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  Integral über Rechteckregel |
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Rico
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 |  Themenstart: 2003-11-12
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Hat jemand hiervon Ahnung?
Zu berechnen ist int(e^x,x,a,b)
a) näerungsweise über die Rechteckregel R(h) mit
einer Unterteilung des Integrationsintervalls [a,b] in
n Teilintervalle gleicher Länge h. Der Funktionswert werde
dabei jeweils am linken Randpunkt gewählt.
b) als Grenzwert lim(h->0,R(h))
Bin für jede Anregung dankbar.
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viertel
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-11-12
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Hi Rico,
hier ne Anregung: such mal hier auf dem MP nach Untersumme bzw Obersumme. Da gibt es jede Menge Zeugs...
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Rico
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-12
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Ick kriege doch dann wohl ein Ergebnis in Abhängigkeit von a und b, oder?
Ist hier die linksseitige oder die rechtsseitige Rechteckregel gemeint?
Mich verwirrt auch mehr die Aufgabe b).
Also Grenzwerte ... uiuiuiuiui. Analysis war nie meine Stärke.
???????????????????????ß
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viertel
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| Beitrag No.3, eingetragen 2003-11-13
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Abhängig von a und b sowieso, aber auch von n, da die Streifenbreite
h=(b-a)/n
Links oder rechts is wurscht, da beim Grenzwert eh das Gleiche rauskommt.
Das i. Rechteck (Zählung beginnt bei 0) hat die Fläche
A_i=exp((a+i*h))*h
Und über die Dinger mußt Du summieren:
A_links=sum(A_i,i=0,n-1)=...
Nimmst Du die andere Seite:
A_rechts=sum(A_i,i=1,n)=...
Und dann den Grenzwert...
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Rico
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-13
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Ähmmmmmmmm... das ist jetzt nicht ganz angekommen.
Bedeuten A-links und A-rechts schon die Summen?
Warum zwei Summen?
Oder kann man sich eins aussuchen? Ich muss so doof fragen.
Fehlt dann nur noch 10.b), also der Grenwert einer Summe.
Ich muss doch a), also R(h) berechnen, um b) lösen zu können, oder?
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viertel
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| Beitrag No.5, eingetragen 2003-11-14
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Hi Rico
Hast Du Dir schon mal Gedanken gemacht, wie die Rechteckregel funktioniert?
Du teilst die Funktion in gleich breite Streifen mit Breite h. Dann kannst Du Rechecke einzeichnen. Nimmst Du die linke Seite eines Rechtecks als Höhe (die natürlich mit der gegebenen Funktion berechnet wird), bekommst Du die hellgrauen Flächen. Nimmst Du die rechte Seite, dann hellgrau+dunkelgrau. Das meinte ich mit Alinks und Arechts. Diese Teilflächen mußt Du berechnen und addieren.
Etwas klarer?
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[ Nachricht wurde editiert von viertel am 12.07.2012 01:37:10 ]
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Rico
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-14
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Ich würde spontan sagen, dass ich hier die Treppenfunktion anwenden könnte, oder?
Aber was mache ich mit diesem Grenzwert? Hat der etwas mit der ersten Aufagbe zu tun?
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cyrania
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2003-11-14
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Ja, du lässt die Breite der Rechtecke gegen 0 gehen, dabei werden die Rechtecke so schmal, dass sich der Flächeninhalt der abgeschätzten Funktion dem Flächeninhalt unter der Funktion immer mehr annähert.
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Rico
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-14
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Es tut mir leid, aber ich schnall ja nicht mal a).
Diese n Teilintervalle machen mir etwas Kopfzerbrechen.
Ich krieg´s nicht auf die Reihe.
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cyrania
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| Beitrag No.9, eingetragen 2003-11-14
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Schau doch auf die Grafik oben. Jedes Rechteck hat die Breite h. Sie sind aber zu breit. Deswegen stehen die oberen über und die Obersumme ist zu groß. Die Untersumme aller Rechtecke ist zu klein. Und jetzt überlege dir, wie sich Ober- und Untersumme ändern, wenn die Breite der Rechtecke immer mehr abnimmt.
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Rico
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-14
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Na sowohl Obersumme als auch Untersumme laufen gegen den exakten Wert des Integrals.
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Rico
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-15
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Ich hab ne Idee.
Ich teile mir das Intervall [a,b] in Teilintervalle der selben Breite h ein.
Dabei bildet der rechte Rand eines Teilintervalls gleichzeitig den linken Rand des rechts danebenliegenden Teilintervalles, d.h.
1. Teilintervall [x_0 , x_1 ]
2. Teilintervall [x_1 , x_2 ]
3. Teilintervall [x_2 , x_3 ]
…
n. Teilintervall [x_(n-1) , x_n ]
Da der Funktionswert am linken Randpunkt gewählt werden soll, trifft hier linksseitige Rechteckregel zu (Untersumme), die da lautet
I = (b - a)*f(a)
Summieren wir die einzeln berechneten Teilintervalle auf.
