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| Autor |
  fkt. - theorie: gebrochen lineare fkt. |
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abraxus
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.01.2003
Mitteilungen: 109
 |  Themenstart: 2003-10-20
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hi!
hab wieder mal probleme:
geg. sei eine gebrochen lineare funktion f: \Sigma -> \Sigma,
z -> f(z):= ((a*z+b)/(c*z+c)), f(\inf):=(a/c),f(-d/c):=\inf\,
\Sigma ist die erweiterte komplexe ebene.
frage: welche gebrochen-lineare fkt. bildet wie folgt ab
f(-1)=0, f(i)=2*i, f(1+i)=1-i?
fehlt mir da nicht eine vierter punkt, um a,b,c,d zu bestimmen.
ich hab schon versucht die entstehenden gleichungen so zu kombinieren,
daß ich ein bild eines 4. punktes bekomme, bis jetzt ohne erfolg ...
danke für jegliche ideen!
mfg, abraxus
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-20
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Hi!
Hast du schonmal das Gleichungssystem mit den drei Puntken angesetzt?
Die 4 Variablen sind nämlich durch die Funktion soweiso nicht eindeutig bestimmt, da man immer mit einer Konstanten erweitern kann und damit andere a,b,c,d, aber dieselbe Funktion erhält.
Löst man das LGS, sollten Zusammenhänge wie
b = ka
c = ta
d = ra
mit irgendwelchen k,t,r rauskommen, a kann man dann frei wählen, ohne die Funktion zu verändern.
Gruß
Fabi
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abraxus
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.01.2003
Mitteilungen: 109
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-20
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naja, das GLS sieht so aus:
I. a=b
II. a*i+b=2*i(c*i+d)
III. a*(1+i)+b=(1-i)*(c*(1+i)+d)
und jetzt a bzw. b frei wählen?
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-10-20
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Genau, und dann b,c,d in Abhängigkeit dieses Parameters angeben.
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-10-20
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Hallo, heißt deine Funktion
$f(z)=(a*z+b)/(c*z+d)$? und aus welchem Zahlenbereich stammen die
Koeffizienten?
Ich habe eine Idee, wie man die Koeffizienten finden kann.
Bis bald! Sonnhard.
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abraxus
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.01.2003
Mitteilungen: 109
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-20
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.6, eingetragen 2003-10-20
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Hallo, die Auswertung der Bedingungen liefert die folgenden Gleichungen:
$(-a+b)/(d-c)=0$,
((1+i)*a+b)/((1+i)*c+d)=1-i$,
(i*a+b)/(i*c+d)=2*i$.
Aus der ersten Gleichung folgt sofort $a=b$. Dies setzen wir in die
zweite und dritte Gleichung ein.
((1+i)*a+a)/((1+i)*c+d)=1-i$,(I)
(i*a+a)/(i*c+d)=2*i$.(II)
(I)und (II) stellen wir nach $a$ um und erhalten:
$a=(1-i)/(2+i)*(c+ci+d)$ und
$a=(2*I)/(1+i)*(d+ci)$.
Beide Gleichungen werden gleichgesetzt und nach z.B. nach $d$
umgestellt:
$d=-1/4*(5*ci+1)$.
Analog ergeben sich:
$b=1/2*i*c$, $a=-1/2*i*c$ und $c$ beliebig.
Alles klar?
Viele Grüße, Sonnhard.
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