\
Beweis: Verwende ein Koordinatensystem mit M_b=(\-1,0), M_a=(1,0), I=(i_x\.,i_y). Gesucht sind die Koordinaten von C(c_x,c_y). Die Gerade (AB) wird durch y=-c_y beschrieben, also ist der Inkreisradius \rho=i_y+c_y. Andererseits ist \rho die Hoehe ueber M_(a\/b)\.C im Dreieck M_(a\/b)\.CI, also abs(M_(a\/b)\.C)*\rho=2*(M_(a\/b)\.CI). Quadriert man und setzt Koordinaten ein, fuehrt das auf die zwei Gleichungen
((c_x+-1)^2+c_y^2)*(i_y+c_y)^2=(c_y*(i_x+-1)-i_y*(c_x+-1))^2
<=>((c_x+-1)^2+c_y^2)*(2i_y\.c_y+c_y^2)+c_y^2 i_y^2=c_y^2\.(i_x+-1)^2-2i_y\.c_y\.(i_x+-1)(c_x+-1)
<=>((c_x+-1)^2+c_y^2)*(2i_y+c_y)+c_y i_y^2=c_y\.(i_x+-1)^2-2i_y\.(i_x+-1)(c_x+-1)
Nenne diese Gleichungen \(1\). Die Differenz der beiden Gleichungen durch 4 ergibt
c_x\.(2i_y+c_y)=c_y\.i_x-i_y\.(i_x+c_x)
<=>c_x c_y=i_x c_y-3 i_y c_x- i_x i_y $ $ \(2\)
<=>c_x+i_x=(2i_x\.(c_y+i_y))/(3i_y+c_y) $ $ \(\3\)
Aus \(2\) folgt
c_x^2 c_y=i_x c_x c_y-3 i_y c_x^2- i_x i_y c_x
=i_x^2 c_y - 4 i_x i_y c_x - i_x^2 i_y - 3 i_y c_x^2 $ $ \(4\)
Die halbe Summe der beiden Gleichungen ist
(c_x^2+c_y^2+1)(2i_y+c_y)+c_y i_y^2=c_y\.(i_x^2+1)-2i_y\.(i_x\.c_x+1)
<=>2i_y\.c_x\.(c_x+i_x)+c_x^2 c_y+c_y\.(c_y+i_y)^2-c_y\.i_x^2+4i_y=0
verwende \(4\)
=>-i_y\.(c_x+i_x)^2+c_y\.(c_y+i_y)^2+4i_y=0
Setzt man c_x+i_x aus \(\3\) ein und multipliziert mit dem Nenner (3i_y+c_y)^2 durch, wird daraus
-4\.i_x^2 i_y (c_y+i_y)^2 + (c_y\.(c_y+i_y)^2+4i_y) (3i_y+c_y)^2=0
<=>c_y^5 + 8i_y c_y^4 + 22i_y^2 c_y^3 + 4i_y\.(6i_y^2-i_x^2+1) c_y^2
+i_y^2\.(9i_y^2 - 8i_x^2 + 24) c_y+4i_y^3\.(9 - i_x^2)=0. $ $ \(5\)
Waehlt man nun speziell i_x=1 und i_y=-1, so entspricht das dem Polynom
T^5 - 8 T^4 + 22 T^3 - 24 T^2 + 25 T - 32. $ $ \(6\)
Laut CAS ist dieses Polynom irreduzibel, wenn es also ein zugehoeriges Dreieck gibt, dann ist die Koordinate c_y nicht konstruierbar. Ist umgekehrt \(5\) erfuellt und c_x anhand \(3\) gewaehlt, dann gelten auch die Ausgangsgleichungen, und wenn (i_x\.,i_y) ein innerer Punkt des Dreiecks mit den Ecken (c_x\.,c_y), (2-c_x\.,\-c_y), (\-2-c_x\.,\-c_y) ist, dann folgt aus der Interpretation, dass (i_x\.,i_y) der Inkreismittelpunkt sein muss. Polynom \(6\) hat genau eine reelle Nullstelle \approx\ 1.885, das Dreieck ist damit C\approx(\-2.588,1.885), A\approx(4.588,\-1.885), B\approx(0.588,\-1.885), und I=(1,\-1) ist ein innerer Punkt.

Also ist M_b=(\-1,0), M_a=(1,0), I=(1,\-1) ein Beispiel, in dem das Dreieck nicht konstruiert werden kann. owk

\
Die Punkte M_a=(0,0), H=(0,1), I=(1,1) fuehren auf das irreduzible Polynom 25*T^6-78*T^4+32*T^2-2 mit einer Nullstelle c_y\approx\-1.627. Mit c_x=60/19*c_y^5-961/95*c_y^3+377/95*c_y\approx\ 1.099, a_x=-c_y/c_x*(c_x^2+c_y^2-1)\approx\ 4.229, a_y=c_x^2+c_y^2\approx\ 3.855, b_x=-c_x, b_y=-c_y sind M_a, H, I die entsprechenden Punkte im Dreieck ABC, dessen Ecken nicht konstruierbar sind.

Der Ansatz war: Die Wahl von B liefert C, und mit H erhaelt man ein lineares Gleichungssystem fuer A. Formuliere dann ''I liegt auf der Winkelhalbierenden bei B bzw. C''.

\
Die Punkte M_a=(0,0), H=(0,1), T_b=(1,1) fuehren auf das irreduzible Polynom 34*T^3-43*T^2+12*T+1 mit Nullstelle b_y\approx\ 0.6271, die restlichen Koordinaten sind b_x=34 b_y^2-22 b_y-1\approx\ -1.4256, c_x=-b_x, c_y=-b_y, a_x=b_y, a_y=1-b_x\approx\ 2.4256.

Der Ansatz war: Waehle wieder B bzw. C, erhalte A aus H mit linearem Gleichungssystem. Die Bedingungen sind dann C,T_b\.,A kollinear und CT_b\.:T_b\.A=CB:BA.

\
Die Punkte M_a=(0,0), T_a=(1,0), T_b=(3,2) fuehren auf das irreduzible Polynom 3 T^6- 2 T^5 -91 T^4 - 60 T^3 + 685 T^2 + 1214 T + 299 mit einer Nullstelle c_x\approx\ 3.7961. Die restlichen Koordinaten sind b_x=-c_x, b_y=c_y=0, a_x=(-c_x(c_x^2-6c_x-23))/(3c_x^2+6c_x-13)\approx\ 2.2462, a_y=(8c_x(c_x+3))/(3c_x^2+6c_x-13)\approx\ 3.8936.

Der Ansatz war: Waehle B bzw. C, erhalte A als Schnittpunkt von CT_b mit dem Bild von BC unter Spiegelung an BT_b und fordere dann, dass BT_a\.:T_a\.C=BA:AC.