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 Integrationsregeln. Substitution/Partielle Integration |
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Hagedorn
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 23.04.2008
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Wohnort: Bochum
 |  Themenstart: 2009-08-09
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Hallo Planetarier!
Ich habe eine Frage bezüglich der Integration von bestimmten Funktionen die ich mit meiner Schulmathematik nicht lösen kann.
Ich möchte dies an Folgenden Beispielen klarstellen.
-> int(e^x * ln(x),x,)= ???
Egal wie ich bei der Partiellen Integration u(x) und v´(x) wähle, es wird am Ende immer unangenehmer!
Wie kann ich dies lösen ? Oder gibt es hier keine Stammfunktion?
Beispiel 2.
-> int((ln(x))^2,x,)= ??
Hier müsste ich die Substitution anwenden, doch auch hier komme ich nicht weiter weil wir hier kein g´(x) haben.
Nun frage ich mich wie auch dies lösbar ist?
Das Problem an unserer Schule war halt dass die Funktionen immer eine Stammfunktion durch bloßes Hinschauen hatten. Hier stöße ich an meine Grenzen.
Gruß Hagedorn.
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior 
Dabei seit: 06.08.2003
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2009-08-09
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Hallo, im ersten Fall gibt es keine Stammfunktion, die nur die bekannten
elementaren Funktionen enthält.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
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| Beitrag No.2, eingetragen 2009-08-09
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Hallo, beim zweiten Integral setze t=ln(x).
Viele Grüße,Sonnhard.
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dietmar0609
Senior 
Dabei seit: 29.06.2007
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2009-08-09
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[ Nachricht wurde editiert von dietmar0609 am 09.08.2009 12:51:47 ]
war derselbe Vorschlag wie Sonnhard ...
[ Nachricht wurde editiert von dietmar0609 am 09.08.2009 12:52:57 ]
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Hagedorn
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-09
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Herr Dr_sonnhard Graubner ich kann ihnen da nicht so folgen, denn wir hatten die Regel
int(g´(x)*f´(g(x)),x,)= stammf(f(g(x)),)
woher kommt das t?
Gruß
Hagedorn
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Vicarious
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2009-08-09
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Im zweiten Fall kann man auch partiell integrieren. Mit dem hinzugedachten Faktor 1 dürfte das am schnellsten gehen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Vicarious
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| Beitrag No.6, eingetragen 2009-08-09
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das t im Falle von Sonnhard ist als Substitution zu verstehen:
int(ln^2(x),x, , )
t=ln(x) dt/dx=1/x und x=e^t, sodass int(ln^2(x),x, , )=int(t^2*e^(-t),t, , ) und das könnte man nun partiell integrieren.
edit:
Quatsch: ich habe hier natürlich einen Fehler gemacht:
dt/dx=1/x, aber dx=x*dt, also dx=e^t*dt, sodass
int(ln^2(x),x, , )=int(t^2*e^t,t, , )
[ Nachricht wurde editiert von Vicarious am 09.08.2009 13:04:34 ]
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Hagedorn
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-09
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Was bedeutet
dt/dx
Ich meine ich kann es zwar anwenden, doch ich weis nicht Sinn dahinter.?
Gruß
Hagedorn
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John-Doe
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| Beitrag No.8, eingetragen 2009-08-09
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Damit wird die Regel einfacher anzuwenden.
\
Der Ausdruck dt/dx bedeutet erst einmal nichts als die Ableitung. Bei der Substitutionsregel kann man damit dann "rechnen" als wäre es ein Bruch.
Wenn man dann damit ins Integral einsetzt, kommt später das richtige substituierte Integral heraus. Man kann zeigen, dass diese Rechnerei mit Differentialen im Falle der Substitution zum richtigen Ergebnis führt. Aber es sind immer noch Differentiale und keine Brüche. Immer kann man nicht so mit Differentialen rechnen.
Hat mich früher immer verwirrt, deswegen schreibe ich das jetzt.
lg Johnny
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chryso
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2009-08-09
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\quoteon(2009-08-09 12:40 - Hagedorn im Themenstart)
Beispiel 2.
-> int((ln(x))^2,x,)= ??
Hier müsste ich die Substitution anwenden, doch auch hier komme ich nicht weiter weil wir hier kein g´(x) haben.
Nun frage ich mich wie auch dies lösbar ist?
Gruß Hagedorn.
\quoteoff
Nimm für g'(x)=1 und dann im 2.ten Schritt nochmals.
Ich habe gerade erst gesehen, dass dieser Tipp schon gekommen ist.
Er führt sehr schnell zum Resultat.
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 09.08.2009 13:52:43 ]
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Hagedorn
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-09
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dt/dx=1/x, aber dx=x*dt, also dx=e^t*dt, sodass
int(ln^2(x),x, , )=int(t^2*e^t,t, , )
Wie kommt dieses dx= e^t zustande?
