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Mathematik » Lineare Algebra » Identität einer Abbildung
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Universität/Hochschule J Identität einer Abbildung
Lucy-Amelie
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  Themenstart: 2008-09-18

Hallo zusammen, irgendwie verstehe ich die Identität einer Abbildung nicht recht. Ok, die Identität einer Funktion bildet sich auf sich selbst ab, also sind Definitions- und Wertebereich schonmal gleich und idx (x)=x Aber ich finde kein Beispiel dazu und kann mir nicht wirklich was darunter vorstellen, vor allem wenn ich diesen Satz sehe: \ f\circ\ g= id_y g\circ\ f= id_x Woher kommen diese beiden Identitäten? Kommen die von meinen beiden Abbildungen f und g? Hat jede Abbildung eine Identität? Wäre die Identität von x² beispielsweise 1? Oder auch den: http://upload.wikimedia.org/math/4/1/e/41e8b9316cd4e30aa16f1deef083db73.png Den versteh ich noch weniger...danke!! [ Nachricht wurde editiert von huepfer am 18.09.2008 23:21:18 ]


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Lucy-Amelie
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-18

Nachtrag: Ich verstehe einfach nicht, wieso das die Identität einer Funktion ist...wenn man eine Umkehrfunktion auf sich selbst anwendet, kommt doch immer wieder der Startwert raus, egal was ich für ein x wähle...


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Key
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  Beitrag No.2, eingetragen 2008-09-18

Abend Lucy, soweit ich weiß ist eine Identität eine Abbildung und keine Abbildung hat eine Identität. Es ist eben genau das was du shcon geschrieben hast: id(x) = x Das Argument wird auf sich selbst abgebildet. Eine inverse Funktion zu einer Funktion ist eben so definiert, dass eine Hintereinanderausführung der beiden Funktionen wieder den Ausgangswert liefert, also zusammen eine Identität ist. Grüße


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FlorianM
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  Beitrag No.3, eingetragen 2008-09-18

Hallo, da dein Link nicht funktioniert. Du meinst f \circ\ id_M=id_N \circ\ f. In welchem Zusammenhang tauchten deine Fragen denn auf? Gruss Florian [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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spitzwegerich
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  Beitrag No.4, eingetragen 2008-09-18

Die 'Identität einer Abbildung' gibt es nicht. Aber es gibt spezielle Abbildungen, die 'Identität' genannt werden: Zu jeder Menge M gibt es genau eine Identitätsabbildung id_M: M -> M, x |-> x. Die Identität auf M ist also die Abbildung, die jedes Element von M wieder auf sich selbst abbildet. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.] [ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 18.09.2008 23:14:31 ]


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Ernie
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  Beitrag No.5, eingetragen 2008-09-18

Hi, also die Identität, die identische Abbildung, ist z.B. die jeder kennt aus der Schule: f(x)=x. Das was du reinsteckst in die Funktion, kommt einfach "unverändert" wieder raus. Die Hintereinanderausführung einer Funktion f(x) und ihrer Umkehrfunktion g(x) ist auch die Identität. (Definitions- und Wertebreich angepasst natürlich, da eine Umkehrfunktion nur bei bijektiven Funktionen ex.) So nun mal zu deinem Bsp.: f: \IR_(0)^(+)  -> \IR_(0)^(+), f(x)=x^2 ist bijektiv und daher existiert die Umkehrfunktion: g: \IR_(0)^(+)  -> \IR_(0)^(+), g(x)=sqrt(x). So nu gilt: f \circ\ g = f(g(x))=id, weil: f(g(x))=f(sqrt(x))=sqrt(x)^2=x ist. Analog zu g \circ\ f = g(f(x))=id, weil: g(f(x))=g(x^2)=sqrt(x^2)=x ist. hoffe ich habe nix erzählt, was du schon verstanden hast vorher... [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Lucy-Amelie
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-18

Danke schonmal! Die Frage tauchte heute während einer Vorlesung auf... also die Identität ist eine Abbildung und es gibt in jeder Menge genau eine Identität die M auf M abbildet, also quasi den Definitionsbereich auf den Wertebereich. Ferner ist auch die Komposition von Funktion und Umkehrfunktion eine Identität, da ein Element auf sich selbst abgebildet wird. Die Identität ist natürlich bijektiv, da jedes Element auf sich selbst, also auf genau eines abgebildet wird. Daher muss auch die Umkehrfunktion bijektiv sein. Was ich nur noch nicht ganz verstehe, wieso idx und idy? @Ernie: Bei dir stand einfach nur "id", bei mir war noch unterschieden zwischen idx und idy...


