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Schulmathematik » Geometrie » Zwei Geraden
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Kein bestimmter Bereich Zwei Geraden
Anonymous
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  Themenstart: 2002-06-02

Zwei Geraden G1=v1+IRw1 und G2= v2+IRw2 aus dem IR^n heißen parallel, falls die Vektoren w1 und w2 linear abhängig sind. (Das ist mir soweit schon ganz klar und logisch -  wie Sätze ja eigentlich meistens sind) Ich soll nun aber ZEIGEN, dass wenn G1 und G2 Geraden im IR^2 sind, der Schnitt von G1 und G2 ungleich der leeren Menge ist oder, dass G1 und G2 parallel sind. Kann mir da jemand von euch helfen, wäre super nett!

 
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-06-02

Hallo, Anonymous! Wahrscheinlich hakst Du ein wenig, weil Du grundsaetzlich mit der Beweistechnik bei Implikationen der Form [A => (B Ú C)] Probleme hast. Wann ist so eine Implikation eine wahre Aussage? Wenn A falsch ist, oder wenn B Ú C wahr ist. Wenn A falsch ist, ist gar nichts weiter zu beweisen und Du bist sofort fertig. Du kanst also annehmen, dass A wahr ist. Nun musst Du zeigen, dass B Ú C wahr ist. Und hier wendest nun einen kleinen Trick an. Du machst eine Fallunterscheidung. 1 . Fall: B ist wahr. Dann ist B Ú C wahr, und Du bist schon fertig. 2. Fall: B ist falsch. Und nur in diesem Fall ist jetzt ueberhaupt Arbeit zuleisten. Nun musst Du naemlich nachweisen, dass C wahr ist. Du zeigst also die Aussage [(A Ù ¬B) => C], die zur uspruenglich zu zeigenden Aussage aequivalent ist. Nun noch eine Beweisskizze. Es seien G1 = v1 + IRw1, G2=v2 + IRw2 Geraden des IR2, die nicht parallel sind. Zu zeigen: G1 Ç G2 ¹ {0}. Nach der Definition der Parallelitaet wissen wir nun, dass w1 und w2 linear unabhaengig sind, sie bilden also eine Basis des IR2, d.h. dass sich zum Beispiel der Vektor v1 - v2 als Linearkombination von w1 und w2 darstellen laesst. Es gibt also l1, l2 Î IR mit v1 - v2 = l1w1 + l2w2. So. Nun sind es nur noch zwei (hoechstens drei) kleine Schritte zum Ende des Beweises. Die ueberlasse ich Dir, um Dir nicht den ganzen Spass zu verderben. Natuerlich darfst Du, wenn Du partout nicht weiterkommst, nochmal nachfragen. Gruss, E. [ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-06-02 21:48 ]

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