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 homogenes lineares Randwertproblem |
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Bens
Ehemals Aktiv 
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 |  Themenstart: 2009-01-24
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Hallo,
sitze hier an einer Aufgabe, komme nicht weiter und bin mir daher nicht so sicher ob meine Vorgehensweise richtig ist. Vielleicht kann ja einer von euch das bisher erreichte abnicken?
Bestimmen Sie, ob das homogene lineare Randwertproblem:
L[y] = y''' - 4y'' + 5y' - 2y = 0
entweder genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung besitzt, wenn man die Randbedingungen betrachtet:
i) y(0) = \alpha _1, y'(0) = \alpha _2, y(1) = \beta _1 , (\alpha _1, \alpha _2, \beta _1 \el\ \IR)
Ich wollte nun erstmal y berechnen und hab dazu das Charakteristische Polynom aufgestellt:
\rho (\lambda) = -1^3(\lambda^3-4\lambda^2+5\lambda-2)
= -\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2 = 0
Als erste Nullstele hab ich \lambda _1 =1, wenn ich nun aber eine Polynomdivision mit (\lambda-1) mache, kommt bei mir nichts vernünftiges raus, kann das sein, oder stell ich mich gerade nur dumm an?
Schonmal Danke für eure Antworten
[ Nachricht wurde editiert von Bens am 25.01.2009 12:25:19 ]
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gaussmath
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2009-01-24
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Hallo,
\
das char. Polynom lautet: \rho (\lambda) =\lambda^3-4\lambda^2+5\lambda-2 und das setzt du gleich 0.
Das läßt sich darstellen als \rho(\lambda)=(\l - 2)*(\l - 1)^2.
Grüße
gaussmath
[ Nachricht wurde editiert von gaussmath am 24.01.2009 17:24:41 ]
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arthur
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2009-01-24
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Hallo Ben!
Anscheinend hast du dich dann bei der Polynomdivision vertan, denn es ist:
x^3-4x^2+5x-2=(x-2)(x-1)^2
Gruß
Arthur
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2009-01-24
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Hallo, ja, dann zeige mal deine Polynomdivision.
Viele Grüße,Sonnhard.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Bens
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-24
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Hallo gaussmath
das char. P. hab ich so auch schon auf meinem Zettel stehen und auch gleich Null gesetzt.
(Ich muss im ersten Beitrag noch das ungleichzeichen editieren, ich dachte, dass != ein "Muss-Gleich"-Zeichen ergibt)
Die Nullstellen sind mit deinem Hinweis dann auch klar, aber wie komme ich da drauf? Da muss ich doch eigtl. ne Polynomdivision machen? Und die klappt eben bei mir nicht. 
Die Lösung für y wäre somit dann ja:
y=c_1*e^2x + c_2*e^x + x*c_3*e^x
Und dann mit den Randwerten, entsprechend eine Fallunterscheidung für die Alphas und das Beta machen, oder?
Gruß Twim
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
Edit: Ich werde die Polynomdivision nochmal machen und nach dem Fehler schauen. Wahrscheinlich irgendwo ein Vorzeichen verdreht. Aber wenn das die richtige Vorgehensweise ist, dann ist das ja schonmal was 
Edit2: Minus Mal Minus ist Plus. Und das ändert sich auch nicht, wenn man den gleichen Fehler dreimal macht. Das wäre also geklärt!
[ Nachricht wurde editiert von Bens am 24.01.2009 17:42:01 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.5, eingetragen 2009-01-24
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Hallo, ich habe auch
y(x)=C_1*exp(2*x)+C_2*exp(x)+C_3*x*exp(x).
Viele Grüße,Sonnhard.
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Bens
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-24
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Danke Dr_Sonnhard,
ich hab zwischenzeitlich auch weiter gerechnet und heraus gefunden, dass es genau eine Lösung geben muss. Die Konstanten hab cih aber noch nicht ganz raus.
Gruß Bens
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Bens
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-25
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Hi,
da bin ich wieder. Werde mal meinen weiteren Lösungsweg posten, vielleicht hat ja wieder jmd. Lust und Zeit da drüber zu schauen.
Also mein Lösungsansatz:
y(x) = c_1*e^2x + c_2*e^x + x*c_3*e^x
y'(x) = 2*c_1*e^2x + c_2*e^x + c_3*(e^x+x*e^x)
Damit hab ich eine Matrix mit den Randbedingungen aufgestellt:
D = (R_1 [y_1],R_1 [y_2],R_1 [y_3];R_2 [y_1],R_2 [y_2],R_2 [y_3];R_3 [y_1],R_3 [y_2],R_3 [y_3])
= (1,1,0;2,1,1;e^2,e,e)
Zum Überprüfen wieviele Lösungen ich erhalte, habe ich die Determinante gebildet:
det D = e^2-2e!=0
somit gibt es laut eines Satzes in meinem Skript genau eine Lösung für dieses RWP
Ob ich nun mit der oben angegebenen Fragestellung überhaupt noch weiterrechnen muss, weiß ich nicht.
Ich hab aber auf jeden Fall mal mit der Matrix D und den Lösungen der RB ein LGS aufgestellt:
(1,1,0;2,1,1;e^2,e,e)=(\alpha _1; \alpha _2; \beta _1)
und bekomme so die Konstanten raus, die allerdings nicht gerade "schön" sind:
c_1 = \beta _1/(e^2-2e) - \alpha _2/(e-2)
c_2 = \alpha _1 - \beta _1/(e^2-2e) + \alpha _2/(e-2)
c_3 = (2 \beta _1 - \alpha _1 e + 2 \alpha _1 + \alpha _2 e - \alpha _2) / (e-2) - \beta _1 / (e^2-2e)
Wäre klasee, wenn mir jemand sagen könnte, ob das soweit passt, ich mach mich solang mal an den zweiten Teil der Aufgabe!
