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  Matrix-Normen |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2003-11-07
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Hallo, ich soll folgendes zeigen:
Sei A eine reele (2,2)-Matrix. Dann gilt:
||A||_F=||A||_2 <=> det(A) = 0
Hierbei ist ||.||_F die Frobeniusnorm und ||.||_2 die Spektralnorm.
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank im Voraus!
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-11-07
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Hi!
Wie sind denn die Normen definiert? Ich kenne die Normen nicht (jedenfalls nicht unter dem Namen).
Gruß
Fabi
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.2, eingetragen 2003-11-07
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=11755&forum=110
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-08
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In dem Link stehen die Definitionen der Normen, aber beim Beweis hilft das nicht weiter. Die eine Implikation habe ich glaube ich, aber auch sehr umständlich. Wie kommt man von det(A)=0 zurück?
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.4, eingetragen 2003-11-08
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Hi!
Ich weiß immer noch nicht, was die Spektralnorm ist. Und ohne das zu wissen kann ich nichts beweisen.
Gruß
Fabi
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-08
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Die Spektralnorm ist die der euklidischen Norm zugeordnete Matrix-Norm. Es gilt:
||A||_2=sqrt(rho(A^t*A))
mit A^t "A tranponiert" und rho(B)=max{|y| | y ist Eigenwert von B}
Ich hoffe das war verständlich, muss mich bei Gelgenheit mal in den fed einarbeiten.
Bei der Hinrichtung habe ich herausbekommen, dass A^t*A ähnlich zu einer Diagonalmatrix diag(||A||_f,0) ist, und damit det(A)=0
Probleme bereitet mir vor allem die Rückrichtung.
[ Nachricht wurde editiert von Chronos am 2003-11-08 13:01 ]
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.6, eingetragen 2003-11-08
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Hi!
Wenn es nur um 2x2- Matrizen geht, ist doch det(A) = 0 äquivalent dazu,d as die MAtrix die Form
(a,b;ka,kb)
hat. Davon kann man mit ein wenig Aufwand beide Normen ausrechnen und vergleichen.
Gruß
Fabi
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-08
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Klar, das war auch mein erster Ansatz, aber die Spektralnorm ist auf dem Wege kaum auszurechnen. Hab es gerade nochmal versucht, kommt eine ewiglange Rechnung dabei rum, und mit dem Ergebnis kann ich nichts anfangen. Ich vermute, dass man dass auch auf einem Weg lösen können müsste???
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.8, eingetragen 2003-11-08
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Hi!
Die Rechnung wird ein wenig unhandlich, aber man kommt schon zum Ziel. Wo genau leigt dein Problem?
Gruß
Fabi
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-08
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Ich habe
A=(a,1/k*b;ka,b)
gesetzt. Was ||A||_F ergibt ist klar, jedenfalls etwas in Abhängigkeit von k.
Es ist
A^t*A=(a^2+ab, 1/k*ab+1/k*b^2;k*a^2+k*a*b, ab + b^2)
Wenn ich nun die Eigenwerte mittels det(TE-A^t*A)=0 berechne komme ich zu einem Ausdruck, in dem k nicht mehr vorkommt. Wie kann nun also ||A||_F=||A||_2 sein?
Gruß, Chronos
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.10, eingetragen 2003-11-09
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Hi!
Warum machst du dir es so kompliziert mit dem 1/k?
Setze
A = (a,b;ka,kb)
A*A^T = (a,b;ka,kb)*(a,ka;b,kb) = (a^2+b^2,k(a^2+b^2);k(a^2+b^2),k^2(a^2+b2))
Das charakteristische Polynom ist:
(a^2+b^2-x)(k^2(a^2+b^2)-x)-k(a^2+b^2)*k(a^2+b^2) =
(a^2+b^2)^2*k^2-x(a^2+b^2+k^2(a^2+b^2)+x^2-k^2(a^2+b^2)^2 =
x(x-(a^2+b^2+k^2(a^2+b^2))
Die Eigenwerte sind also 0 und a²+b²+k²(a²+b²)
Die Spektralnorm von A ist also
sqrt(a^2+b^2+k^2(a^2+b^2))
Auf dasselbe kommt man mit der anderen Norm.
Gruß
Fabi
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.11, eingetragen 2003-11-09
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Hm, deine Rechnung sieht gut aus. Es wundert mich nur, dass ich mit einem äquivalenten Ansatz nicht zum Ziel gekommen bin...
Vielen Dank für deine Mühe :-)
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