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Ernie
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  Beitrag No.7, eingetragen 2008-09-18

f: X -> Y mit Umkehrabbildung g: Y -> X Dann ist: g \circ\ f = g(f(x))=id_X, weil von der Menge X nach X abgebildet wird. Oder analog: f \circ\ g = f(g(x))=id_Y, weil von Y nach Y abgebildet wird. [ Nachricht wurde editiert von Ernie am 18.09.2008 23:35:12 ]


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spitzwegerich
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  Beitrag No.8, eingetragen 2008-09-18

Zur Verdeutlichung kann man die Menge, auf der man die Identität betrachtet, nach 'id' in den Index schreiben. id_X symbolisiert also z.B. die Identität auf der Menge X.


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Lucy-Amelie
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-20

Ich werd jetzt wohl öfter mal was fragen, aber da ich keinen neuen Thread aufmachen will, schreib ich das einfach hier...wenn ich zeigen will ob eine Funktion von \ \IR X\IR nach \IR X\IR injektiv oder surjektiv ist, dann mache ich das so: Injektiv: f(x,y)=f(a,b) Das setz ich dann alles in die Gleichungen ein und gucke, ob x=a bzw y=b rauskommt. Wenn das nicht der Fall ist und ich das irgendwie nicht weiter aufgelöst krieg, wie mach ich weiter. Einfach nur ein Gegenbeispiel zeigen (Also ein a,b aus Y das von mehreren x,y aus X getroffen wird)? Das muss man doch auch irgendwie rechnen können... Dann die Surjektivität: Ich setze f(x,y)=(a,b). Ich versuche dann, diese beiden gleichungen (also f(x)=a, f(y)=b), jeweils nach x und y aufzulösen. Das was da rauskommt ist dann die menge aller Elemente a,b die die Vorraussetzung erfüllen. Falls es dann einen Fall gibt, der nicht geht (z.b ich erhalte \ sqrt(a-b) , daraus würd ich dann schließen, dass für alle b>a die Gleichung nicht erfüllt wird und somit f nicht surjektiv ist. Ich weiß, ich kann auch einfach nur ein Gegenbeispiel zeigen, also einen Punkt, der nicht getroffen wird. Aber ich mach das lieber sehr exakt, stimmt das denn, was ich geschrieben habe? Ich hab leider noch arge Probleme mit dem ganzen und weiß kaum, wie ich meine Übungsblätter lösen soll :( [ Nachricht wurde editiert von Lucy-Amelie am 20.09.2008 19:04:42 ]


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spitzwegerich
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  Beitrag No.10, eingetragen 2008-09-20

Ich denke, du solltest für jede neue Frage eine neues Thema aufmachen. Deine Übungsblätter werden schätzungsweise noch schwer genug, ich denke nicht, dass du ein schlechtes Gewissen haben musst, wenn du nur ein Gegenbeispiel angibst. Prinzipiell hast du schon das richtige geschrieben: Injektivität: * Entweder du weist nach, dass aus f(x,y) = f(a,b) immer (x,y)=(a,b) folgt, * oder du gibt ein Gegenbeispiel (x,y) ungleich (a,b) mit f(x,y) = f(a,b) an. Surjektivität: * Entweder du weist nach, dass zu jedem (a,b) aus der Zielmenge ein (x,y) aus der Urbildmenge existiert mit f(x,y) = (a,b), * oder du gibst ein Gegenbeispiel an, also ein (a,b) aus der Zielmenge, und beweist, dass dieses nicht als Wert der Funktion angenommen wird. Wenn du wirklich mehr machen willst, so kannst du die Frage nach der Injektivität bzw. Surjektivität einer Abbildung f : M -> N folgendermaßen verallgemeinern: * Anstelle von Injektivität: Bestimme zu jedem Element a von N die Menge f^(-1)(a), also die Menge aller Elemente in M, die auf a abgebildet wird. * Anstelle von Surjektivität: Finde den Bildbereich f(M), also die Menge aller Bilder von f. Abhängig von der konkreten Abbildung f kann es aber sein, dass das viel schwieriger ist als die ursprüngliche Fragestellung. [ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 20.09.2008 20:04:19 ]


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Lucy-Amelie
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-20

