|
Autor |
Wernicks Liste |
|
Eckard
Senior  Dabei seit: 14.10.2002 Mitteilungen: 6820
Herkunft: Magdeburg
 |
Hallo Geometriefans,
wer sich schon lange nicht mehr mit Geometrie beschäftigt hat und wieder mal etwas in dieser Richtung ausprobieren will, für diejenigen habe ich eine Seite gebastelt, bei der es um Dreieckskonstruktionen geht.
Man hat ein Dreieck ABC gegeben, konstruiert dann einige weitere charakteristische Punkte wie Seitenmitten, Höhenfußpunkte etc., radiert daraufhin fast alles - bis auf drei Punkte - weg und soll dann das Original wiederherstellen. William Wernick veröffentlichte 1982 eine solche Liste von Punktetripeln im Mathematics Magazine, die 1996 von Leroy Meyers aktualisiert wurde. Von diesen 139 Möglichkeiten sind heute anscheinend immer noch 20 offen!
Wer also Lust hat, sich mit elementarer Dreiecksgeometrie zu beschäftigen, der kann sich an Wernicks Liste richtig austoben. Ganz fertig ist die Seite noch nicht, weil noch keine Erläuterungen und Beweise zu finden sind, das wird noch nachgeholt. Aber zum Beschäftigen damit reicht es.
Na dann viel Spaß beim Konstruieren!
Viele Grüße,
-Eckard
|
Notiz Profil
Quote
Link |
viertel
Senior  Dabei seit: 04.03.2003 Mitteilungen: 27783
Herkunft: Hessen
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2009-08-01
|
Hallo Eckard,
Willkommen zurück auf dem Planeten 
da machst Du Dich ne ganze Zeit lang sehr rar, und dann legst Du so ein dickes Ei 
Das wird mich vmtl. viiiel Zeit kosten 
Mal sehen, ob wir das eine oder andere ungeknackte Ei hier in die Pfanne hauen können.
Viele Grüße
Dietmar
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Rebecca
Senior  Dabei seit: 18.07.2002 Mitteilungen: 6459
Herkunft: Berlin
 |     Beitrag No.2, eingetragen 2009-08-01
|
Hi Eckard,
schön, dich hier mal wieder zu sehen. Und vielen Dank für deine tolle Liste.
Gruß
Rebecca
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Dr_Sonnhard_Graubner Senior  Dabei seit: 06.08.2003 Mitteilungen: 29301
Herkunft: Sachsen
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2009-08-01
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Dr_Sonnhard_Graubner Senior  Dabei seit: 06.08.2003 Mitteilungen: 29301
Herkunft: Sachsen
 |     Beitrag No.4, eingetragen 2009-08-01
|
Hallo, und hier noch eine Literaturquelle:
Meyers, L. F. "Update on William Wernick's 'Triangle Constructions with Three Located Points.' " Math. Mag. 69, 46-49, 1996.
Viele Grüße,Sonnhard.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Dr_Sonnhard_Graubner Senior  Dabei seit: 06.08.2003 Mitteilungen: 29301
Herkunft: Sachsen
 |     Beitrag No.5, eingetragen 2009-08-01
|
Hallo, ja, diese Literaturquelle ist auch schon bei Eckard zu finden, danke für den Hinweis.
Viele Grüße,Sonnhard.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
owk
Senior  Dabei seit: 10.01.2007 Mitteilungen: 6957
 |     Beitrag No.6, eingetragen 2009-08-01
|
Behauptung: Nr. 90 (Ma, Mb, I) ist unloesbar.
