (dein Beweis für n=2p+1 kann unmöglich richtig sein: wenn von der Tauschvorschrift abgewichen wird, kann die untere Schranke in 2/3 der Fälle NICHT erreicht werden), beziehungsweise  ]] abgeändert werden sollte (meiner Meinung nach). Ich melde mich heute noch einmal. Wichtig ist es, einen Nachfolger zu finden, der die eingehenden Verbesserungsvorschläge koordiniert und die von ihm begutachteten einfügt. Ich selber kann das nicht sein, da ich vor Jahresende meine Steuererklärung abgeben muss (das ist fast noch komplizierter als das Krawattenrätsel); ich will es auch nicht sein, da ich noch vorhabe, selber eine Liste von Änderungen in diesem Forum vorzuschlagen und nicht beurteilen werde, ob das nun Verbesserungen oder Verschlimmbesserungen sind. Anscheinend haben Christian Konrad und Valentin auch wichtige Beiträge geleistet. Der Beweis von Christian Konrad erscheint zwar auch im Buch von Winkler, aber wenn wir auf das Erscheinen dieses Buches gewartet hätten, wären wir bis zum Einsendeschluss nie so weit gekommen, wie wir gekommen sind. Bitte gehe nicht ohne zu posten, wer nun dein Nachfolger ist, der dann auch den LateX-Quelltext hat.  NACHTRAG: Dein Beweis von 2p+1 ist gänzlich korrekt, es tut mir leid, dich verunsichert zu haben. Wo du schreibst "wir sind von der üblichen Tauschvorschrift abgewichen" hatte ich mich in der Eile verlesen und "wir weichen von der üblichen Tauschvorschrift ab" hineingelesen. [ Nachricht wurde editiert von Goswin am 23.12.2008 18:14:30 ]


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saphir
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  Beitrag No.121, eingetragen 2008-12-23

Hallo, @Goswin: was genau stört dich an dem 2p+1-Beweis? Diese Stelle scheint mir völlig korrekt... Der Fall 4p+1 braucht aber eine Überarbeitung... Ich habe prinzipiell etwas Zeit an Weihnachten noch etwas daran zu arbeiten, aber ich bräuchte konkrete Vorgaben, was gemacht werden muss. Mal eine allgemeine Frage: Wie mathematisch korrekt soll es insgesamt werden? Die bisherige Niederschrift weist an einigen Stellen kleinere Fehler auf, die prinzipiell nichts am Wahrheitsgehalt ändern, aber in einer mathematischen Arbeit nichts verloren haben. Andererseits soll es ja wohl ein Rätsel für Laien sein, die gerne knobeln... Daran schließt sich auch die Frage an, ob man die formalen "Index-Beweise", wie bei KnutKnutsson, weglassen soll, da das Prinzip daraus sowieso nicht hervorgeht, oder nicht? Grüße, Saphir


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KnutKnutsson
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  Beitrag No.122, eingetragen 2008-12-23

Hallo, danke für Eure Anmerkungen, vieles hab ich selbst auch noch gefunden und korrigiert. Im Fall 4p+1 war natürlich ein Copy&Paste-Fehler, den ich ausgebügelt hab. Der Fall 2p+1 ist, denke ich, richtig. Im Satz 6 weichen wir von der Konvention ab, um die Rekursionsvorschrift zu bekommen (und das ist gerade die Stelle, wo die oibere Schranke schlechter wird). Im Satz 13 machen wir es genau nach Konvention und treffen deshalb auch die untere Schranke. Steht aber auch so da. Die Indexbeweise sind hässlich und lang. Ich habe sie deshalb weggelassen. Sie bringen nicht wirklich was zum Verständnis. Man muss es eh an einem kleinen Beispiel ausprobieren. Und wer das macht, der sieht und glaubt auch ohne die Index-Beweise, dass es geht. Auch ein paar andere kleinere Fehler sind nun verschwunden. Anhang B hab ich komplett gestrichen, da ich heute noch fleißig Schoten gesucht und ergänzt habe. Damit ist der Anhang dann eh hinfällig geworden. Autoren hab ich auch noch ergänzt und in alphabetischer Reihenfolge aufgeführt. cyrix und valentin sind dabei und auch checkit, der am Anfang auch einige Lösungen beigetragen hat. Hier die aktuelle pdf: dl.php?id=409&1230047817  (die ich heute eingeschickt habe, da ich sicher gehen wollte, dass das auf jeden Fall jemand macht (und dann muss man es ja selbst machen^^). Wer also eine korrigierte Version hinterherschickt, sollte das entsprechend auch so schreiben) Und hier die letzte Version der tex Datei: dl.php?id=410&1230047751 Und ebenfalls völlig gratis: der bibtex Eintrag @BOOK{Winkler08, AUTHOR = {Bernd Winkler}, TITLE = {Mathematische R"atsel f"ur Liebhaber}, PUBLISHER = {Spektrum Verlag}, YEAR = 2008} Also falls ihr noch was korrigieren wollt, denke ich, saphir sollte das koordinieren. Ansonsten wünsche ich euch schöne Weihnachten und einen guten Rutsch. Man sieht sich im nächsten Jahr, viele Grüße Knut  


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Goswin
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  Beitrag No.123, eingetragen 2008-12-23