Also war mein Verfahren nicht richtig? Dann scheint es  Zufall zu sein, dass ich aus meinen "errechneten" Bedingungen immer auch Punkte folgern konnte, die ein Gegenbeispiel darstellen. Dein Verfahren verstehe ich leider nicht, ich hätte keine Ahnung, wie ich die Bildmenge bzw. die Urbildmenge zeige. Noch eine Frage: Ich hab hier was stehen, was ich absolut nicht verstehe: Sei f die Abbildung von den natürlichen Zahlen zu den ungeraden Zahlen. Sei g die Abbildung von den ungeraden Zahlen zu den natürlichen Zahlen. f ist injektiv. \ g\circ\ f ist injektiv, aber nicht surjektiv. Versteh ich absolut nicht. Wir haben gelernt, dass eine Abbildung bijektiv ist wenn die Anzahl der Elemente der Definitionsmenge und der Wertemenge übereinstimmt. Wie ist das jetzt, die natürlichen Zahlen und die ungeraden sind doch eigentlich unendlich, daher müsste doch theoretisch, auch wenns ja irgendwie mehr natürliche Zahlen gibt, die Anzahl der Elemente gleich sein; nämlich unendlich. Oder nicht? Bei Einschränkung wäre natürlich die Menge der ungeraden zahlen kleiner und daher wäre g für mich surjektiv...ach keine Ahnung, ich denk da jetzt schon ewig drüber nach und komm zu nix, wie soll das erst später werden :( [ Nachricht wurde editiert von Lucy-Amelie am 20.09.2008 21:30:13 ]


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spitzwegerich
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  Beitrag No.12, eingetragen 2008-09-20

\quoteon(2008-09-20 21:29 - Lucy-Amelie in Beitrag No. 11) Also war mein Verfahren nicht richtig? Dann scheint es  Zufall zu sein, dass ich aus meinen "errechneten" Bedingungen immer auch Punkte folgern konnte, die ein Gegenbeispiel darstellen. \quoteoff Solange du ein gültiges Gegenbeispiel findest das die Aufgabe löst, war dein Verfahren natürlich richtig. Es gibt häufig mehrere Methoden zum Ziel zu kommen. \quoteon Dein Verfahren verstehe ich leider nicht, ich hätte keine Ahnung, wie ich die Bildmenge bzw. die Urbildmenge zeige. \quoteoff Und ich verstehe nicht, worauf du dich beziehst. Eigentlich habe ich gar kein Verfahren im engeren Sinne angegeben, nur einen groben Plan, den man zur Behandlung der Frage nach der In- bzw. Surjektivität einer Abbildung verfolgen sollte. \quoteon Noch eine Frage: Ich hab hier was stehen, was ich absolut nicht verstehe: Sei f die Abbildung von den natürlichen Zahlen zu den ungeraden Zahlen. Sei g die Abbildung von den ungeraden Zahlen zu den natürlichen Zahlen. \quoteoff Du musst schon die konkrete Abbildung angeben. Es gibt viele verschiedene Abbildungen von den natürlichen in die ungeraden Zahlen. \quoteon Wir haben gelernt, dass eine Abbildung bijektiv ist wenn die Anzahl der Elemente der Definitionsmenge und der Wertemenge übereinstimmt. Wie ist das jetzt, die natürlichen Zahlen und die ungeraden sind doch eigentlich unendlich, daher müsste doch theoretisch, auch wenns ja irgendwie mehr natürliche Zahlen gibt, die Anzahl der Elemente gleich sein; nämlich unendlich. Oder nicht? Bei Einschränkung wäre natürlich die Menge der ungeraden zahlen kleiner und daher wäre g für mich surjektiv...ach keine Ahnung, ich denk da jetzt schon ewig drüber nach und komm zu nix, wie soll das erst später werden :( \quoteoff Das ist ein sehr wichtiger Punkt, über den du hier nachdenkst. Zwei Mengen heißen gleich groß, wenn eine Bijektion zwischen diesen Mengen existiert. Bei unendlichen Mengen hat dies eine zunächst paradox erscheinende Sache zur Folge: Es ist möglich, dass eine Menge echt in einer anderen enthalten ist, und trotzdem sind die Mengen gleich groß! Z.B. kann man zwischen den ganzen und den geraden Zahlen die Abbildung x |-> 2x nehmen, die die beiden Mengen bijektiv aufeinander abbildet. D.h. es gibt genauso viele ganze Zahlen wie gerade ganze Zahlen. Nun gibt es aber auch unendliche Mengen, die nicht gleich groß sind. Beispiel: Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen haben alle die gleiche Größe (man spricht von abzählbar unendlich). Die Menge der reellen Zahlen ist aber strikt größer als die der rationalen Zahlen, d.h. es existiert keine Bijektion zwischen den rationalen und den reellen Zahlen. [ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 20.09.2008 21:59:17 ]