 
\ Beweis: Verwende ein Koordinatensystem mit M_b=(\-1,0), M_a=(1,0), I=(i_x\.,i_y). Gesucht sind die Koordinaten von C(c_x,c_y). Die Gerade (AB) wird durch y=-c_y beschrieben, also ist der Inkreisradius \rho=i_y+c_y. Andererseits ist \rho die Hoehe ueber M_(a\/b)\.C im Dreieck M_(a\/b)\.CI, also abs(M_(a\/b)\.C)*\rho=2*(M_(a\/b)\.CI). Quadriert man und setzt Koordinaten ein, fuehrt das auf die zwei Gleichungen ((c_x+-1)^2+c_y^2)*(i_y+c_y)^2=(c_y*(i_x+-1)-i_y*(c_x+-1))^2 <=>((c_x+-1)^2+c_y^2)*(2i_y\.c_y+c_y^2)+c_y^2 i_y^2=c_y^2\.(i_x+-1)^2-2i_y\.c_y\.(i_x+-1)(c_x+-1) <=>((c_x+-1)^2+c_y^2)*(2i_y+c_y)+c_y i_y^2=c_y\.(i_x+-1)^2-2i_y\.(i_x+-1)(c_x+-1) Nenne diese Gleichungen \(1\). Die Differenz der beiden Gleichungen durch 4 ergibt c_x\.(2i_y+c_y)=c_y\.i_x-i_y\.(i_x+c_x) <=>c_x c_y=i_x c_y-3 i_y c_x- i_x i_y $ $ \(2\) <=>c_x+i_x=(2i_x\.(c_y+i_y))/(3i_y+c_y) $ $ \(\3\) Aus \(2\) folgt c_x^2 c_y=i_x c_x c_y-3 i_y c_x^2- i_x i_y c_x =i_x^2 c_y - 4 i_x i_y c_x - i_x^2 i_y - 3 i_y c_x^2 $ $ \(4\) Die halbe Summe der beiden Gleichungen ist (c_x^2+c_y^2+1)(2i_y+c_y)+c_y i_y^2=c_y\.(i_x^2+1)-2i_y\.(i_x\.c_x+1) <=>2i_y\.c_x\.(c_x+i_x)+c_x^2 c_y+c_y\.(c_y+i_y)^2-c_y\.i_x^2+4i_y=0 verwende \(4\) =>-i_y\.(c_x+i_x)^2+c_y\.(c_y+i_y)^2+4i_y=0 Setzt man c_x+i_x aus \(\3\) ein und multipliziert mit dem Nenner (3i_y+c_y)^2 durch, wird daraus -4\.i_x^2 i_y (c_y+i_y)^2 + (c_y\.(c_y+i_y)^2+4i_y) (3i_y+c_y)^2=0 <=>c_y^5 + 8i_y c_y^4 + 22i_y^2 c_y^3 + 4i_y\.(6i_y^2-i_x^2+1) c_y^2 +i_y^2\.(9i_y^2 - 8i_x^2 + 24) c_y+4i_y^3\.(9 - i_x^2)=0. $ $ \(5\) Waehlt man nun speziell i_x=1 und i_y=-1, so entspricht das dem Polynom T^5 - 8 T^4 + 22 T^3 - 24 T^2 + 25 T - 32. $ $ \(6\) Laut CAS ist dieses Polynom irreduzibel, wenn es also ein zugehoeriges Dreieck gibt, dann ist die Koordinate c_y nicht konstruierbar. Ist umgekehrt \(5\) erfuellt und c_x anhand \(3\) gewaehlt, dann gelten auch die Ausgangsgleichungen, und wenn (i_x\.,i_y) ein innerer Punkt des Dreiecks mit den Ecken (c_x\.,c_y), (2-c_x\.,\-c_y), (\-2-c_x\.,\-c_y) ist, dann folgt aus der Interpretation, dass (i_x\.,i_y) der Inkreismittelpunkt sein muss. Polynom \(6\) hat genau eine reelle Nullstelle \approx\ 1.885, das Dreieck ist damit C\approx(\-2.588,1.885), A\approx(4.588,\-1.885), B\approx(0.588,\-1.885), und I=(1,\-1) ist ein innerer Punkt. Also ist M_b=(\-1,0), M_a=(1,0), I=(1,\-1) ein Beispiel, in dem das Dreieck nicht konstruiert werden kann. owk
|
Notiz Profil
Quote
Link |
owk
Senior  Dabei seit: 10.01.2007 Mitteilungen: 6957
 |     Beitrag No.7, eingetragen 2009-08-02
|
Nr. 110 (Ma, H, I) ist ebenfalls unloesbar.