Persönliche Bemerkungen zum Krawattenrätsel-Aufsatz: (1) \stress Benennung Geht es nun um Krawatten, Bälle oder Kugeln, und sollen diesselben in Fächer oder Eimer gelegt werden? Ich schlage KRAWATTEN vor, um dem Namen des Rätsels gerecht zu werden, und würde sie in FÄCHER legen, da die ursprüngliche Formulierung von Fächern redet und Krawatten nur äußerst selten in Eimern anzufinden sind smile (2) \stress Fehlende Ergebnisse (erledigt) Zugfolgen für die Schoten S(9), S(10), S(15) fehlen, ich füge sie demnächst hier ein. Und wir kennen noch viel mehr optimale Zugfolgen, als die im Satz 14 erwähnten. (3) \stress Definitionen Die Definition von "Schritt" im Sinne einer Zugfolge sollte deutlich hervorgehoben werden und nicht mitten in einem Absatz versteckt sein. Anderseits halte ich die Definition A_n(k) für missglückt, da sie ziemlich überflüssig ist und zur falschen Annahme verleiten könnte, dass der Zustand nach k Schritten unabhängig vom Algorithmus sei. An vielen Stellen kann man A_n(k) einfach streichen und die Aussage bleibt genauso gut verständlich; an anderen Stellen genügt es eine Zeile einzufügen, welche den gemeinten Zustand direkt beschreibt. (4) \stress Beschreibung der Algorithmen Ich würde folgende halbformelle Beschreibung eines Algorithmus für  beliebiges n vorschlagen:   Schrittfolge   ... (? Züge in dieser Folge) ...   Schrittfolge   Zwischenzustand (nach insgesamt ? Zügen)   Schrittfolge   ... (? Züge in dieser Folge) ...   Schrittfolge   Zwischenzustand (nach insgesamt ? Zügen)   Schrittfolge   ... (? Züge in dieser Folge) ...   Schrittfolge   Endzustand (nach insgesamt ? Zügen) So eine Beschreibung sollte hinreichend klar sein. Die Beschreibung der Zwischenzustände und die Auflistung der Anzahl von Zügen liefern eine gewisse Redundanz, welche wichtig ist, damit das Ganze trotz eventueller Tippfehler nachvollziehbar bleibt. Die Notation für die Schritte und Zwischenzustände ist von so einer Präsentation nicht abhängig. Die Indexschlacht für n=4p+1 hält sich in Grenzen. (5) \stress Fußangel beim Fall 4p+1 Wenn wir die Zwischenzustände (wie bisher im Forum) nach Fächern beschreiben, dann müssen wir für den Fall n=4p+1 zwei Unterfälle "p gerade" und "p ungerade" betrachten, obwohl der Algorithmus im wesentlichen derselbe für beide Fälle ist, nur die Notation ist unzulänglich. Dieses Problem verschwindet, wenn wir die Zustände nicht nach Fächern beschreiben (welche Krawattengrößen befinden sich in Fach 1,2,...,n ?), sondern nach Krawatten (in welchen Fächern befinden sich die Krawatten von Größe 1,2,...,n ?). Zum Beispiel gilt Fachzust(3,3,2,2,1,1;6,5,4,4,5,6) = Krawzust(5,3,1,3,2,1;6,4,2,4,5,6) Dieses soll nur ein Hinweis sein, wie es möglich ist, die Indexschlacht von 4p+1 zu halbieren. Ob die Einführung von einer Krawattenzustands-Notation diese Sache wert ist, darüber möchte ich nicht entscheiden. (6) \stress Gaußklammern Zum Unterabschnitt 6.1: Wir sollten für Gaußklammern (floor-Klammern) immer die Notation floor(x) (nur untere Ecken) benutzen, und nicht plötzlich doppeleckige Klammern. (7) \stress Pseudocode? Ich habe nicht verstanden (und kann deshalb auch nicht überprüfen), was das Rechenprogramm im Anhang ausführt; vielleicht liegt es daran, dass ich die Matlab-Programmiersprache nicht kenne. Wenn wir Programme erwähnen, sollten wir bei weniger intuitiven Anweisungen nicht vielleicht auf Pseudocode ausweichen? (8) \stress Unbedingt so lassen! Die Korollare 4 und 5 halte ich für sehr gut gelungen. Dies ist KEIN Änderungsvorschlag sondern ein Beibehaltungs-Vorschlag, damit die Korollare ja nicht unter den Tisch fallen smile [Die Antwort wurde nach Beitrag No.120 begonnen.] [ Nachricht wurde editiert von Goswin am 24.12.2008 15:16:02 ]


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checkit
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  Beitrag No.124, eingetragen 2008-12-23

Hallo! Ich habe mich mit diesem Thema seit meinem letzten Post nicht mehr beschäftigt, weil ich viel für uni tun musste. Hab aber ab und zu reingeschaut. Bin erstaunt wie weit das gebracht habt und wünsche euch viel Erfolg! Gruss checkit


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Wally
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  Beitrag No.125, eingetragen 2008-12-23

Ich denke mich da nicht tief rein, und schau gelegentlich zu. Aber ich finde das super super super, was ihr und wie ihr das macht. Wally


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saphir
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  Beitrag No.126, eingetragen 2008-12-24

Hallo! Also ich werde (falls ich genügend Zeit finde) morgen und übermorgen die Verbesserungsvorschläge von Goswin und meine eigenen einbauen und die neue Version hier rein stellen. Dann können wir entscheiden, ob die Veränderungen es rechtfertigen, dass wir eine erneuerte Version einsenden. Falls jemand bis dahin neue Schotenergebnisse oder sonstige Durchbrüche zu verzeichnen hat, sollte sich auch rechtzeitig melden! Schöne Weihnachtsfeiertage, Saphir


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Goswin
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  Beitrag No.127, eingetragen 2008-12-24

