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  Nicht Borelsche Menge |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2003-10-18
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Hallo zusammen!
Wer kann mir eine nicht borelsche Teilmenge konstruieren, möglichst ausgehend vom komplexen Einheitskreis?!
Ich bin soweit, dass ich bereits Mengen konstruiert habe, die den Einheitskreis disjunkt und vollständig abdecken. Diese entstehen, betrachtet man die Äquivalenzrelation
z \~ w <=> z=e^i\a|w|für|ein|\a\el\IQ
auf dem komplexen Einheitskreis. Man bildet damit die Mengen
A_q|=menge(e^iq|q\el K),
wobei K ein Vertretersystem der Äquivalenzklassen derart ist, dass es Teilmenge von
menge(e^iq|q\el [0,1[ )
ist. (Dieses existiert, wie man sich leicht überlegt.)
Aber warum ist jetzt die Existenz des zweidimensiionalen Lebesguemaßes ein Widerspruch dazu, dass K borelsch ist?
Bis dahin schönen Gruß und Dank!
Manatu
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Rodion
Senior 
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-18
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Ich verstehe deine Definitionen nicht so ganz.
So würde ich die Sache angehen:
\stopalign
Es sei auf dem Einheitskreis
z \~ w :<=> z = e^(i*\a)*w\ \ \ , \ \a \el \IQ
Sei dann K ein Repräsentantensystem.
Dann sei
A_q := {z*e^(iq) \| z \el K} \ \ , q \el \[\-2\p,2\p\] \cut \IQ
Sei weiter
M := vereinigung(A_q, q\el\[-2\p\,2\p\]\cut\IQ)
Dann ist M = E (Einheitskreis).
Denn trivialerweise ist M \subset E.
Sei nun x \el E.
Dann liegt x in einer Äquivalenzklasse und es gilt:
(Achtung, Klammerungsprobleme wg. fed!)
\exists q\el \[\-2\p, 2\p\]\cut\IQ : x*e^(iq)\el K
=> x \el A_-q
Denn es ist ja:
A_-q = {z*e^(-i*q) \| z \el K}
da x*e^(i*q) \el K ist also
(x*e^(i*q))*e^(-i*q) = x \el A_-q
Somit ist also x \el M und damit E \subset M.
Angenommen, die Mengen A_q wären borelsch, bzw. Lebesgue-meßbar.
Es ist \l(E) = \l(M) = \p
also wäre:
\l(vereinigung(A_q, q\el\[\-2\p\,2\p\]\cut\IQ)) = \p
Nun kann man aber schnell zeigen, daß A_q_1\cut A_q_2 = \emptyset \ \, q_1 != q_2.
Aus der Sigmaadditivität des Lebesgue-Maßes folgt daher:
\l(vereinigung(A_q, q\el\[\-2\p\,2\p\]\cut\IQ)) = sum(\l(A_q_j), j=1, \inf)
mit irgendeiner Abzählung der rationalen Zahlen in \[\-2\p, 2\p\].
Man sieht auch, daß gilt:
\l(A_q_j) = \l(A_q_i)
und damit folgt der Widerspruch,
da das Maß der Vereinigung so ja nur 0 oder \inf sein kann, nicht aber \p.
PS: Gibt es einen fed-Befehl der Intervalle darstellt, also (a, b), (a, b], [a, b] etc. und wenn ja, wie lautet der?
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Martin_Infinite
Senior 
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-10-18
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intervallog(x,y) erstellt ein links-halboffenes Intervall von x bis y.
intervallgo(x,y) erstellt ein rechts-halboffenes Intervall von x bis y.
intervalloo(x,y) erstellt ein offenes Intervall von x bis y
intervall(x,y) erstellt ein geschlossenes Intervall von x bis y.
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-18
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Das ist sehr schön, Rodion, doch habe ich folgendes Problem:
Wieso ist hier auf einmal
\l(E)=\p
obwohl du mir doch in der Rubrik Analysis gerade erst gezeigt hast, dass der Einheitskreis das Maß Null hat?
Meine Definition von
\A_q
war im Grunde deine, nur dass ich kein beliebiges Repräsentantensystem zugelassen habe, sondern dieses eingeschränkt hatte auf einen kleineren, genauer bestimmten Bereich. Das macht wohl keinen Sinn, sehe ich ein.
Mir fällt jedenfalls noch folgendes ein: Es müsste reichen, q auf
intervallgo(0,2\p)
einzuschrenken. Damit ist der ganze Kreis bereits abgedekt und wir erhalten eine disjunkte Vereinigung. Dann erst ist die Sigmaadditivität gewährleistet.
Einiges ist mir ejdenfalls schon klar geworden!
Herzlichen Dank!
Manatu
P.S.:(Kann man eigentlich Fed nicht mitten in den Text einbauen?)
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.4, eingetragen 2003-10-18
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Ich habe gezeigt, daß das Maß des Randes des Einheitskreises Null ist. Daß Maß des Einheitskreises ist selbstverständlich PI, dazu mußt du das Integral ausrechnen, daß ich in diesem anderen Topic hingeschrieben habe.