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-20

Danke schonmal. Ich verzweifle grade echt; f: X -> Y n -> 2n+1, so heißt die Abbildung. Diese Abbildung ist bijektiv, verstehe ich auch. [Wenn X und y nun kleiner als unendlich wären, dann allerdings nicht, oder? Weil dann wäre doch die Menge der natürlichen Zahlen größer...] So, die 2. Abbildung ist genau die in die andere Richtung (er nannte es Inklusionsabbildung (x-1)/2). Was ich nun nicht verstehe: Wieso ist die Verkettung dieser beiden injektiv, aber nicht surjektiv?  Die Müsste doch dann auch bijektiv sein... [ Nachricht wurde editiert von Lucy-Amelie am 20.09.2008 22:34:08 ]


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  Beitrag No.14, eingetragen 2008-09-20

Du solltest dir angewöhnen, alle Bezeichner sauber zu definieren, die du hernimmst. Also schätzungsweise ist: X die Menge der ganzen Zahlen Y die Menge der ungeraden Zahlen g die Abbildung Y -> X, n |-> n g \circ\ f ist dann die Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen, zuerst f, dann g, also die Abbildung X -> X, n |-> g(f(n)) = g(2n+1) = 2n+1 Achtung: Die Zielmenge ist jetzt wieder X, nicht Y. Denn die Abbildung f führt zuerst von X nach Y, und die Abblildung g führt dann wieder zurück nach X. Damit ist klar, dass g\circ\ f nicht surjektiv ist: Beispielsweise ist die Zahl 0 in X, aber sie taucht nicht als Bild von g\circ\ f auf. [ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 20.09.2008 22:42:34 ]


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-20

Also nochmal: X: Menge der ganzen Zahlen Y: Menge der ungeraden Zahlen f: X->Y: n->2n+1 g: Y->X: x-> (x-1)/2 Unter dem x steht noch 2n+1. Ich verstehe, dass 0 z.B. Element von X, aber nicht Element von Y ist. Daher kann ich es quasi durch g nicht erzeugen, daher wäre g nicht surjektiv, ABER wenn ich mir das jetzt so angucke und auf Surjektivität prüfe: g(x)= (x-1)/2 Surjektivität: Für jedes a,b aus X existiert ein g(x), also: a= (x-1)/2 x= 2a+1 Also: Für alle a aus X ist x=2a+1. Damit ist die Funktion doch surjektiv. Es gibt kein a, womit ich diese Gleichung nicht lösen könnte. So, und wenn beide Mengen unendlich sind, versteh ich sowieso nicht, wieso dann nicht beide Abbildungen bijektiv sind, da die Anzahl der Elemente bei X und Y ja dann gleich ist. Oder soll ich das jetzt alles auf ungleich unendlich beziehen?


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  Beitrag No.16, eingetragen 2008-09-20

So, wie du es jetzt hingeschrieben hast, sind die Abbildungen f und g beide bijektiv und damit auch die Verknüpfung der beiden Abbildungen. Das widerspricht aber der Aufgabenstellung nachzuweisen, dass die Verknüpfung gerade nicht bijektiv ist. Weiter oben hast du aber geschrieben, dass g auch als Inklusionsabbildung bezeichnet worden ist. Das deutet darauf hin, dass eine andere Abbildung gemeint ist, nämlich die, die ich in Beitrag No. 14 angegeben habe. Und damit wäre die Verknüpfung nicht bijektiv, wie oben begründet. [ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 20.09.2008 23:13:00 ]


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  Beitrag No.17, eingetragen 2008-09-20

\quoteon(2008-09-20 22:51 - Lucy-Amelie in Beitrag No. 15) So, und wenn beide Mengen unendlich sind, versteh ich sowieso nicht, wieso dann nicht beide Abbildungen bijektiv sind, da die Anzahl der Elemente bei X und Y ja dann gleich ist. Oder soll ich das jetzt alles auf ungleich unendlich beziehen? \quoteoff Obacht: Wenn zwei Mengen gleich groß sind, dann existiert eine bijektive Abbildung zwischen diesen beiden Mengen. Aber im Allgemeinen ist natürlich nicht jede Abbildung zwischen diesen beiden Mengen auch bijektiv!