Meine Bemerkung in Beitrag 123 über Verbesserungen der Oberschranke lagere ich in diesen neuen Beitrag aus, da sie inzwischen etwas lang geraten ist. Die Beweisführung für die verbesserte Oberschranke in Abschnitt 6.3, nämlich a_n <= floor(2/3 n^2 +1/3 n -floor(log_2 n)) enthält Lücken, die ich nicht zufriedenstellend ausfüllen konnte. In der Hauptsache geht es darum, dass die Beziehung k/3>=1 für k=1 und k=2 falsch ist. Der Ausdruck "Halbierungen" ist auch nicht gut gewählt, da die Reduktion m=2k+1 genau genommen keine Halbierung ist --- obwohl die Anzahl der Induktionsschritte natürlich trotzdem genau floor(log_2 n) ist. Natürlich ist die Oberschranke in 6.3 korrekt; nur die Beweisführung im Aufsatz halte ich für unverständlich. Ich habe mich niedergesetzt und meinen eigenen Beweis für die ursprüngliche verbesserte Oberschranke (VOS), a_n <= 2/3 n^2 +1/3 n -log_2 n erstellt, der aber NICHT in den Artikel sollte, da er viel zu lang und umständlich ist. Hier eine Übersicht des Beweises: (1) Für 1<=n<=4 lässt sich (VOS) direkt bestätigen. (2) Für 5<=n<=9 lässt sich folgende Hilfsoberschranke (HOS) direkt bestätigen: a_n <= 2/3 n^2 +1/3 n -log_2 (n+1) Diese Beziehungen dienen als Start für unsere Induktion. (3) Bei Induktionsschritt m=2k+1, k>=1 , wissen wir a_m <= (2k^2 + 3k) + a_k und beweisen damit a_k <= 2/3 k^2 +1/3 k -log_2 (k+1) => a_m <= 2/3 m^2 +1/3 m -log_2 (m+1) (4) Bei Induktionsschritt m=2k, k>=3 , wissen wir a_m <= 2k^2 + a_k und beweisen damit ebenfalls a_k <= 2/3 k^2 +1/3 k -log_2 (k+1) => a_m <= 2/3 m^2 +1/3 m -log_2 (m+1) (5) Aufgrund der Induktion gilt für alle n>=5 die Hilfsoberschranke (HOS), und somit auch die zu beweisende verbesserte Oberschranke (VOS). Wie bereits gesagt, würde ich diese Beweisführung NICHT in den Artikel einfügen; wir sollten keine Zeit mehr investieren, Schranken zu suchen, die schlechter sind als die Rekursionsschranke ("saphirschranke") von Beitrag 90. Wir könnten die uns derzeit bekannten Rekursionsformeln immer weiter analysieren und so unendlich viele verbesserte Schranken aufstellen, ohne das uns das wesentlich näher an die optimale Zugfolge bringt. WENN wir eine verbesserte Oberschranke erwähnen, sollten wir eine mit möglichst einfacher Formel wählen und VIELLEICHT nur die Formel ohne Beweisführung erwähnen. OB wir eine verbesserte Oberschranke überhaupt erwähnen sollten, ist fraglich. Ich wünsche allen ein erbauliches Weihnachtsfest! [ Nachricht wurde editiert von Goswin am 25.12.2008 15:19:16 ]


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saphir
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  Beitrag No.128, eingetragen 2008-12-25

Hallo, ich habe mal ein paar Dinge geändert: 1) Krawatten/Fächer-Notation 2) kleinere Schreibfehler ausgebessert 3) Zk: n Notation wird später nicht gebraucht -> weggelassen 4) Einige missverständliche Stellen umgeschrieben und Satz 6 und die Korollare 4/5 "verbessert". 5) A_n(k) entfernt 6) Definition von "Schritt" verändert. Allerdings glaube ich nicht, dass es üblich ist das in eine Definition zu packen, so dass ich es im Text belassen habe. Wie wir das mit der log-Verbesserung machen, weiß ich auch nicht. Ich habe damals aus Zeitmangel nicht mal den Linearterm optimiert, da es relativ offensichtlich ist, wie das geht. Meine Frage 2) im Beitrag 83 bezog sich mehr auf wirklich neue Ideen... Wir können es aber auch gerne behalten. So aber hier mal die vorläufige Version: Ausarbeitung Weitere Verbesserungsvorschläge erwünscht! Grüße, Saphir EDIT: Version3! So, ich bin im Prinzip damit fertig. Weitere Vorschläge? Algols Verbesserung eingefügt. [ Nachricht wurde editiert von saphir am 26.12.2008 15:06:29 ]


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algol
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  Beitrag No.129, eingetragen 2008-12-26

Druckfehler in krawatte.pdf, S. 3, Kap. 4, Tab. 4.1: n = 3; uS = bZ = 5, und nicht 6!!! cf. Beitrag 36/valentin! Kann man das noch korrigieren?


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Goswin
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  Beitrag No.130, eingetragen 2008-12-27

Wie wäre folgende Fassung im Abschnitt der log-Schranke: ...bedeutet dies, dass wir bei jedem Induktionsschritt k/3 Züge bzw 1 Zug zu viel schätzen. Die Summe S der Überschätzungen über sämtliche floor(log_2 n) Induktionsschritte hinweg erfüllt S<=log_2 n ; der Beweis dafür ist eher lang und wird hier fortgelassen. Ein erweitertes Induktionsargument liefert dann ... [ Nachricht wurde editiert von Goswin am 28.12.2008 11:52:16 ]


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saphir
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  Beitrag No.131, eingetragen 2008-12-28

Hallo Goswin, ich persönlich finde deine Version etwas zu umständlich, und habe die besagte Stelle einfach mal selbst editiert :-). Bei Kritik bitte melden! Ausarbeitung2 Ich bin dann von heute Nachmittag bis morgen Abend weg. Falls noch etwas anfallen sollte, könnte ich das am 30. ändern. Dann sollten wir es aber spätestens einschicken. Bis zum letzten Tag würde ich nicht warten. Ich würde vorschlagen, dass Matroid dies mit dem ensprechenden Hinweis tut, dass es nur eine leicht modifizierte Version der Arbeit ist, die schon von KnutKnutsson eingesendet wurde. Ich würde die Arbeit zur Not auch einsenden, ich denke aber, dass ich nicht der Richtige dafür bin :-). Grüße, Saphir EDIT: Ich habe xris unter die Autoren eingefügt. Da ich nicht weiß, ob er mit Namen genannt werden will, habe ich es erstmal ohne gemacht. @Goswin: Habe das "sofort" entfernt und den "Induktionsanfang" auf k <= 5 ausgedehnt, damit es im ungeraden Fall auch stimmt... [ Nachricht wurde editiert von saphir am 28.12.2008 12:35:37 ]


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Goswin
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  Beitrag No.132, eingetragen 2008-12-28

@saphir: Natürlich ist deine Version weniger kompliziert und deshalb besser. Nur das "wie oben" und *lol* "sofort" *lol* passt nicht mehr, ich hatte das in meinem (mittlerweise editierten) Vorschlag selber falsch gemacht und entschuldige mich dafür. Unter den wichtigen Autoren fehlt meiner Ansicht nach Christian Konrad (aka xris).