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chryso
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| Beitrag No.11, eingetragen 2009-08-09
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\
dx= x dt=e^(ln x) dt = e^t dt
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 09.08.2009 14:44:22 ]
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Hagedorn
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-09
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Ich wills zwar verstehen, doch ich blick da nicht ganz durch.
Weil ich dieses dt und dx nicht verstehe und auch nicht das dazugehörige Schema?
Gruß
Hagedorn
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chryso
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| Beitrag No.13, eingetragen 2009-08-09
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Du hast eine Funktion t(x)
Die Ableitung t'(x) schreibt man auch dt/dx (dt nach dx)
In deinem Fall:
t= ln(x)
dt/dx = 1/x
Rechnen kann man mit diesen dt und dx als wäre das ein 'normaler' Bruch.
Also x dt = dx
Wenn du nun bei deinem Integral 'ln x' durch t substituierst, stört jedes x.
Also setzt du statt dem dx den Ausdruck (x dt) ein.
Aber hier ist ja wieder ein x!
Also nimmst du statt x=e^(ln x)=e^t
und erhältst statt int((ln x)^2,x)=int(t^2 e^t,t)
Aber ich würde dir für dieses Integral doch auch den Tipp aus meinem Beitrag 9 raten. (Zusätzlich. Nachdem du das mit t gerechnet hast.)
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Hagedorn
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-09
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Also ich habe bis jetzt folgende Schritte verstanden
(1) ln(x) wird durch t substituiert -> int(t^2,x,)
(2) t = ln(x) nach t auflösen x= e^t
So und nun komme ich nicht weiter
Gruß
Hagedorn
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.15, eingetragen 2009-08-09
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Hallo, warum kommst du nicht weiter? Unmittelbar oben drüber steht doch alles.
Viele Grüße,Sonnhard.
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chryso
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| Beitrag No.16, eingetragen 2009-08-09
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Ich wiederhole nochmals das, was ich dir im Beitrag davor schon geschrieben habe.
\
Die Ableitung t'(x) schreibt man auch dt/dx (dt nach dx)
In deinem Fall:
t= ln(x)
\blue t'(x)\black = dt/dx = 1/x
\big Rechnen kann man mit diesen dt und dx als wäre das ein 'normaler' Bruch.
\blue Muss ich dir das wirklich vorrechnen?
\blue dt/dx = 1/x
\blue dt= 1/x*dx
\blue x dt= dx
\blue dx=x dt = e^t dt
LG Chryso
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Hagedorn
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-09
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Ja es tut mir leid, es ist bei mir immer so, wenn ich nach nem Schema gehen muss welches ich nicht ganz verstehe. Demnach will ich das an einem anderem Beispiel versuchen.
int(ln(x^2),x,)
t= x^2
\blue t'(x)\black = dt/dx = 2x
\blue dt/dx = 2x
\blue dt= 2x*dx
\blue dt/2x= dx
\blue dx=dt/2x = 2*x^(-0,5) dt -> int(2*t*2*t^(-1/2),t)
Gruß Hagedorn
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.18, eingetragen 2009-08-09
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Hallo, du hast es dir unnötig schwer gemacht, denn es ist ln(x^2)=2*ln(abs(x))
und nun kannst du eine Fallunterscheidung machen.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Hagedorn
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-09
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Ja ich weis dass ich es unnötig schwer gemacht habe, doch ist es prinzipiell richtig?
Gruß
Hagedorn
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chryso
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| Beitrag No.20, eingetragen 2009-08-09
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\quoteon(2009-08-09 20:24 - Hagedorn in Beitrag No. 17)
int(ln(x^2),x)
\blue dx=dt/2x = 2*x^(-0,5) dt -> int(2*t*2*t^(-1/2),t)
\quoteoff
Hier sehe ich mindestens 3 Fehler.
1) 2 steht im Nenner.
2) 1/x != x^(-0,5)
3) Wo ist ln hin verschwunden?
Außerdem ist ln(x^2)=2 ln(abs(x))
--------
Außerdem solltest du davor noch die alte Aufgabe lösen!
Auch mit dem anderen Tipp g'(x)=1
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
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Hagedorn
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-09
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\
int(ln(x^2),x)
\blue dx=dt/2x = 1/(2*x) dt -> int(ln(t)*1/4t^(1/2),t)
Ist es nun so richtig
Gruß
Hagedorn
[ Nachricht wurde editiert von Hagedorn am 09.08.2009 21:01:39 ]
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chryso
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| Beitrag No.22, eingetragen 2009-08-09
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Wo kommt denn der 4er her?
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
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| Beitrag No.23, eingetragen 2009-08-09
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Hallo, wenn x^2=t gilt, dann ist x=+-sqrt(t).
Viele Grüße,Sonnhard.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]
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Phi1
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 | Beitrag No.24, eingetragen 2009-08-09
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Hi!
Zum ersten Integral findest du hier sicherlich für dich Interessantes.
MfG
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