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  Aufgaben zu Maß und Nullmenge |
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Huehnchen
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.10.2003
Mitteilungen: 38
 |  Themenstart: 2003-10-21
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Hab ein Problem mit zwei Aufgaben.
1.
Für ein Intervall I\subset\IR^n , I=[a,b[ sei das Maß \mue(I):= produkt((b_k-a_k),k=1,n) erklärt.
Seien I, I_1 ,..., I_m Intervalle mit I=I_1\union\ ...\union\ I_m , I_j\cut\ I_k = \0 für j!= k.
Zeigen Sie, daß \mue(I)=sum((\mue(I_k)),k=1,n)
Ich finde das Ganze so logisch und offensichtlich, dass ich nicht die leiseste
Ahnung habe, wie man das beweisen könnte.
2. Sei f: \IR^n->\IR eine stetige Funktion und
G := menge((x_1 ,...,x_n ,x_(n+1))\el \IR^(n+1)|x_(n+1)=f(x_1 ,...,x_n)) ihr Graph.
Zeigen Sie, daß G in \IR^(n+1) eine Nullmenge ist.
Hinweis: \IR^n ist Vereinigung von abzählbar vielen Mengen; stetige Funktionen auf
kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig.
Was ich habe, sind die Schlussfolgerungen
(a) \IR^n ist kompakt => f ist glm. stetig und
(b) f ist glm. stetig => sum((\mue(I_(n+1)),k=1,n)<=\epsilon => G ist Nullmenge
Was mir fehlt, ist der Rest.
Jemand ne Idee oder einen hilfreichen Ansatz?
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Huehnchen
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.10.2003
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-21
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Achso, dass 1. mit vollständiger Induktion zu lösen ist, ist mir schon klar, aber der Induktionsschritt will halt nicht (so einfach) gelingen, wie ich es gerne hätte...
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shadowking
Senior 
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-10-22
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Ähm, eine Frage:
wenn Du m Intervalle hast, warum wird bis n summiert?
M. E. muss das nicht mit Induktion gemacht werden.
Vielmehr kommt es darauf an, die Definition des mü anwendbar zu
machen: Von Sigmaadditivität lese ich nämlich (noch) nichts, darum
geht es hier aber.
Da sowohl I als auch I_1 ,...,I_m Intervalle sind, würde ich für jede
Komponente 1,...,k verwenden, dass die Kanten von I die Vereinigung
der Kanten der I_i sind. Da gibt`s aber erhebliche Schnittmengen, so
dass man am besten mit Minimum und Maximum über alle i arbeitet.
Beim zweiten Problem wärst Du ja fertig, wenn Du den nichtkompakten
\IR^n als abzählbare Vereinigung jeweils kompakter Mengen betrachten
könntest.
Tipp: Wähle Quader mit Ecken aus \IZ^n; dies ist abzählbar.
Damit ist der Graph abzählbare Vereinigung von Nullmengen und selber
Nullmenge.
Gute Nacht,
shadowking
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Huehnchen
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.10.2003
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-22
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Hm, mein Prof meinte vollständige Induktion. Wobei ich nicht weiß, ob es in der Übung noch einen anderen Hinweis gab, weil ich da leider nicht hinkonnte.
Sigma-Additivität hatten wir in Ana bisher halt noch nicht, kenns nur aus Stochastik, von daher weiß ich nicht, ob ich das verwenden darf.
Aber ich werds einfach mal versuchen.
Jedenfalls schonmal vielen Dank für die Tipps, die zweite Aufgabe sollte ich jetzt wohl auf jeden Fall hinbekommen.
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Huehnchen
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Dabei seit: 21.10.2003
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-22
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Achso, und Summation geht bis m, nicht n. Habs vergessen, auszubessern.
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shadowking
Senior 
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.5, eingetragen 2003-10-22
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Hallo Huehnchen,
ich sehe bei der Induktion halt folgendes Problem:
Der Quader I kann irgendwie aus den I_i zusammengebaut sein.
Bei einer Induktion müsste aus I durch Hinzufügen eines weiteren
Quaders I_(m+1) wieder ein Quader werden, was i. A. nicht so ist.
Wenn dem doch so sein sollte - dazu müsste man dies aus den Bedingungen
irgendwie erkennen können, so sehe ich es nicht -, dann wird eben eine
der Komponenten des Quaders I mit der passenden von I_(m+1) disjunkt
vereinigt.
Gruß shadowking
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Huehnchen
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.10.2003
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-22
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Hm, ja, das war mein Problem auch, dass ich es nicht eindeutig definieren konnte, wie die Aufteilung ist, wenn die Menge nicht mehr nur in n, sondern n+1 Intervalle gesplittet ist.