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Chianti
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  Beitrag No.133, eingetragen 2008-12-29

Respekt vor dem was ihr da auf die Beine gestellt habt. Jetzt aber mal abgesehn davon vielleicht könnt ihr mir ein letztes mal helfen. Ich habe mein Algorithmus jetzt soweit verbessert, dass "Überholmanöver" ausgeschlossen sind, aber trotzdem wird mein Alorithmus ab n=7 nicht mehr optimal. Ich kann euch ja mal das Ergebnis für n=7 Zeigen: C:\perlkk\krawatten\version1>perl tie.pl bitte eine Zahl n>=2 eingeben: 7 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 6 7 7 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1          5 6 5 4 2 2 0 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 6 7 5 6 7 5 4 4 3 3 2 2 1 1          5 6 3 4 4 2 0 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 6 7 5 6 4 5 7 4 3 3 2 2 1 1          5 6 3 4 1 2 3 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 6 7 5 6 4 5 3 4 7 3 2 2 1 1          5 6 3 4 1 2 -1 0 2 -2 -4 -4 -6 -6 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 7 2 1 1          5 6 3 4 1 2 -1 0 -3 -2 1 -4 -6 -6 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 7 1          5 6 3 4 1 2 -1 0 -3 -2 -5 -4 0 -6 6 5 7 6 4 5 3 4 2 3 1 2 7 1          5 4 5 4 1 2 -1 0 -3 -2 -5 -4 0 -6 6 5 4 6 7 5 3 4 2 3 1 2 7 1          5 4 2 4 4 2 -1 0 -3 -2 -5 -4 0 -6 6 5 4 6 3 5 7 4 2 3 1 2 7 1          5 4 2 4 0 2 3 0 -3 -2 -5 -4 0 -6 6 5 4 6 3 5 2 4 7 3 1 2 7 1          5 4 2 4 0 2 -2 0 2 -2 -5 -4 0 -6 6 5 4 6 3 5 2 4 1 3 7 2 7 1          5 4 2 4 0 2 -2 0 -4 -2 1 -4 0 -6 6 5 4 6 3 5 2 4 1 3 1 2 7 7          5 4 2 4 0 2 -2 0 -4 -2 -5 -4 0 0 6 5 4 3 6 5 2 4 1 3 1 2 7 7          5 4 2 1 3 2 -2 0 -4 -2 -5 -4 0 0 6 5 4 3 2 5 6 4 1 3 1 2 7 7          5 4 2 1 -1 2 2 0 -4 -2 -5 -4 0 0 6 5 4 3 2 5 1 4 6 3 1 2 7 7          5 4 2 1 -1 2 -3 0 1 -2 -5 -4 0 0 6 5 4 3 2 5 1 4 1 3 6 2 7 7          5 4 2 1 -1 2 -3 0 -4 -2 0 -4 0 0 3 5 4 6 2 5 1 4 1 3 6 2 7 7          2 4 2 4 -1 2 -3 0 -4 -2 0 -4 0 0 3 5 4 2 6 5 1 4 1 3 6 2 7 7          2 4 2 0 3 2 -3 0 -4 -2 0 -4 0 0 3 5 4 2 1 5 6 4 1 3 6 2 7 7          2 4 2 0 -2 2 2 0 -4 -2 0 -4 0 0 3 5 4 2 1 5 1 4 6 3 6 2 7 7          2 4 2 0 -2 2 -3 0 1 -2 0 -4 0 0 3 5 4 2 1 5 1 4 2 3 6 6 7 7          2 4 2 0 -2 2 -3 0 -3 -2 0 0 0 0 3 5 4 2 1 1 5 4 2 3 6 6 7 7          2 4 2 0 -2 -2 1 0 -3 -2 0 0 0 0 3 5 4 2 1 1 2 4 5 3 6 6 7 7          2 4 2 0 -2 -2 -2 0 0 -2 0 0 0 0 3 2 4 5 1 1 2 4 5 3 6 6 7 7          2 1 2 3 -2 -2 -2 0 0 -2 0 0 0 0 3 2 4 1 5 1 2 4 5 3 6 6 7 7          2 1 2 -1 2 -2 -2 0 0 -2 0 0 0 0 3 2 4 1 2 1 5 4 5 3 6 6 7 7          2 1 2 -1 -1 -2 1 0 0 -2 0 0 0 0 3 2 4 1 2 1 3 4 5 5 6 6 7 7          2 1 2 -1 -1 -2 -1 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 1 2 4 3 4 5 5 6 6 7 7          2 1 -1 -1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 1 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7          2 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 1 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7          0 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7          0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7          0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Anzahl an Zuege: 32 also nur so ich kann euch bei eurem Entwurf, den ihr Einschicken wollt(oder schon eingeschickt habt) nicht wirklcih weiterhelfen und ich werde auch mein Algorithmus nicht einschicken aber ich möchte wenigstens einen gut funktionierenden Algorithmus erstellen, jetzt wo ich mich shcon soweit mit dem Problem beschäftigt habe.