Ich weiß nicht, ob das Intervall [0, 2*PI] reicht, denn wir müssen ja zeigen, daß x in M liegt für beliebiges x aus dem Einheitskreis. Dazu brauchen wir aber -q, da zwar die Drehung um 2*PI-q dasselbe ergibt, diese Zahl aber nicht rational ist. Da muß man nochmal drüber nachdenken.
Fed-Befehle müssen immer an den Zeilenanfang. Du kannst aber mit
( )
Fließtext im fed darstellen, du mußt nur auf Zeilenumbrüche achten.
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.5, eingetragen 2003-10-18
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Habe gerade nochmal nachgeguckt: Da liegt ein Mißverständnis vor.
Du hattest in jenem Beitrag nach dem Maß des Einheitskreises gefragt und dann konkretisiert durch:
{e^(i*q)\.\| q\el\IR}
Letzteres ist aber nicht der Einheitskreis, sondern nur dessen Rand.
Ich hatte das als 2 Fragen aufgefaßt und beide Maße hergeleitet.
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.6, eingetragen 2003-10-18
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Hi Manatu,
Rodion hat dir hier gezeigt, daß es nicht Borelsche Teilmengen des Einheitskreises gibt. Er benutzt dazu das Auswahlaxiom (bei der Wahl
der Repräsentanten).
Ohne dieses Axiom scheint es nicht zu gehen.
//EDIT: Doch, das geht. Man findet ein konstruktives, konkretes Beispiel bei Wikipedia. Kurz gesagt, die Menge aller Kettenbrüche, die eine im Sinne der Teilerrelation aufsteigende Teilfolge von Nennern haben.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 12.04.2011 18:59:08 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.7, eingetragen 2003-10-18
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Es scheint nicht nur nicht zu gehen, man kann sogar beweisen, daß ohne Zuhilfenahme des Auswahlaxioms keine Nichtborelmengen konstruierbar sind.
Du meintest das sicher auch so, ich wollte es nur nochmal hervorheben.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-18
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Mir ist schon klar, was Rodion mir gezeigt hat. Ich habe ja auch danach gefragt.
Mir ist ebenso klar, dass der Beweis nur eine Existenzaussage macht, aber kein bischen konstruktiv ist.
Ich sehe ein, dass wir doch von -2PI losziehen müssen.
Aber eines ist mir immer noch nicht klar: Es geht doch hier um den Rand vom Einheitskreis, oder nicht?
Es gilt doch
\A_q\subset menge(e^iq|q\el\IR),
also ist auch dein M eine Teilmenge dieser Menge.
Und die Punkte in dieser Menge liegen alle auf dem Rand des Einheitskreises, weil sie alle vom Ursprung den Abstand 1 haben. (Es sind also keine inneren Punkte, aber Häufungspunkte.)
Vertue ich mich hier oder ist es doch ein wenig komplizierter?!?
Manatu
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.9, eingetragen 2003-10-18
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Darum habe ich ja deine Definitionen nicht nachvollziehen können, weil du mit dem Rand des Einheitskreises arbeitest. Der ist eine Nullmenge und somit sind auch alle meßbaren Teilmengen Nullmengen. Damit könnte man nun aber gar keinen Widerspruch erzeugen, denn dazu brauchen wir ja die Sigmaadditivität und daß das Maß des Einheitskreises PI ist.
Und guck dir meine Definition von A_q nochmal an. Das ist nicht Teilmenge des Randes, denn das Repräsentantensystem K ist ja nicht Teilmenge des Randes. Kann es ja auch nicht sein, denn welcher Repräsentant liegt dann z.B. mit 0 in einer Äquivalenzklasse?
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.10, eingetragen 2003-10-18
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Hi Rodion,
möglicherweise habe ich micht geirrt mit "nicht-Borelmengen nur mit Auswahlaxiom".
Ziemlich sicher bin ich, daß die Existenz nicht meßbarer Mengen nur mit dem Auswahlaxiom möglich ist, denn das wird an mehreren Stellen so behauptet.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 12.04.2011 19:02:02 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.11, eingetragen 2003-10-18
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Erwischt! Ich habe dummerweise Borelmengen mit meßbaren Mengen gleichgesetzt.
Mein Satz bezieht sich auf nicht-meßbare Mengen, solche sind nur unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms konstruierbar.
Wie es sich da mit Borelmengen verhält, weiß ich gerade auch nicht, ich suche aber mal ein wenig danach.
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.12, eingetragen 2003-10-19
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Hi Manatu,
mir fällt noch Folgendes ein.
Obwohl der Rand des Einheitskreises das zweidimensionale Maß Null besitzt, kann man doch für Teilmengen des Randes des Einheitskreises das eindimensionale Maß definieren, das ist grob gesprochen die Bogenlänge.
Es sei U die Einheitskreislinie, also der Rand des Einheitskreises M.
Jeder Teilmenge A von U kann ich die Teilmenge
B={z aus M : z=r*u , 0 ≤ r ≤ 1 , u aus A} von M zuordnen (wenn A aus Bögen besteht, dann besteht B aus Kreissektoren).