Allerdings komm ich bei der ersten Aufgabe trotz des Hinweises nicht weiter. Mir fehlt da einfach jeglicher Anfang, um mal irgendwas auf die Reihe zu bekommen, und langsam gerate ich ans Aufgeben, weil mein Ehrgeiz (für den Moment) nachlässt. :\
Kannst mir nicht noch bisschen helfen, Norbert?
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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.7, eingetragen 2003-10-22
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Nicht so mutlos, bist Du Huehnchen oder ein Huhn?
Dann versuche ich es mal.
Induktionsanfang: m = 1, ist klar.
m = 0 wäre die leere Menge, der die leere Summe zugeordnet würde;
passt also auch.
Induktionsvoraussetzung: Es gelte, dass für jedes m die Vereinigung
union(I_i,i=1,m) ein Quader ist. Ferner sei
\mue(I)= \mue([a,b[)=\sum(\mue(I_i),i=1,m).
Induktionsschritt: m -> m+1, m > 1
Es sei I \union I_(m+1) = J = [c,d[. I_(m+1) = K = [e,f[.
Es gibt genau ein r \el menge(1,...,n), so dass
(d_r - c_r) = (b_r - a_r) + (f_r - e_r).
Sonst ist e_k = a_k und f_k = b_k.
Dann gilt \mue(J) = produkt((d_k - c_k),k=1,n)
=produkt((b_k - a_k),(k=1,k!=r),n)*(d_r -c_r)
=produkt((b_k - a_k),(k=1,k!=r),n)*((b_r - a_r) + (f_r - e_r))
=produkt((b_k - a_k),k=1,n) + produkt((f_k - e_k),k=1,n)
=\mue(I) + \mue(K)
=\mue(union(I_i,i=1,m)) + \mue(I_(m+1))
=\sum(\mue(I_i),i=1,m+1)
Das zu tippen war ein ganzes Stück Arbeit.
Ich hätte es besser gefunden, wenn man nicht diese umständliche
Bezeichnerei gebraucht hätte, sondern das Maß eines Quaders als das
Produkt über die Maße der Projektionen der Quader, die als
herkömmliche eindimensionale Intervalle ihre Breite als Maß haben
mögen, gewählt hätte, aber naja. So ist es halt Konvention.
Gruß shadowking
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Huehnchen
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.10.2003
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-22
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Glaub ich dir aufs Wort (ist ja auch offensichtlich ;)), dass du damit ne Menge Tipparbeit hattest.
Dank dir also vielmals, dass dus trotzdem aufgeschrieben hast.
Werds mir jetzt gleich nochmal ansehen und schauen, dass ichs nochmal selber "nachrechnen" kann.
Um darauf selber zu kommen, hätt ich doch schon einen plötzlichen Anfall von extremer Kreativität und Ideenreichtum haben müssen. ;)
Hatte mich da einfach in eine völlig andere Idee verbissen und bin nicht mehr von losgekommen.
Also nochmal danke!
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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.9, eingetragen 2003-10-23
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Oh, konntest Du es denn lesen?
Bei mir sah alles wie Schweinerei aus, und das nur wegen des doofen Smilies. Hab's jetzt verbessert. Ich hoffe Du kommst zurecht.
Alles Gute, shadowking
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.10, eingetragen 2003-10-23
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Hi Huehnchen,
@SplendourMN
ich glaube, die Induktion über m kann man
so nicht machen. Aus
union(I_i,i=1,m)=I
folgt doch nicht, daß
union(I_i,i=1,m-1)
auch ein Quader ist (das hast du sinngemäß auch
schon vorher gesagt). Wie will ich dann die
Induktionsvoraussetzung verwenden? 
@alle
Was aber wahrscheinlich geht, ist, die
Induktion über n, also die Raumdimension
zu machen. Vor langer Zeit habe ich mal ein
ähnliches Problem so gelöst.
Ich such's mal heraus, und wenn es mir
gelingt, den Beweis auf das jetzige Problem
zuzuschneiden, stell ich's hier rein.
Gruß Buri
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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.11, eingetragen 2003-10-23
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Hallo Buri.
Deinen Einwand verstehe ich nicht. Ich hatte doch in der
Induktionsvoraussetzung gesagt:
"Es gelte, dass für jedes m die Vereinigung
union(I_i,i=1,m)
ein Quader ist."
Damit sind die "bösen" Fälle doch ausgeschlossen.
Das muss man auch gewährleisten, wenn man die Induktion über die
Raumdimensionm führt, denn schon im Zweidimensionalen ist die
Vereinigung zweier Rechtecke nicht mehr notwendig ein Rechteck.
