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| Autor |
 Umkehrabbildungen |
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Hagedorn
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 23.04.2008
Mitteilungen: 200
Wohnort: Bochum
 |  Themenstart: 2008-11-09
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Hallo Planetarier ich stehe vor einen Vorstellungsproblem und es geht nämlich Umkehrabbildungen.
1.) Wozu brauch ich den Umkehabbildungen bzw. was bringen sie mir?
Ich habe eine Definition von meinem Lehrer bekommen die folgendes besagt:
Unter einer Umkehrabbildung A^(-1) versteht man diejenige Abbildung, die eine gegebene Abbildung A wieder rückgängig macht.
Und als Beispiel ist folgendes gezeigt A^(-1) * A = (4,-3;1,-1) * (1,-3;1,-4) = (1,0;0,1)
Was kann ich mir nun darunter vorstellen, ist die Einheitsmatrix sowas wie ein Beweis, dass eine Umkehrung erfolgt ist?
Nehmen wir an, dass eine B ist eine Abbildung B=(1,3;4,5) wie zeige ich Rechnerisch eine Umkehrabbildung an? Also B^(-1) ?
Eine weitere Frage die mich zum Wahnsinn bringt, gibt es eine Matrix C, die sich selbst als Umkehrung hat (außer der Einheitsmatrix)?
Mir fehlt die ganze vorstellung
Ich hoffe jemand kann mich aufklären
Gruß Hagedorn
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 Profil
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2008-11-09
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Hi Hagedorn
Eine Abbildung \IR|->\IR, x|->f(x) kann z.B. diese sein:
x|->5*x=:y
Die Umkehrabbildung y|->x ist dann
y|->y\/5 $ $ $ #// =x
Und was passiert, wenn man beide hintereinander ausführt?
x|->(5*x)\/5=x
Abbildung und ihre Umkehrung heben einander also auf.
Bei der Multiplikation ergeben sie, hintereinander ausgeführt, 1 \(Eins\).
Und bei der Multiplikation zweier Matrizen muß entsprechend die bzgl. der Multiplikation neutrale Matrix, also die Einheitsmatrix rauskommen.
Für Deine "Wahnsinnsaufgabe" solltest Du mal
(a,b;c,d)^2=(1,0;0,1)
untersuchen. Klappt das nicht, probier mal
(sqrt(30)/6,1/2;1/3,-sqrt(30)/6)
mit sich selbst zu multiplizieren.
Gruß vom 1/4
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occhio
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.11.2007
Mitteilungen: 548
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2008-11-10
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Hi Hagedorn
vielleicht noch eine Anmerkung von mir zum Sinn der Umkehrabbildung (auch: inverse Matrix oder Inverse):
\blue\Was kann ich mir nun darunter vorstellen, ist die Einheitsmatrix
\blue\sowas wie ein Beweis, dass eine Umkehrung erfolgt ist?
Es existiert genau eine Inverse A^(-1) zur \red\quadratischen\black Matrix
A, wenn A vollen Rang hat; man sagt auch "A ist regulär" [d.h. alle
Spalten der quadratischen Matrix sind linear unabhängig,die Determinante der$Matrix !=0].
Die Inverse wird u.a. bei Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen benötigt[soweit ich weiß;vielleicht findet sich jemand, der dies genauer ausführen kann].
Im u.a. link findest Du ein pdf zum Thema:
Matrix-Inverse
lG occhio
Zur Kontrolle:
Meine Lösung für B^(-1) aus Deinem Bsp.lautet(-5/7,3/7;4/7,-1/7)
Zur Selbstkontrolle gibt es einen online-Rechner:
mathe-online Mathematica
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