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  Kondition einer zeilenäquilibrierter Matrix |
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DaMenge
Senior 
Dabei seit: 24.07.2001
Mitteilungen: 1178
Wohnort: Bonn
 |  Themenstart: 2003-11-04
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Hallo,
ich stecke bei folgender Aufgabe fest:
Definitionen :
-Eine Matrix, bei der die Zeilenbetragssummen (also die Summe alle Beträge einer Zeile) aller Zeilen gleich sind, heißt zeilenäquilibriert.
Also ich habe bewiesen, dass es zu jeder regulären Matrix A eine reguläre Diagonalmatrix D existiert, so dass (DA) zeilenäquilibriert ist. (ich kann D auch so wählen, dass die Zeilenbetragssumme einen beliebigen Wert annimt.)
Zweite Teilaufgabe :
Definitionen : Zeilensummennorm :
norm(A)_\inf :=max[ sum(abs(a_ij),j=1,n) ] (maximum über alle i)
-Kondition einer Matrix :
K_\inf (A):=norm(A)_\inf *norm(A^(-1))_\inf
Aufgabe:
Seien A und D wie ebend, man zeige, dass für jede reguläre Diagonalmatrix D' gilt :
K_\inf (DA) <= K_\inf (D'A)
So, man kann ja relativ einfach zeigen, dass Die Kondition jeder Matrix größer als 1 ist, also dachte ich, man könnte irgendwie die Kondition von (DA) auf 1 bringen - dann hätte man es ja, aber das klappt irgendwie nicht ...
Also an einem Beispiel hatte ich mal rumprobiert und da schien mir die Kondition, so wie ich sie oben definiert habe konstant (egal welches D) - aber mir fehlt jetzt irgendwie der zündende Gedanke, kann mir vielleicht jemand einen Tritt in die richtige Richtung geben ?
vielen Dank
Andreas
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DaMenge
Senior 
Dabei seit: 24.07.2001
Mitteilungen: 1178
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|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-04
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hm, keine Numeriker hier?!?
also, gibt es vielleicht eine besonders einfache / schöne Variante das Inverse einer (allgemeinen nxn) Matrix darzustellen ?!?
oder irgendwelche Links oder sonst irgendetwas?
(ich weiß, das überlebt hier höchstens 30 min an der Oberfläche, aber ich wollte es mal versuchen ;-) )
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hartl
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.10.2003
Mitteilungen: 71
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2003-11-05
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Hallo,
ich werde dir helfen hab nur einwenig stress, Welche Vorassetzungen gibst du für D und D'?
gruss hartl
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DaMenge
Senior
Dabei seit: 24.07.2001
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-05
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danke für die Unterstützung.
D und D' sind beides reguläre Diagonalmatrizen und D ist so gewählt, dass (DA) eine zeilenäquilibrierte Matrix ist.
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mfG
DaMenge
also hier die Lösung nachträglich :
Also sei B:=A^(-1)
K_\inf (D^- A)=norm(D^- A)_\inf *norm((D^- A)^(-1))_\inf
=max [ sum(abs(d^-_i )*abs(a_ij) ,j , ) ]*max [ sum((1/abs(d^-_i ))*abs(b_ij) ,j , ) ]
=max [(abs(d^-_i )/abs(d_i )) * sum(abs(d_i )*abs(a_ij) ,j , ) ]*max [ sum((1/abs(d^-_i ))*abs(b_ij) ,j , ) ]
= [ norm(D A)_\inf ] * (abs(d^-_k )/d_k )*max [ sum((1/abs(d^-_i ))*abs(b_ij) ,j , ) ]
>= [ norm(D A)_\inf ]* max [ sum((abs(d^-_i )/d_i )(1/abs(d^-_i ))*abs(b_ij) ,j , ) ]
= norm(DA)_\inf *norm((DA)^(-1))_\inf = K_\inf (DA)
[ Nachricht wurde editiert von DaMenge am 2003-11-19 14:25 ]
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