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valentin
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  Beitrag No.134, eingetragen 2008-12-29

\quoteon(2008-12-28 10:26 - saphir in Beitrag No. 131) Ausarbeitung2 \quoteoff Hallo all ihr Fleißigen! Ich bin erst jetzt dazu gekommen, einen ersten Blick auf eure Ausarbeitung zu werfen, wollte aber noch anmerken, dass ich es verwirrend finde, wenn am Anfang von Kap 4 eine Tabelle mit vielen Fragezeichen steht, aber einige Kapitel weiter hinten aufeinmal entsprechende Optimallösungen präsentiert werden. -- Valentin


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Goswin
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  Beitrag No.135, eingetragen 2008-12-29

@saphir: MIR gelang der Beweis der verbesserten Schranke (siehe Forumsbeitrag) nur mit der DIREKTEN Überprüfung einer VERSCHÄRFTEN Induktionshypothese für die Fälle 5<=n<=9 . (Was machst du, zum Beispiel, mit n=19 ???)  Besser garnichts sagen als Falsches (außer du hast einen anderen Beweis, den ich nicht kenne). Ah, und xris ist nicht anonym, sondern heißt Christian Konrad. [ Nachricht wurde editiert von Goswin am 29.12.2008 19:02:39 ]


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algol
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  Beitrag No.136, eingetragen 2008-12-29

\stress\Qualitative Abschätzung, warum - falls die untere Grenze nicht genügen sollte - als erstes n = 6 betroffen ist, und mit sehr grossem n die Lage "immer besser" wird. Ein Vertauschungsschritt besteht aus zwei Halbzügen, wobei ein \stress\regulärer \normal\Halbzug den Zielabstand verkleinert, während ein \stress\irregulärer \normal\Halbzug ihn vergrössert. Für die regulären Halbzüge braucht es bekanntlich z_0 = floor(n^2 / 2) Vertauschungsschritte. Die Differenz z - z_0 zur Untergrenze z = ceil(n(2n - 1)/3) sind nötige irreguläre Halbzüge plus deren Korrektur. Die ersten Wertetrippel \(n: z_0, z-z_0 ) berechnen sich zu: \(0: 0, 0), \(1: 0, 0), \(2: 2, 0), \(3: 4, 1), \(4: 8, 2), \(5: 12, 3), \(6: 18, 4), \(7: 24, 7), \(8: 32, 8), \(9: 40, 11). Irreguläre Halbzüge können nötig werden, wenn die äusseren Krawatten \(n; n-1; ...) resp. \(...; 2; 1) getauscht werden, weil in deren Nähe Nummern liegen, die dadurch "gegen den Strom schwimmen" müssen. Bei n = 2 stehen die Extreme n, 1 von Anfang an beisammen, womit das Vertauschen ohne Irreguläre geht. Bei n = 3 steht nach dem ersten Schritt bereits die 1 neben der 3 bereit, was keinen weiteren irregulären Halbzug mehr bedingt. Der Quotient q = z_0/(z - z_0) sagt, pro wieviele reguläre im Durchschnitt ein irregulärer zur Verfügung steht: \(n: q) = \(3: 4.0), \(4: 4.0), \(5: 4.0), \(6: \stress\4.5\normal\), \(7: 3.43), \(8: 4.0), \(9: 3.64), ..., \(\inf: 3.00). Das Maximum bei n = 6 bedeutet, dass, wenn es knapp werden sollte mit den z - z_0 irregulären, es zuallererst n = 6 an den Kragen geht. Später folgen die n mit q = 4.0, also n \el(3, 4, 5, 8), was aber, wie die gefundenen Lösungen zeigen, kein Problem mehr ist. Und je grösser n, desto mehr nähert sich q dem limes von 3.0, weshalb dann immer genügend irreguläre zur Verfügung stehen (sollten). Interessant sind die "Einbuchtungen" von q für n = 1 mod 3:  dort haben wir durch die ceil\-Funktion für z 2//3 Züge Reserve. Da ein Zug aus 3 Quarks besteht \(siehe Einleitung im Paper, dort allerdings nicht explizit so bezeichnet), kann man erahnen, was "2//3 Züge" in etwa bedeutet:  2 Quarks Reserve! Vielleicht gelingt es jemandem, die hier gemachten qualitativen Aussagen quantitativ zu beweisen, vor allem den zweiten Teil für groses n; die Aussage für n = 6 haben wir ja durch vollständige Enumeration aller Kombinationsmöglichkeiten bewiesen. "Grosses n" heisst n >= 22, ab welchem Wert noch Lösungslücken bestehen \(oder zunächst einmal für n > 10^10^10^31 o.ä.). Funktion q\(n): reguläre zu irreguläre [ Nachricht wurde editiert von algol am 29.12.2008 20:43:35 ]


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saphir
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  Beitrag No.137, eingetragen 2008-12-30

Hallo, ich werde im Laufe des Tages immer mal wieder vorbeischauen, um zu sehen, ob ihr noch etwas zu kritisieren habt :-). Ausarbeitung3 Aber zuerst zu dem, was bisher angefallen ist: @Valentin: Die Fragezeichen fand ich auch etwas verwirrend, mir ist aber nichts Besseres eingefallen und den Abschnitt umschreiben wollte ich nicht... @Goswin: Ups, ich hatte wohl den geraden und ungeraden Fall verwechselt... Ich habe jetzt das Korollar so abgeändert, dass die Induktion normal durchgeht und dafür auf die Werte n < 5 verzichtet. Aber die kann man ja auch von Hand schnell nachprüfen. Ich hoffe jetzt stimmt es... Den Namen von xris kenne ich... ABER: Möchte er mit richtigem Namen genannt werden? Da er sich bisher nicht geäußert hat, bin ich einfach mal von dem ausgegangen, was ich für das Sicherste gehalten habe, nämlich den Namen nicht reinzuschreiben... @Chianti: Bei dir kommt es immer noch zu "Einholphänomenen". Und zwar werden zum Beispiel gegen Ende die beiden 1er gemeinsam in das zweite Fach getauscht... @algol: Folgt deine Aussage für großes n nicht aus dem Algorithmus, den wir einsenden. Ich habe mir das noch nicht genau überlegt, aber so vom Gefühl her müsste das passen... Grüße, Saphir


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algol
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  Beitrag No.138, eingetragen 2008-12-30

@saphir: Es ging mir darum, für alle a_n eine exakte Formel aufzustellen, nämlich diejenige für die untere Schranke mit der einzigen Ausnahme für n = 6. Das war doch, soviel ich mich erinnere, die ursprüngliche Frage der Preisaufgabe, die somit vollständig gelöst wäre. Die Sequenz der effektiven Vertauschungsschritte (für alle n) anzugeben, ist ein untergeordnetes Problem...


