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  Minimierungsproblem |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2003-10-21
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Gegeben sei eine symmetrische n x n Matrix A.
Betrachten Sie die Funktion f(x):=1/2*x^t*A*x-b^t*x
Zeigen Sie: Ist x0 eine Lösung des Minimierungsproblems f(x0) = min F(x), so auch eine Lösung des LGS A*x=b
Wie geht man das an?
[ Nachricht wurde editiert von Chronos am 2003-10-21 12:32 ]
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 Profil
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lochi
Senior 
Dabei seit: 19.08.2002
Mitteilungen: 1484
Wohnort: Allgäu
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-21
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Hallo Chronos,
schade, dass du den Fed nicht nimmst, so wird man ja ganz wirr!
Deine Funktion ist f(x)= 1/2*x^T*A*x-b^T*x, wobei ^T wohl
für transponiert steht. Für die Minima der Funktion f
muss ja die erste (totale) Ableitung 0 sein, die in diesem Fall ist:
Df(a)(x)=(A*a-b)^T*x
Aus A*x-b=0 folgt A*x=b, also ist x_0 eine Lösung von A*x=b,
wenn x_0 ein Minimum von f ist, weil ja dann die Ableitung
0 sein muss.
Viele Grüße,
Lochi
[ Nachricht wurde editiert von lochi am 2003-10-21 15:24 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-21
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Hi lochi,
zunächst mal Danke für die schnelle Antwort!
Hatte mit dem fed etwas Probleme, jedesmal wenn ich auf den "Lernen" Button drücke stürzt bei mir der Explorer ab.
Hat noch jemand das Problem oder weiß jemand woran es liegt?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-21
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Doch nochmal ne Nachfrage:
Wie kommt man zu der Ableitung?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-21
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Hm, habs versucht nachzurechenen, aber die Ableitung krieg ich so nicht, stimmt die?
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-21
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Kommando zurück, ich war zu blöd ;-)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-21
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Noch ne weiterführende Überlegung:
Wenn A symmetrisch, positiv definit ist, dann sind alle Lösungen des LGS Ax=b auch Lösungen des Minimierungsproblems, oder? Wie beweis ich das?
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lochi
Senior
Dabei seit: 19.08.2002
Mitteilungen: 1484
Wohnort: Allgäu
| Beitrag No.7, eingetragen 2003-10-22
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Hi Chronos,
Damit die Umkehrung gilt, muss für jede Stelle, an der die Ableitung 0 ist, ein Minimum vorliegen.
Das kannst du über die zweite Ableitung nachprüfen, das ist ja dann die Hesse-Matrix, die in deinem Fall gleich A ist:
D^2 f(a)(x)=A*x
Da A jetzt positiv definit ist, also ist
D^2 f(x_0)
positiv definit und damit ist x0 ein globales Minimum.
Viele Grüße,
Lochi
PS: Das f soll bei den Ableitungen nicht hochgestellt sein, aber der fed mag mich gerade nicht.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-22
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Nochmal vielen Dank, mit der Infini 2 hab ich es nicht so;-)
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