Gruß shadowking
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.12, eingetragen 2003-10-23
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Hi SplendourMN,
Die Aussage
"Es gelte, dass für jedes m die Vereinigung
union(I_i,i=1,m)
ein Quader ist."
eignet sich nicht als Induktionsvoraussetzung.
In der Aufgabe wird
union(I_i,i=1,m)
für ein bestimmtes, aber festes m vorausgesetzt.
Richtig ist, daß man als Induktions-
voraussetzung
"Für jedes k=1,...,m-1 gilt: Wenn
I = union(I_i,i=1,k)
ein Intervall ist, dann ist
\mue(I)=sum(\mue(I_i),i=1,k)"
benutzen kann, aber das ist doch ganz was
anderes.
Gruß Buri
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.13, eingetragen 2003-10-23
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Hi SplendourMN,
du hast dir viel Mühe beim Tippen gemacht, danke dafür.
Es war ein Diskussionsbeitrag war, den wir und viele andere gelesen haben.
Leider scheint mir aber, wie ich schon vorher sagte, daß der Beweis so nicht geht.
Im Endeffekt hast du nur gezeigt, daß wenn ein Intervall J disjunkte Summe zweier anderer Intervalle (sie heißen bei dir I und Im+1) ist, dann μ(J)=μ(I)+μ(Im+1) ist.
Du hast das, abgesehen von Schreibfehlern richtig bewiesen, aber eine so schwache Aussage reicht nicht, um einen richtigen Induktionsbeweis durchzuführen.
Buri
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.14, eingetragen 2003-10-23
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Wenn das "geometrisch-anschaulich völlig klar" war, dann hat Huehnchen
die Aufgabe sicher nur gepostet, weil er sich amüsieren wollte über
die sich entwickelnde Grundsatzdiskussion. *Ausschlag-krieg*
Wie beabsichtigst Du einen Induktionsbeweis zu führen, nicht über
die Dimension n, sondern über die Anzahl m der in einem Quader I wild
zusammengewürfelten Quader, wenn Du als Maß nur das Produkt der
Kantenlängen hast? Folgt aus dieser Maßdefinition etwa schon die
"geometrisch-anschaulich völlig klare" Sigmaadditivität, oder geht es hier gar nicht darum?
Meine Idee war es ja schließlich von Anfang an, einen Beweis über die
Kanten des großen Quaders zu führen, die ja die Vereinigung der
entsprechenden Kanten der kleinen Quader sind. Das würde zur
Maßdefinition auch besser passen als eine Induktion. Die sollte es
aber ja unbedingt sein. Die umstrittene Eigenschaft ist bei einem Induktionsbeweis über m IMO nicht verzichtbar, da man ja bei jedem Induktionsschritt 1 -> 2, 2 -> 3, ... von einem Quader zu einem anderen übergehen soll.
Falls sich die Schwierigkeiten so erklären, dass ich über den falschen
Index m eine richtige Induktion geführt habe, so muss ich die
Verantwortung an den Aufgabensteller weiterreichen. Aus der Aufgabe
geht so nicht hervor, ob m oder n beliebig aber fest ist.
Gruß N.
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Huehnchen
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.10.2003
Mitteilungen: 38
|  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-23
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1. Wenn, dann wollte _sie_ sich amüsieren.
2. Sicher doch, aus diesem Grund, nur aus diesem und aus keinem anderen habe ich die Aufgabe gepostet. Meine Güte.
Ich würd ja gern behaupten, dass das die reine Wahrheit ist, aber leider sind meine Analysis-Kenntnisse noch nicht so weit fortgeschritten, als dass ich auch nur ansatzweise hier mitdiskutieren könnte.
Ich hab die Frage gestellt, weil ich die Aufgabe für eine Ana III-Übung rechnen musste und damit überhaupt nicht zurecht gekommen bin.
Was die Sache mit der vollständigen Induktion angeht, kann ich mich nur wiederholen, dass ich auch nicht weiß, wie das Ganze gemeint war und durchgeführt werden sollte. Es war lediglich der Hinweis meines Profs, die Behauptung auf diese Art zu beweisen. Dazu hat er noch ein hübsches Bildchen an die Tafel gemalt, in dem er ein Intervall im IR² in verschiedene, disjunkte Intervalle aufgeteilt hat, dann nen großen Strich durchgezogen hat mit den Worten, das wäre eine mögliche neue Aufteilung in Intervalle, wir müssten uns mal Gedanken machen, was das für Auswirkungen hat.
Zu Norbert:
Nee, bei mir wurde das auch nicht vernünftig angezeigt, aber man konnte ja sehen, was du im fed geschrieben hast, da hab ichs dann halt einfach handschriftlich aufgeschrieben und bins durchgegangen.