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Lucy-Amelie
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-20

Ich glaube, unser Professor hat das einfach nur missverständlich aufgeschrieben. Also, ich hab das jetzt so verstanden: Zuerst wird von den  natürlichen Zahlen durch 2n+1 auf die ungeraden abgebildet, diese Abbildung ist bijektiv, da jedem Element aus den natürlichen zahlen genau eines aus den Ungeraden Zahlen zugeordent wird. Nun werden wird von den  ungeraden Zahlen auf die natürlichen Zahlen abgebildet, dort gibt es aber ein element (0) welches kein Urbild in den natürlichen Zahlen besitzt (2n+1=0 <=> n= -1/2; Da aber n Element der natürlichen Zahlen ist, ist -1/2 nicht möglich). Daher ist die Abbildung nicht surjektiv. Injektiv ist sie, da es zu keinem Urbild mehr als eine Abbildung gibt. So und wenn g nicht surjektiv ist, ist die Verknüpfung der beiden auch nicht surjektiv (das ist ja auch so eine Regel). Stimmt das jetzt soweit? [ Nachricht wurde editiert von Lucy-Amelie am 20.09.2008 23:09:53 ]


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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-20

\quoteon(2008-09-20 23:02 - spitzwegerich in Beitrag No. 17) \quoteon(2008-09-20 22:51 - Lucy-Amelie in Beitrag No. 15) So, und wenn beide Mengen unendlich sind, versteh ich sowieso nicht, wieso dann nicht beide Abbildungen bijektiv sind, da die Anzahl der Elemente bei X und Y ja dann gleich ist. Oder soll ich das jetzt alles auf ungleich unendlich beziehen? \quoteoff Obacht: Wenn zwei Mengen gleich groß sind, dann existiert eine bijektive Abbildung zwischen diesen beiden Mengen. Aber im Allgemeinen ist natürlich nicht jede Abbildung zwischen diesen beiden Mengen auch bijektiv! \quoteoff Wäre dann dieser Satz nicht falsch? f: X->Y, |X|=|Y| nicht unendlich <=> f ist injektiv, surjektiv und bijektiv


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  Beitrag No.20, eingetragen 2008-09-20

\quoteon(2008-09-20 23:09 - Lucy-Amelie in Beitrag No. 18) [...] Stimmt das jetzt soweit? \quoteoff Im Wesentlichen. Du hast hier hoffentlich die Definition von g aus Beitrag No. 14 benutzt. Der Satz "Injektiv ist sie, da es zu keinem Urbild mehr als eine Abbildung gibt. " ist unsinnig.


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  Beitrag No.21, eingetragen 2008-09-20

\quoteon(2008-09-20 23:12 - Lucy-Amelie in Beitrag No. 19) Wäre dann dieser Satz nicht falsch? f: X->Y, |X|=|Y| nicht unendlich <=> f ist injektiv, surjektiv und bijektiv \quoteoff Nochmal: Bitte schreib hin, was deine Bezeichner bedeuten. So wie du das geschrieben hast, bleibt noch einiger Interpretationsspielraum. Meinst du vielleicht den da (beachte, wie ich die Bezeichner einführe): Seien M und N endliche Mengen mit |M| = |N|. Sei f : M -> N eine Abbildung. Dann gilt: f ist injektiv <=> f ist surjektiv <=> f ist bijektiv. Was ich in Beitrag No. 17 gesagt habe, kannst du dir auch leicht anhand eines Gegenbeispiels klarmachen: Nimm die Menge M = {1,2} und die Abbildung f : M -> M, x |-> 1. Diese Abbildung ist nicht bijektiv. [ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 20.09.2008 23:27:22 ]


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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-20

Hmm...also 2n+1->n ist injektiv, da: Seien  x,y element aus N. 2x+1=2y+1 <=> x=y Hmm, keine Ahnung ob das stimmt. ehrlich gesagt bin ich total überfordert, das ist erst der Vorkurs, seit Dienstag...und jetzt schon Fragen über Fragen :( Nun muss ich mich mal mit den Sätzen von Bernstein befassen, was auch immer das ist...und meinen Übungszettel irgendwie lösen :( [Die Antwort wurde nach Beitrag No.20 begonnen.]