Schonmal Danke und Gruß
Bens
[ Nachricht wurde editiert von Bens am 25.01.2009 14:11:25 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.8, eingetragen 2009-01-25
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Hallo, ich habe y(x)=-1/(exp(1)-2)*exp(x-1)*(2*exp(1)*\alpha_1-exp(1)^2*\alpha_1-2*exp(1)*x*\alpha_1+exp(1)^2*x*\alpha_1-exp(1)*\alpha_2+exp(1+x)*\alpha_2-exp(1)^2*x*\alpha_2+\beta_1-exp(x)*\beta_1+x*\beta_1).
Viele Spaß beim Nachrechnen.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Bens
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-25
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Hallo Sonnhard,
danke soweit, da werde ich nochmal drüber schauen, auch wenn das so unschön aussieht, dass ich nicht glaube, dass so eine Rechnung ernsthaft bei solch einer Fragestellung verlangt ist. Auch mal schauen was motgen die Kommilitonen sagen.
es gibt ja aber auch noch einen zweiten Aufgabenteil:
ii)
RB:
y(0)-y'(0)=-1
y'(0)-y''(o)=-1
y(1)-y'(1)=-e
Lösungsansatz ist dementsprechend gleich,
y''(x)=4*c_1*e^2x + c_2*e^x + c_3*(2*e^x + x*e^x)
Meine Matrix ist:
D = (-1,2,1;-2,2,3;-e^2,2e,3e)
det D = -4e^2 + 8e
also wieder genau eine Lösung
D = (-1,2,1;-2,2,3;-e^2,2e,3e)=(-1;-1;-e)
kommt bei mir für die Konstanten
c_1 = 0, c_2=-1/2 und c_3=0
also y(x)=-1/2 e^x
Kann ich das so machen, oder muss ich wg. den zwi Konstanten die Null werden irgendwas beachten?
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gaussmath
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| Beitrag No.10, eingetragen 2009-01-25
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Hallo Bens,
Du hast hier viel zu viel gemacht (1. Aufgabenteil). Du hast gezeigt, dass die Determinante ungleich 0 ist. Mehr wäre nicht nötig gewesen. Damit ist klar, dass die DGL für alle Anfangswerte eindeutig lösbar ist!
Grüße
gaussmath
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Bens
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-25
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Das heißt, dass für den zweiten Aufgabenteil, für den die gleiche Aufgabenstellung gilt, auch lediglich di Matrix aufgestellt und die Determinante berechnet werden muss?
Hatte mir sowas eigtl. schon gedacht, nur dann im zweiten Teil mit einer Determinante gleich 0 gerechnet. Aber so ists ja auch okay ;)
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gaussmath
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| Beitrag No.12, eingetragen 2009-01-25
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Ich bin die Rechnung für Aufgabenteil 2 nur grob durchgegangen. Es scheint alles zu stimmen. Wenn auch hier nur nach der Eindeutigkeit der Lösung gefragt war, hättest Du nur die Determinante der Matrix bestimmen brauchen. Dass zwei der Koeffizienten Null sind, ist kein Problem. Es können auch alle Null sein. y=0 ist immer auch eine zulässige Lösung eines AWP.
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Bens
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-25
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Hallo gaussmath,
zu viel rechnen kann man ja nicht ;) Ist alles Übung die ich gut gebrauchen kann.
Die Aufgabenstellung für den zweiten Teil war aber exakt gleich, es wurde in der Aufgabe zunächst die Aufgabenstellung genannt und anschließend die zwei unterschiedlichen Randbedingungen als Aufgabenteile i) und ii) angegeben.
Von daher betrachte ich die Aufgabe als erledigt, bedanke mich bei allen Helfern und setz nen Haken.
Sollte mir die Tage noch ein Fehler auffallen, werde ich den einfach korrigieren. Ich werde einfach morgen mal in der Uni fragen, was die anderen raushaben, dann wird sich das schon zeigen.
Nochmals Danke an Alle und ein schönes Restwochenende
Gruß Bens
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Bens
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2009-01-26
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Hab nen Rechenfehler im 2ten Teil entdeckt...
ii)
RB:
y(0)-y'(0)=-1
y'(0)-y''(o)=-1
y(1)-y'(1)=-e
Lösungsansatz ist dementsprechend gleich,
y''(x)=4*c_1*e^2x + c_2*e^x + c_3*(2*e^x + x*e^x)
Meine Matrix ist:
D = (-1,0,-1;-2,0,-1;-e^2,0,-e)
det D = 0
also nicht unbedingt genau eine Lösung, aber was nun?
Ich hab in meinem Aufschrieb noch nen Zusatz, in dem steht, dass es unendlich Lösungen gibt,
falls
b(x)=0, wobei b(x)=L[y] was hier der Fall ist und
\beta = 0, wobei \beta der Lösungsvektor der RB ist. Dieser ist hier aber ungleich Null:
\beta=(-1;-1;-e)
Somit habe ich keinen Hinweis auf eine Lösungsmöglichkeit. Lediglich die Tatsache, dass in meinem LGS die Konstante c_2 frei wählbar ist, lässt mich vermuten, dass es unendlich viele Lösungen geben könnte?
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