Wär doch etwas dreist gewesen, deine Tipparbeit einfach so zu ignorieren, nur, weils nicht richtig angezeigt wird. ;)
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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.16, eingetragen 2003-10-24
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Hallo Huehnchen,
verständlicherweise vorsichtig, äußere ich eine letzte Idee
zu Problem 1:
Angenommen, der Quader I besteht aus m > 1 Quadern.
Die Zusammensetzung ist egal, und es gilt die Formel aus der
Aufg.stellung für alle natürlichen Zahlen bis zu diesem m.
Wir wissen nicht, ob sie auch für m+1 anwendbar ist.
Die von Deinem Prof angedeutete Vorgehensweise bedeutet nun:
Zerschneide den großen Block mit m+1 Quadern in zwei kleinere Quader,
von denen jeder höchstens m Quader enthält. Dabei muss man natürlich
aufpassen, dass jedes der beiden Segmente mindestens einen der kleinen
Quader ganz enthält. Einige der kleinen Quader werden dabei geteilt,
so dass in beiden Teilquadern zusammen mehr als m+1 Quader sind. Aber
wenigstens ist die Schnittmenge zweier Quader ein Quader - im
Gegensatz zur Vereinigung.
Für die beiden Segmente einzeln ist jeweils die I.V. anwendbar.
Für das Maß der Vereinigung beider Unterquader, die dank Hinweis
wieder ein Quader ist, kannst Du den Induktionsschritt meines ersten
Beweisversuches nehmen.
Gruß shadowking
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.17, eingetragen 2003-10-24
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Hi Huehnchen & Norbert,
ich habe meine Absicht, meinen Beweis zu
schicken, jetzt aufgegeben; es wird doch zu
kompliziert (es ist 'ne halbe Seite,
eng beschrieben).
Norbert's neuer Ansatz führt wohl zum Ziel.
Als Prüfstein für Lösungsversuche kann man
ein Rechteck nehmen (also n=2), das in m=5
Rechtecke zerlegt ist: eins in der Mitte und
die anderen vier windmühlenartig drumherum.
Ich hab auch noch eine andere Lösungsidee:
Im Fall n=2 kann man alle Rechteckkanten, die
vorkommen, maximal verlängern, so erhält man
eine Verfeinerung der Zerlegung. Für diese
Verfeinerung läßt sich aber die Aussage leicht
beweisen. Um es für die ursprüngliche
Zerlegung zu zeigen, kann man sich überlegen,
daß jedes Rechteck der ursprünglichen Zerlegung
"gitterartig" oder "tabellenartig" in kleinere
Rechtecke zerfällt. Nach dem Distributivgesetz
läßt sich die Additivität zeigen.
Für n > 2 kann man es wohl ähnlich machen.
Das genau aufzuschreiben, wäre sicher mühsam.
Fazit:
Eine wirklich sehr schwierige Übungsaufgabe!
Gruß Buri 
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 2003-10-24 17:02 ]
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Huehnchen
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.10.2003
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-24
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Hm, also Abgabe hab ich mittlerweile hinter mir. Dienstag ist Übung, wo wir das Blatt inklusive Lösung zurückbekommen sollten. Wenns nicht grad ne drei-Seiten-Lösung ist, werd ich mich danach mal ransetzen und das Ganze hier reinsetzen.
Aber beruhigend, dass auch ihr Probleme damit hattet, und nicht nur ich der Meinung bin, dass die Aufgabe nicht grad einfach war. Als mein Prof bei der Abgabe meinte, das Blatt wäre ja recht einfach gewesen, und falls es uns zu simpel gewesen wäre, sollten wir doch Bescheid sagen (konnte dabei leider nicht den kleinsten Anflug von Ironie entdecken, sonst hätte ich wohl drüber lachen können), musste ich doch etwas schlucken und fühlte mich leicht minderbemittelt. ;(
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shadowking
Senior
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.19, eingetragen 2003-10-24
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Kam der Hinweis in der Vorlesung oder in der Übung?
Ohne den Hinweis des Profs ist die Aufgabe sehr schwierig,
da bei jedem Induktionsschritt die Voraussetzung zweimal angewendet werden muss und keine Induktionskette, sondern eher eine Induktions"lawine" geführt wird.
Mit dem entsprechenden Hinweis wird die Aufgabe aber machbar.
Wenn Dein Prof mal wieder so ein "leichtes" Aufgabenblatt stellt:
Wir wollen nach besten Kräften helfen, aber auch wir benötigen manchmal Hinweise.
Gruß shadowking
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