 
\ Die Punkte M_a=(0,0), H=(0,1), I=(1,1) fuehren auf das irreduzible Polynom 25*T^6-78*T^4+32*T^2-2 mit einer Nullstelle c_y\approx\-1.627. Mit c_x=60/19*c_y^5-961/95*c_y^3+377/95*c_y\approx\ 1.099, a_x=-c_y/c_x*(c_x^2+c_y^2-1)\approx\ 4.229, a_y=c_x^2+c_y^2\approx\ 3.855, b_x=-c_x, b_y=-c_y sind M_a, H, I die entsprechenden Punkte im Dreieck ABC, dessen Ecken nicht konstruierbar sind. Der Ansatz war: Die Wahl von B liefert C, und mit H erhaelt man ein lineares Gleichungssystem fuer A. Formuliere dann ''I liegt auf der Winkelhalbierenden bei B bzw. C''.
owk
[ Nachricht wurde editiert von owk am 02.08.2009 10:16:34 ]
|
Notiz Profil
Quote
Link |
owk
Senior  Dabei seit: 10.01.2007 Mitteilungen: 6957
 |     Beitrag No.8, eingetragen 2009-08-02
|
Nr. 109 (Ma, H, Tb) ist unloesbar.
 
\ Die Punkte M_a=(0,0), H=(0,1), T_b=(1,1) fuehren auf das irreduzible Polynom 34*T^3-43*T^2+12*T+1 mit Nullstelle b_y\approx\ 0.6271, die restlichen Koordinaten sind b_x=34 b_y^2-22 b_y-1\approx\ -1.4256, c_x=-b_x, c_y=-b_y, a_x=b_y, a_y=1-b_x\approx\ 2.4256. Der Ansatz war: Waehle wieder B bzw. C, erhalte A aus H mit linearem Gleichungssystem. Die Bedingungen sind dann C,T_b\.,A kollinear und CT_b\.:T_b\.A=CB:BA.
owk
[ Nachricht wurde editiert von owk am 02.08.2009 10:19:00 ]
|
Notiz Profil
Quote
Link |
owk
Senior  Dabei seit: 10.01.2007 Mitteilungen: 6957
 |     Beitrag No.9, eingetragen 2009-08-02
|
Nr. 111 (Ma, Ta, Tb) ist unloesbar.
 
\ Die Punkte M_a=(0,0), T_a=(1,0), T_b=(3,2) fuehren auf das irreduzible Polynom 3 T^6- 2 T^5 -91 T^4 - 60 T^3 + 685 T^2 + 1214 T + 299 mit einer Nullstelle c_x\approx\ 3.7961. Die restlichen Koordinaten sind b_x=-c_x, b_y=c_y=0, a_x=(-c_x(c_x^2-6c_x-23))/(3c_x^2+6c_x-13)\approx\ 2.2462, a_y=(8c_x(c_x+3))/(3c_x^2+6c_x-13)\approx\ 3.8936. Der Ansatz war: Waehle B bzw. C, erhalte A als Schnittpunkt von CT_b mit dem Bild von BC unter Spiegelung an BT_b und fordere dann, dass BT_a\.:T_a\.C=BA:AC.
Ich werde vorerst nicht weitermachen, wer also Geduld und ein CAS hat, darf gerne uebernehmen. owk
[ Nachricht wurde editiert von owk am 02.08.2009 10:20:59 ]
|
Notiz Profil
Quote
Link |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen. Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|