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Festkörperphysik » Kristallographie » Kopplungskonstanten für Schwingung im hexagonalen Kristallgitter
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Universität/Hochschule J Kopplungskonstanten für Schwingung im hexagonalen Kristallgitter
DaBrainBug
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  Themenstart: 2008-11-29

Guten Abend, ich habe ein hexagonales ebenes Gitter gegeben mit Gitterkonstante a aus Massepunkten der Masse m, welche mit Federn der Federkonstante C gekoppelt sind. Bild Nun soll ich die Dispersionsrelation der beiden akustischen Zweige berechnen. Da das Gitter eine primitive Einheitszelle besitzt, betrachte ich einen Massepunkt und seine Wechselwirkung mit den sechs umliegenden Punkten, um eine Bewegungsgleichung zu formulieren: m(u_ni)^**+sum(C_ni^mj*u_mj,(m,j))=0, wobei u_ni die Auslenkung des n-ten Massepunktes in Richtung i aus seiner Ruhelage bezeichnet. Diese zwei Gleichungen würde ich dann mit ebenen Wellen lösen und die zwei Beziehungen \omega(k) erhalten. Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Kopplungskonstanten C_ni^mj ansetzen soll. Es koppeln ja alle 7 betrachteten Punkte sowohl in x- als auch in y- Richtung. Wenn zum Beispiel Punkt 1 in x-Richtung auslenkt bewirkt das eine Kraft auf den mittleren Punkt sowohl in x- als auch in y-Richtung. Die entsprechenden Beziehungen werden aber viel zu kompliziert; Meine Frage an euch ist jetzt, ob es eine sinnvolle Möglichkeit gibt, um die Kopplung zu formulieren. Oder ob generell ein anderer Lösungsweg einfacher zu machen wäre. Ich hoffe, dass mein Problem verständlich ist und es hier jemanden gibt, der sich mit solchen Gittern auskennt.  smile   Gruß Alex

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John_Matrix
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  Beitrag No.1, eingetragen 2008-11-29

Hi BB, die Sachlage sollte in Vektorschreibweise klar werden: \  m (u^>)^**_(R^>) = sum(-K(u^>_(R^>)-u^>_(R^>+\delta^>)),\delta^>) wobei \delta^> ueber die 6 Verbindungsvektoren zu den naechsten Nachbarn laeuft. LG, JM

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DaBrainBug
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2008-11-29

Hi JM, danke für die schnelle Antwort! Das bedeutet also, dass eine Auslenkung eines der Punkte in x-Richtung keinen Einfluss auf die Auslenkung des mittleren Punktes in y-Richtung hat? Ich hätte gedacht, dass die beiden Gleichungen gekoppelt sein müssen, so wie es die allgemeine Formel darstellt (da läuft ja in der Summe die kartesische Komponente durch). Ich sehe gerade nicht wie ich mit den zwei entkoppelten Gleichungen auf zwei verschiedene Lösungen von w(k) komme... Gruß Alex

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John_Matrix
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  Beitrag No.3, eingetragen 2008-11-29

Du hast schon Recht, i.A. ist auch ein Term der Form  sum(-(u^>_(R^>)-u^>_(R^>+\delta^>))*\delta^> \delta^>,\delta^>) auf der Rechten Seite erlaubt. Darauf kommt man, indem man wirklich Federn einer gewissen Gleichgewichtslaenge l_0 zwischen den Ionen betrachtet, und die potentielle Energie in zweiter Ordnung in den u^>_(R^>) entwickelt. Es kommt nun darauf an, wieviel Realismus bei der Aufgabe verlangt wird. Die Proportionalitaetskonstante in dem zusaetlichen Term haengt auch von l_0 ab, was ja in der Aufgabe nicht gegeben ist. Oft begnuegt man sich mit dem einfacheren Ansatz, den ich oben zuerst hingeschrieben habe. Es besteht eine nicht unerhebliche Wahrscheinlichkeit, dass die Aufgabe so gemeint ist.  

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DaBrainBug
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2008-11-29

Gut, ich würde dann zur Lösung u_ni=u_i(k)*exp(i(k^>*r^>_n-\omega*t)) ansetzen. Dann bekomme ich allerdings zwei praktisch identische Gleichungen für i=x und i=y und somit nur eine Lösung für \omega(k). [ Nachricht wurde editiert von DaBrainBug am 29.11.2008 20:33:00 ]

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John_Matrix
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  Beitrag No.5, eingetragen 2008-11-29

Die beiden akustischen Zweige sind auf jeden Fall degeneriert, auch mit den Zusatztermen. Dies ist eine direkte Konsequenz aus der Rotationssymmetrie.

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DaBrainBug
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2008-11-29

Ah, das ist gut zu wissen. Dann behalte ich die Lösung so. Vielen Dank nochmal für deine flotte Hilfe.  smile

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DaBrainBug hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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