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  Beitrag No.23, eingetragen 2008-09-20

\quoteon(2008-09-20 23:30 - Lucy-Amelie in Beitrag No. 22) Hmm...also 2n+1->n ist injektiv, da: Seien  x,y element aus N. 2x+1=2y+1 <=> x=y \quoteoff Ja, das stimmt.


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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-20

\quoteon(2008-09-20 23:25 - spitzwegerich in Beitrag No. 21) \quoteon(2008-09-20 23:12 - Lucy-Amelie in Beitrag No. 19) Wäre dann dieser Satz nicht falsch? f: X->Y, |X|=|Y| nicht unendlich <=> f ist injektiv, surjektiv und bijektiv \quoteoff Nochmal: Bitte schreib hin, was deine Bezeichner bedeuten. So wie du das geschrieben hast, bleibt noch einiger Interpretationsspielraum. Meinst du vielleicht den da (beachte, wie ich die Bezeichner einführe): Seien M und N endliche Mengen mit |M| = |N|. Sei f : M -> N eine Abbildung. Dann gilt: f ist injektiv <=> f ist surjektiv <=> f ist bijektiv. So ähnlich...dort standen anstatt <=>: Dann sind gleichwertig a) injektiv b) surjektiv und c) bijektiv Heißt also, wenn die Mengen gleichmächtig sind (so heißt das, oder? Hab recherchiert...) existiert eine Bijektion, aber nicht jede Abbildung ist bijektiv! Stimmt das? Was jetzt injektiv und surjektiv noch da sollen...keine Ahnung. Was ich in Beitrag No. 17 gesagt habe, kannst du dir auch leicht anhand eines Gegenbeispiels klarmachen: Nimm die Menge M = {1,2} und die Abbildung f : M -> M, x |-> 1. Diese Abbildung ist nicht bijektiv. Das hab ich leider nicht so ganz verstanden. Was bedeutet x |-> 1? x wird abgebildet auf 1? Wenn ja, dann wäre die Abbildung definitiv nicht inkjektiv, sondern surjektiv. Stimmt das? [ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 20.09.2008 23:27:22 ] \quoteoff [Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]


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  Beitrag No.25, eingetragen 2008-09-20

\quoteon(2008-09-20 23:35 - Lucy-Amelie in Beitrag No. 24) So ähnlich...dort standen anstatt <=>: Dann sind gleichwertig a) injektiv b) surjektiv und c) bijektiv \quoteoff Das hat die selbe Bedeutung. So wie du es in Beitrag No. 19 geschrieben hattest, war es aber alles andere als klar. \quoteon Heißt also, wenn die Mengen gleichmächtig sind (so heißt das, oder? Hab recherchiert...) existiert eine Bijektion, aber nicht jede Abbildung ist bijektiv! Stimmt das? Was jetzt injektiv und surjektiv noch da sollen...keine Ahnung. \quoteoff Damit hast du jetzt das nochmal wiedergegeben, was ich in Beitrag No. 17 geschrieben habe. Der obige Satz hat eine andere Bedeutug: Wenn M und N zwei gleich mächtige, endliche Mengen sind, und f: M -> N eine Abbildung zwischen diesen Mengen, dann sind die Begriffe "injektiv", "surjektiv" und "bijektiv" für diese Abbildung gleichwertig. Wenn man z.B. von einer solchen Abbildung nachweisen soll, dass sie bijektiv ist, so reicht es entweder die Injektivität oder die Surjektivität nachzuweisen (kann man sich aussuchen). Die andere Eigenschaft ergibt sich dann von selbst. \quoteon Das hab ich leider nicht so ganz verstanden. Was bedeutet x |-> 1? x wird abgebildet auf 1? \quoteoff Das bedeutet, dass jedes Element x aus M auf die 1 abgebildet wird. \quoteon Wenn ja, dann wäre die Abbildung definitiv nicht inkjektiv, sondern surjektiv. Stimmt das? \quoteoff Nein, die Abbildung auch nicht surjektiv. Denn die 2 ist in der Zielmenge M, tritt aber nicht als Bild von f auf. [ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 20.09.2008 23:54:42 ]


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Lucy-Amelie
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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-21

Alles klar, vielen Dank, das hab ich jetzt soweit alles verstanden (endlich!). Echt toll, 4 Stunden für 2 so Mini-Sätze...das kann ja was werden.


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