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saphir
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  Beitrag No.139, eingetragen 2008-12-30

Hallo, also dann würde ich sagen, dass wir die 3. Version absenden, wenn niemand mehr was Schlimmes gefunden hat. Es wäre mir lieb, wenn Matroid es heute oder morgen vormittag machen würde, sonst mache ich es morgen Mittag. @Algol: Ich meinte, dass die Aussage, das der Quotient gegen 3 geht, auch schon für unseren Algorithmus erfüllt sein sollte, obwohl dieser eben nicht(!) die optimale Zuganzahl benötigt... Grüße und guten Rutsch, Saphir


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matroid
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  Beitrag No.140, vom Themenstarter, eingetragen 2008-12-30

Was soll ich machen? Einsendeschluss ist 31.12., also wird es gelesen werden müssen. Gruß Matroid


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saphir
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  Beitrag No.141, eingetragen 2008-12-31

Hallo Matroid, EDIT: Siehe unten (ich dachte mir, dass du vielleicht die Ausarbeitung3 (aus Beitrag 137) einschicken solltest...(siehe Beitrag 131).) Sonst mache ich es heute gegen 13 Uhr... Gruß, Saphir EDIT: OK, ich schicke es ab! EDIT: Habe es mit dem entsprechenden Hinweis abgeschickt! [ Nachricht wurde editiert von saphir am 31.12.2008 12:54:13 ]


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Goswin
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  Beitrag No.142, eingetragen 2008-12-31

Hallo Algol, willkommen im Krawattenrätsel-Forum! Ich halte deine Beobachtung in Beitrag 136 für sehr lesenswert: sie ist die erste die ohne jedes rechnerische Experiment andeutet, dass der Fall n=6 die meisten Schwierigkeiten bietet, um die untere Schranke zu erreichen. Im Beitrag 138 hast du freilich nicht Recht: gefragt wird nicht nur nach einer Schranke, sondern nach einer Schranke MIT BEWEIS, und eine Beschreibung der Vertauschungen ist ja so ein Beweis. GRUNDSÄTZLICH könnte es auch Beweise anderer Art geben, aber die haben wir derzeit nicht. Vom zweiten Teil des Beitrags 136 verstehe ich deine Quellenangabe nicht: "Ein Zug besteht aus 3 Quarks (siehe Einleitung im Paper)" Welches Paper meinst du? Habe ich irgendwo einen Anhang übersehen? Oder weist du auf irgendeine Aussage hin, die (sehr indirekt) im Paper von diesem Krawattenräselforum vorkommt? Kannst du vielleicht genau definieren, was du unter "Quark" verstehst? (Ich rechne fest damit, dass dieses Forum auch 2009 weiterläuft) Ein frohes neues Jahr wünscht dir Goswin [ Nachricht wurde editiert von Goswin am 31.12.2008 18:13:27 ]


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Goswin
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  Beitrag No.143, eingetragen 2009-01-01

Dem gesamten Krawattenrätsel-Forum wünsche ich ein frohes neues Jahr! Saphir höchstpersönlich widme ich folgende ( smile echte smile ) Oberschranke: \forall\ $ n>=17 $ $ $ a_n<=floor((2n+1)n/3-log_2(n+2009)) welche nächstes Jahr sicher noch einen weiteren Tick verbessert werden kann. [ Nachricht wurde editiert von Goswin am 02.01.2009 22:42:49 ]


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algol
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  Beitrag No.144, eingetragen 2009-01-01

Hallo Goswin, Im\stress eingereichten\normal Paper, Korollar 4, werden die erlaubten Züge beschrieben. Wenn man "eine Fehlstellung korrigieren" resp. "ein Fach komplettieren" als\stress Quark\normal bezeichnet, hat man schnell die Analogie Zug <-> Atom. Beide bestehen je aus drei Quarks und sind doch (in der ursprünglichen Bedeutung) eine unteilbare Einheit! Ich verfiel auf diese Namensgebung, weil die Funktion q(n) für n == 1 mod 3 "einbricht" und hier anscheinend 2//3 Züge Reserve hat (vom Aufrunden her). Es gibt natürlich nur ganze Züge, aber wenn man auf Quarkebene hinunter steigt, sind Drittelzüge plötzlich denkbar! Ich wünsche dir und der ganzen Krawatten\-Crew ebenfalls ein mathematisch problemreiches - und somit frohes - 2009! algol


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Chianti
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  Beitrag No.145, eingetragen 2009-01-01

Ein Frohes Neues Jahr, oder wie man bei uns sagt: "Prost Neujahr"! Es hat Spaß gemacht an dem Krawatten-Rätsel zu Knobbeln, auch wenn ich nicht so viel zu "Lösung" beigetragen habe. Gibt es ein weiteres Rätsel in derselben Art, wo wir weiter knobbeln könnten, jetzt aber nicht so unter Zeitdruck? Ich würde sehr gerne weiterhin Algorithmen für solche Probleme schreiben. Chianti [Die Antwort wurde nach Beitrag No.142 begonnen.]