Außerdem gilt: mes2 B = mes1 A / 2, dabei bezeichnet mes2 das zweidimensionale Lebesguemaß und mes1 das eindimensionale Lebesguemaß auf U.
Außerdem gilt: A eindimensional meßbar <==> B zweidimensional meßbar.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 12.04.2011 19:04:21 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.13, eingetragen 2003-10-19
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Hmm, ich habe nochmal nachgedacht. Es gibt natürlich keine nicht-meßbaren Borelmengen.
Aber gibt es meßbare Nichtborelmengen? An sich ist ein Maß doch nur auf den Borelmengen eines Raumes X definiert.
Ich kann ja nochmal kurz die mir vorliegenden Definitionen angeben:
Borelmenge:
Sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum,
dann heißt das kleinste System von Teilmengen von X,
das sämtliche abgeschlossenen Teilmengen enthält und abgeschlossen gegen abzählbare Vereinigungen
und Komplementbildung ist das System der Borelmengen von X.
Maß:
Ein Maß auf X ist eine Funktion \m mit Werten in \IC\union {\inf },
die auf allen Borelmengen von X erklärt ist,
auf denjenigen mit kompaktem Abschluß endliche Werte annimmt
und \s -additiv ist.
Wenn ich Maße also genau auf den Borelmengen erkläre, sind dann die Eigenschaften "nicht-borelsch" und "nicht-meßbar" nicht äquivalent?
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-10-19 11:29 ]
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-10-19 11:30 ]
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.14, eingetragen 2003-10-19
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Hi, ich bin zufällig auf diese Seite gestoßen weil ich ein ähnliches problem habe
FInde eine Teilmenge des R^2 die Lebesgue meßbar aber nicht Borel meßbar ist.
Ist das nicht genau das was ihr hier macht?
Danke
Wolfgang
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.15, eingetragen 2003-10-19
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Kann natürlich sein, daß meine Maß-Definition auch bekannt ist als Borel-Maß und es noch andere Maße gibt. Leider haben wir nie explizit Maßtheorie behandelt, daher warte ich mal auf weitere klärende Beiträge.
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.16, eingetragen 2003-10-19
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Hi Rodion,
ja, das ist die Definition eines Borelmaßes. Richtig, jede Borelmenge ist meßbar. Meßbare Mengen sind alle Mengen der Form
Borelmenge Δ Nullmenge (Δ soll das Zeichen für die symmetrische Differenz sein, es gibt aber leider kein einheitliches Zeichen dafür).
Jedes Borelmaß kann so auf alle meßbaren Mengen ausgedehnt werden (das ist einer der vielen Erweiterungssätze in der Maßtheorie).
Wenn man es allgemein (z. B. auf topologischen Hausdorff-Räumen) macht, spielt auch der Begriff "reguläres Maß" eine Rolle. Das ist eine Art Verträglichkeitsbedingung zwischen Maßstruktur und topologischer Struktur, so wie bei einem topologischen Vektorraum die Stetigkeit der Operationen gefordert wird, das ist eine Verträglichkeitsbedingung zwischen Gruppenstruktur und topologischer Struktur.
@Anonymous
Ja, genau das machen wir wohl hier. Obwohl ich jetzt wieder Hoffnung habe, daß es doch geht, haben wir's wohl noch nicht
geschafft.
Man müßte die nicht-Borelmengen wahrscheinlich am besten unter den Teilmengen einer Nullmenge suchen.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 12.04.2011 19:06:45 ]
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.17, eingetragen 2003-10-19
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Hi nochmal,
habe jetzt was gefunden
www.kfunigraz.ac.at/imawww/keeling/mas-probs.ps
Beispiel 27 und 32
Bin jedenfalls froh dass ich nicht der einzige bin der das nicht kapiert, war schon ziemlich frustriert :-(
Grüße Wolfgang
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-20
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Hallo zusammen!
Ihr schreibt so schnell, dass ihr mich ein wenig abgehangen habt. Ich schreibe hier also noch kurz, was mir während des Studium,s eurer Beiträge eingefallen ist:
1.) Rodion, ich weiß jetzt, wo wir uns missverstanden haben: Ich legte schon der Relation den Rand des Einheitskreises zu Grunde. So ist es in meiner Aufgabe auch vorgegeben. Du legtest aber von vornherein den ganzen Einheitskreis zu Grunde. Deshalb habe ich deine Argumentation nie so ganz verstanden, ist aber klar jetzt!
2.) Buri, dein Kommentar bzgl. der Äquivalenz zwischen den eindimensionalen Randstücken und den zweidimensionalen Kreisstücken hilft mir weiter. Vielen Dank!!
3.) Wolfgang, das Beispiel 27 in dem angegebenen PS ist das, welches mir bisher bekannt war. Doch will die mir nun vorliegende Aufgabe eben, dass ich nicht R zugrundelege, bzw. R^n, sondern dass ich die Einheitskreislinie nehme. Bei dem Versuch, das zu übertragen, bin ich dann gescheitert, bisher...
Grüße aus Bonn!
Manatu
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