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| Autor |
 span(M) = Schnittmenge der Menge aller Teilräume U, die M umfassen |
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developer
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.04.2007
Mitteilungen: 318
 |  Themenstart: 2008-12-31
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Hallo, ich habe eine Frage zu folgendem Lemma:
\
Es sei (V,+, .) ein K-Vektorraum und M \subsetequal\ V eine beliebige Teilmenge von V.
Dann ist das Erzeugnis gauss(M) von M ein Teilraum von V und es gilt
gauss(M)\cut\U
U Teilraum von V mit M \subsetequal\ U
(zwischen [M] und dem Schnittmengensymbol fehlt ein =, der Fedgeo nimmt das aber nicht bzw. ich weiß nicht wie es geht.) - Das Lemma steht auch hier: www.mathematik.uni-dortmund.de/lsv/lehre/ws200607/linai/Skript091106.pdf (Seite 3)
Kann mir jemand erklären wie das mit der Schnittmenge U gemeint ist? Die Schnittmenge aller Mengen in U sind ja die Elemente (also Mengen) welche gleich sind. (lt. Mengenlehre).
Nur wieso ist der von M aufgespannte Raum die Schnittmenge von irgendwelchen Mengen in U?
Vielen Dank!
[ Nachricht wurde editiert von developer am 31.12.2008 10:42:01 ]
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Tetris
Senior 
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7858
 | Beitrag No.1, eingetragen 2008-12-31
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Hi, das Lemma lässt sich im fed so schreiben:
\stress\Lemma 1.\normal Es sei (V,\.opimage(+),\.opimage(*)) ein K\-Vektorraum und M \subsetequal\ V eine beliebige
Teilmenge von V. Dann ist das Erzeugnis braket(M) von M ein Teilraum von V
und es gilt braket(M) = schnitt(U,array(U Teilraum von V;mit M \subsetequal\ U),).
Lg, T.
[ Nachricht wurde editiert von Tetris am 31.12.2008 11:07:13 ]
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mathor
Senior
Dabei seit: 11.11.2008
Mitteilungen: 1557
 | Beitrag No.2, eingetragen 2008-12-31
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Hallo developer,
der Schnitt geht nicht über Mengen in U, sondern die Vektorräume U werden miteinander geschnitten. Der Schnitt enthält die Elemente aus V, die in allen Vektorräumen U, die M enthalten, enthalten sind. Insbesondere enthält der Schnitt per Definition schonmal M. Aber auch [M] ist in allen diesen VR U enthalten, das ist einfach zu zeigen. Es gilt dann
\
M \subsetequal\ [M] \subsetequal\ (Schnitt aller VR U mit M\subsetequal\ U)
Da [M] selbst ein VR ist, ist die umgekehrte Richtung trivial. Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen.
Guten Rutsch
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Tetris
Senior
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7858
| Beitrag No.3, eingetragen 2008-12-31
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Vielleicht ist es nützlich, das Lemma einmal in Worten auszuformulieren:
Das Erzeugnis von M ist der kleinste Unterraum von V, der M enthält.
Lg, T.
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developer
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.04.2007
Mitteilungen: 318
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2008-12-31
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danke erstmal für die Antworten.
Ich weiß, dass dieses Lemma wahrscheinlich trivial ist, stehe jedoch auf der Leitung.
- "der Schnitt geht nicht über Mengen in U, sondern die Vektorräume U werden miteinander geschnitten."
Was sind die Vektorräume U? Wie sehen die aus? Sind diese beliebige VR in V?
-"Der Schnitt enthält die Elemente aus V, die in allen Vektorräumen U, die M enthalten, enthalten sind."
M ist ja ein Teilraum in V, wenn man jetzt sagt "Der Schnitt enthält die Elemente aus V, die in allen Vektorräumen U, die M enthalten, enthalten sind." -- heißt das, dass ein U Raum jeweils ganz M enthalten muss oder auch nur teile davon?
DANKE!
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developer
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.04.2007
Mitteilungen: 318
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2008-12-31
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\quoteon(2008-12-31 11:11 - Tetris in Beitrag No. 3)
Vielleicht ist es nützlich, das Lemma einmal in Worten auszuformulieren:
Das Erzeugnis von M ist der kleinste Unterraum von V, der M enthält.
Lg, T.
\quoteoff
Das verstehe ich. Ist diese Aussage äquivalent zum Lemma?
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46938
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.6, eingetragen 2008-12-31
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\quoteon(2008-12-31 11:24 - developer in Beitrag No. 5)
Das verstehe ich. Ist diese Aussage äquivalent zum Lemma?
\quoteoff
Hi developer,
ja.
Man muß aber unbedingt wissen, wie das Erzeugnis, also der von M aufgespannte Unterraum, definiert ist.
1. Wenn man das Erzeugnis [M] als Durchschnitt aller M enthaltenden Unterräume definiert, dann ist das Lemma fast inhaltlos, weil man nur beweisen muß, daß [M] ein Unterraum ist, der Rest gilt nach Definition.
2. Wenn man dagegen [M] als Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus M definiert (einschließlich der leeren Linearkombination, die den Nullvektor ergibt), dann ist ein wenig mehr zu beweisen.
Gruß Buri
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developer
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Mitteilungen: 318
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2008-12-31
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Hallo!
Vielen Dank für eure Antworten - jetzt ists schon klarer!
Guten Rutsch!
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
mathemausialways
Neu
Dabei seit: 29.11.2021
Mitteilungen: 1
|  Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-29
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Was ist das, was man noch mehr beweisen muss?
Wieso langt es nicht in Fall 2, auch nur die UVR-Kriterien zu überprüfen?
\quoteon(2008-12-31 11:37 - Buri in Beitrag No. 6)
\quoteon(2008-12-31 11:24 - developer in Beitrag No. 5)
Das verstehe ich. Ist diese Aussage äquivalent zum Lemma?
\quoteoff
Hi developer,
ja.
Man muß aber unbedingt wissen, wie das Erzeugnis, also der von M aufgespannte Unterraum, definiert ist.
1. Wenn man das Erzeugnis [M] als Durchschnitt aller M enthaltenden Unterräume definiert, dann ist das Lemma fast inhaltlos, weil man nur beweisen muß, daß [M] ein Unterraum ist, der Rest gilt nach Definition.
2. Wenn man dagegen [M] als Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus M definiert (einschließlich der leeren Linearkombination, die den Nullvektor ergibt), dann ist ein wenig mehr zu beweisen.
Gruß Buri
\quoteoff
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