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gaussmath
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  Beitrag No.146, eingetragen 2009-01-02

Hallo! Hat das jetzt geklappt mit dem Einsenden? Ich bin schließlich auch gespannt.  smile Haltet Ihr uns auf dem Laufenden? Grüße gaussmath


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Moby
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  Beitrag No.147, eingetragen 2009-01-04

Ich schließe mich der Frage von gaussmath an :). Moby


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saphir
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  Beitrag No.148, eingetragen 2009-01-05

Hallo, um euch zu beruhigen: Natürlich hat es geklappt :-). Hier die Antwortmail... Sehr geehrte Damen und Herren, vielen Dank für die leicht modifizierte Lösung; Ihre bisherige Lösung ist bereits zur Prüfung bei den Gutachtern, ich werde die neue Lösung noch nachreichen. Mit besten Grüßen und Wünschen für das Neue Jahr Andreas Rüdinger Falls sie sich bei mir melden, gebe ich natürlich Bescheid. Grüße, Saphir


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KnutKnutsson
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  Beitrag No.149, eingetragen 2009-01-05

Hallo, hey, hier wurde ja doch noch einiges diskutiert und verbessert. Das freut mich, denn vor Weihnachten sah es hier sehr, sehr ruhig aus. Da habe ich schon befürchtet, viele hätten das Interesse verloren. Wie saphirs letztem Beitrag zu entnehmen ist, ist auch meine Mail angekommen. In der Antwort hat Herr Rüdinger vorgeschlagen, dass wir ihm noch die Postanschriften mailen, damit die Autoren an der Verlosung der 25 Bücher teilnehmen können. Wer daran Interesse hat (und sich nicht schon wie ich das Buch gekauft hat (da hat die Werbung mal doch funktioniert)), kann mir ja seine Daten per PN schicken und ich leite die dann gesammelt weiter. Ich werde mal bei Gelegenheit etwas über die Ausführungen von algol nachdenken. Ich hoffe, dass wir hier noch etwas weitermachen. Wäre ja auch interessant, wenn man durch die Hintertür zeigen könnte, dass n=6 die einzige Ausnahme ist. Möglicherweise ist und bleibt das Finden optimaler Tauschfolgen ja auch ein NP-schweres Problem (ich hab da zwar schon drüber nachgedacht, aber keine sinnvolle Reduktion gefunden). Viele Grüße Knut


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Goswin
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  Beitrag No.150, eingetragen 2009-01-07

Die folgende Ausführung soll einen Gedanken beisteuern, um Zufallssuchen wie die von Surdo effizienter zu gestalten. Im Beitrag 106 erwähnt Surdo den uns mittlerweile wohlbekannten Sachverhalt: "Jede Spalte darf nur einmal komplettiert werden, sonst stimmts nicht". Diese Eigenschaft ist wichtig, aber insofern unbequem, dass sie eine naive Suche erheblich verlangsamen kann. In der Tat erklärt Surdo in Beitrag 109: "Mein Programm beachtet nicht, dass jede Spalte nur einmal komplettiert werden darf". Um effizient suchen zu können, wollen wir nicht erst eine ZWEITE Komplettierung abblocken, sondern ERSTE Komplettierungen sofort verhindern, wenn sie falsch am Platz sind. Es sei A ein beliebiger Zustand eines Krawattenordners von Größe n, und \alpha_(ij) die Anzahl der Krawatten von Größe i in Fach j. Es sei L(A) die Halbsumme der Weglängen sämtlicher Krawatten zu ihren Zielfächern, also L(A) $=$ sum($ sum(\alpha_(ij) (i-j),j=1,i-1),i=1,n) $=$ sum($ sum(\alpha_(ij) (j-i),j=i+1,n),i=1,n) Eine Überlegung zeigt, dass wir diese Halbsumme wie folgt zerlegen können: L(A) $=$ sum(\beta_k,k=1,n-1) $mit \beta_k $=$ sum($ sum(\alpha_(ij),j=1,k),i=k+1,n) $=$ sum($ sum(\alpha_(ij),j=k+1,n),i=1,k) Wichtig für uns sind hier nur die Werte \beta_k , nicht deren Summe. Die Größe \beta_k ist einerseits die Anzahl der Krawatten von Größe k+1...n , die sich im Fächerbereich 1...k befinden (erste Summe); anderseits ist es auch die Anzahl der Krawatten von Größe 1...k , die sich im Fächerbereich k+1...n befinden (zweite Summe).  Wenn wir im Laufe einer Suche Züge mit Doppelkomplettierungen ausschließen wollen, gilt folgendes: Die Verschiebung einer Krawatte von Größe k nach RECHTS ins Fach k darf nur dann Fach k komplettieren, wenn \beta_k=0 ist. Die Verschiebung einer Krawatte von Größe k nach LINKS ins Fach k darf nur dann Fach k komplettieren, wenn \beta_(k-1)=0 ist. Eine Vertauschung darf nur dann ausgeführt werden, wenn beide zu verschiebenden Krawatten die entsprechenden Bedingungen erfüllen. Für die Umsetzung im Algoritmus ist es wichtig zu bemerken, dass die ganzzahligen Größen \beta_k während der Vertauschungen mitgeführt und SEHR schnell aktualisiert werden können; der Algorithmus erfährt so gut wie gar keine Verzögerung. Bei einer Vertauschung von Fach f nach Fach f+1 verändert sich höchstens \beta_f und alle restlichen \beta_k bleiben unverändert. Die Größe \beta_f wird um 1 vermindert, wenn sich beide zu vertauschende Krawatten auf ihr Zielfeld zubewegen, und bleibt gleich, wenn nur eine von beiden das tut. Diese Regel deckt alle Vertauschungen ab, die in den bisher gefundenen Optimallösungen vorkommen. [ Nachricht wurde editiert von Goswin am 11.01.2009 19:36:57 ]


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KnutKnutsson
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  Beitrag No.151, eingetragen 2009-01-12

Hallo, ich habe gerade folgende Email bekommen: \quoteon Sehr geehrter Herr Strehler, sehr geehrte beteiligte Forumsteilnehmer,   wir danken Ihnen nochmals für Ihre Teilnahme am Krawatten-Rätsel.   Nach Auswertung aller Einsendungen hat die Jury gemeinsam mit uns als Verlag entschieden, dass Ihnen gemeinsam   ein zweiter Preis, verbunden mit einem Preisgeld von gemeinsam 200€   verliehen wird.   Ich möchte Ihnen auch im Namen der Jury (Herr Prof. Felsner und Herr Prof. Kaibel) sowie im Namen des Spektrum Akademischen Verlags ganz herzlich zu der bemerkenswerten Leistung gratulieren.   Es gab kein vollständigen Lösungen (optimale Lösung für alle n), sodass die Preise nach dem erzielten asymptotischen Ergebnis vergeben wurden. Der erste Preis ist für die Einsendungen vergeben worden, die eine bessere obere Schranke als 2/3 n^2 nachweisen konnten.   Bitte teilen Sie meinem Kollegen, Herrn van Dijk, Willem.vanDijk@springer.com  die Bankverbindung (inkl. Postadresse) mit, auf die die 200€ überwiesen werden sollen.   Wir würden Ihre eingesandte Lösung (wie auch die anderen Lösungen) gerne unter Nennung Ihres Namens auf die Website zum Rätsel stellen. Darf ich Sie bitten, mir Ihr Einverständnis dazu mitzuteilen (formlos, per Antwort auf diese E-Mail)?   Es wird voraussichtlich in der zweiten Januar-Hälfte eine Pressemitteilung gemeinsam von der DMV und uns als Verlag geben, in der die Gewinner bekannt gegeben werden.     Bitte leiten Sie diese E-Mail an die beteiligten Forumsmitglieder weiter.   Mit besten Grüßen   Andreas Rüdinger \quoteoff Das ist doch schon mal prima. Herzlichen Glückwunsch und Dank an alle Beteiligten. Ich würde auf diese Mail antworten, dass die Lösung veröffentlich werden darf und für die 200€ das Spendenkonto vom Matheplaneten angeben. Zur anderen Lösung(en?): also viel besser als 2/3 n^2 kann die ja auch nicht sein. Vielleicht hätten wir doch am Linearterm rumschrauben sollen.^^ Ich glaub trotzdem, dass es immer optimal geht. Also weiter nachdenken! Viele Grüße Knut


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moudi
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  Beitrag No.152, eingetragen 2009-01-12

Hallo Knut und Team Herzliche Gratulation zum Preis. Es ist eine tolle Leistung. mfG Moudi


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gaussmath
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Wohnort: Hannover
  Beitrag No.153, eingetragen 2009-01-12

Wow, Respekt! Da freue ich mich natürlich und gratuliere herzlich. smile [Die Antwort wurde nach Beitrag No.151 begonnen.]


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matroid
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  Beitrag No.154, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-12

Super! Eine tolle Leistung eures Teams!! Ich bin stolz darauf ein Matheplanetarier zu sein!!! Hätte aber nie gedacht, dass andere noch eine etwas bessere Asymptotik zeigen. Da bin ich mal gespannt, was demnächst dann auf der Verlagsseite veröffentlicht wird. Dass ihr das Preisgeld spenden wollt, das ist auch super. Das müsstest ihr nicht tun, es ist ja eure Leistung. Ihr solltet euch, jeder an seinem Ort, etwas zum Anstoßen kaufen, und dann, genau um 23h wird im Chat Prost gesagt! Total begeisterte Grüße Matroid [ Nachricht wurde editiert von matroid am 12.01.2009 20:12:48 ]


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FlorianM
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Mitteilungen: 1104
Wohnort: Sarstedt
  Beitrag No.155, eingetragen 2009-01-12

Hallo, auch von mir herzlichen Glückwunsch! Seid stolz auf euch!  smile Viele Grüße Florian


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KnutKnutsson
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Mitteilungen: 26
  Beitrag No.156, eingetragen 2009-01-12

Hallo, also wenn wir das Geld irgendwie aufteilen würden wollen, würden wir ja im niedrigen zweistelligen Bereich pro Kopf landen, so viele haben letztlich mitgewirkt. Dem Matheplaneten zu spenden ist da wohl die einzige sinnvolle Lösung und war ja eigentlich auch so abgemacht. Und ich denke mal, dass sehen die anderen Beteiligten genau so. Und ohne Matheplaneten hätten wir uns wahrscheinlich auch nicht so zusammengefunden, also ist es doch die logische Schlussfolgerung. Ich warte mal noch ab, was saphir oder Goswin sagen, vor allem auch bzgl. der Veröffentlichung. Es reicht ja, denke ich, wenn ich morgen auf die Mail antworte. So, jetzt mich ich mich fix noch um was anderes kümmern und dann versuche ich mal, mich im Chat anzumelden. Das hab ich noch nie probiert. Viele Grüße Knut [ Nachricht wurde editiert von KnutKnutsson am 12.01.2009 21:46:37 ]


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Trampeltier
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  Beitrag No.157, eingetragen 2009-01-12

Hallo, wenn das nun der offizielle Glückwunsch und Anerkennungsthread wird, schließe ich mich den Vorredner einmal an  smile  Wirklich eine sehr schöne Arbeit (wobei ich persönlich ohne Einarbeitung nicht allzu viel verstehen werde  cool ). Gruß Trampel


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matroid
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  Beitrag No.158, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-12

Also, ich finde das mit der Spende ganz großartig, bedanke mich im Namen des ganzen Matheplaneten, und ich werde einen ausgeben, wenn wir uns mal treffen. Wie wäre es am 7.3. in Freiburg? viewtopic.php?topic=113584 Gruß und Danke Matroid


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matroid
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  Beitrag No.159, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-12

Ich werde den Kombattanten* ein Stäbchen stiften! * checkit, cyrix, Goswin, KnutKnutsson, saphir, surdo, valentin, xris [ Nachricht wurde editiert von matroid am 12.01.2009 22:16:33 ]


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