I = (x_1 - x_0 )*f(x_0 ) + (x_2 - x_1 )*f(x_1 ) + (x_3 - x_2 )*f(x_2 ) + ... + (x_n - x_(n-1) )*f(x_(n-1) )
Das lässt sich auch schreiben als
I = sum((x_(i+1) - x_i )*f(x_i ),i=0,n)
Da die Teilintervalle dieselbe Breite h haben, kann man folgendes sagen
I = sum(h*f(x_i ),i=0,n)
Hab ich damit nicht die Aufgabe a) gelöst????
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Rico
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-15
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Na ja, und das kann ich wiederum schreiben als
I = sum(h*e^(x_i ),i=0,n)
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Rico
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-15
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Na ich glaub der letzte Schritt war etwas ungünstig. Den würde ich streichen, oder?
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cyrania
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| Beitrag No.14, eingetragen 2003-11-15
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Schau auf die Rechtecke:
Der Funktionswert am Anfang ist
1.e^x
2.e^(x+h)
3.e^(x+2h)
4.e^(x+3h)
Und jetzt berechne zunächst die Rechteckssumme
der dunkelgrauen
und der hellgrauen
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Rico
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-15
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Aber warum?
Ich soll doch den Funktionswert am linken Randpunkt des Intervalls entnehmen?
Da weiß ich doch, dass nur die Untersumme gesucht ist, was für mich heißt, ich muss die linksseitige Rechteckregel verwenden.
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cyrania
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| Beitrag No.16, eingetragen 2003-11-15
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Lieber Rico, wenn du erst die Mathematik mit Löffeln gefressen hast, wirst du als Dankeschön hier mindestens 100 Fragen beantworten.
Rechteckregel und Rechteckverfahren sind zwei unterschiedliche Dinge. Für die Rechteckregel benötigt man keine Teilintervalle, da nur ein Rechteck gebildet wird. Also soll wohl eher das Rechteckverfahren gewählt werden.
# linker Funktionswert ist
e^a
# es werden Rechtecke der Breite h gebildet
R(h)=h*e^a+h*e^(a+h)+h*e^(a+2h)+.......+h*e^((n-1)h)
R(h)=h*sum(e^(a+kh),k=0,n-1)
R(h)=h*e^a*sum(e^kh,k=0,n-1)
# Um den Summenindex für die geometrische Reihe zu verändern
# addiert man
e^(0h)=1
# und subtrahiert
e^n
R(h)=h*e^a*(sum(e^kh,k=1,n)+1-e^n)
# Jetzt steckt die geometrische Reihe darin
R(h)=h*e^a*(((e^h)^n-1)/(e^h-1)+1-(e^h)^n)
# wegen
h=(b-a)/n =>n=(b-a)/h
R(h)=h*e^a*(((e^h)^((b-a)/h)-1)/(e^h-1)+1-(e^h)^((b-a)/h))
R(h)=(e^(b-a)-1)/((e^h-1)/h)*e^a+(e^(b-a)-1)*e^a*h
R(h)=(e^(b-a)-1)/((e^h-1)/h)*e^a+(e^b-e^a)*h
# gut, zu wissen, dass
lim(h->0,((e^h-1)/h)=1
Puhh, diese Tipparbeit...
[ Nachricht wurde editiert von cyrania am 2003-11-15 16:24 ]
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Rico
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
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Wir haben aber gelernt, das man die Rechteckregel mehrmals anwenden und aufsummieren kann. Es steht in der Aufgabenstellung etwas von der Rechteckregel und nicht Rechteckverfahren. Außerdem wendest Du ja schon den Limes an. Der ist doch erst in b) gefordert. Ich weiß ja nicht mal genau, wie a) aussieht.
Wir haben auch gelernt, dass es summierte Quadratformeln gibt.
Für die linksseitige Rechteckregel wäre das
I = h * sum(f(a+i*h),i=0,k-1)
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viertel
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| Beitrag No.18, eingetragen 2003-11-16
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Hi Rico,
dann vergleich mal mit meinem Post von 2003-11-13 00:32
Wenn Du die Formeln schon kennst, was erwartest Du dann? Vorrechnen? Ok:
\align
sum(exp((a+ih))*h,i=0,n-1)=h*sum(exp(a)*exp(ih),i=0,n-1)
=h*exp(a)*sum((exp(h))^i,i=0,n-1)
\blue mit q=exp(h) ist das ne geometrische Reihe sum(q^i,i=0,n-1)=(q^n-1)/(q-1)
=h*exp(a)*((exp(h))^n-1)/(exp(h)-1)
\blue wegen exp(h)^n=exp(nh)=exp((b-a))
=h*exp(a)*(exp((b-a))-1)/(exp(h)-1)
=h/(exp(h)-1)*(exp(b)-exp(a))
Das ist die linke Summe. Jetzt hätte ich gerne von Dir die rechte Summe. Das war dann a).
Und b)? Nun, da muß h gegen 0 gehen (oder halt n gegen unendlich). Was passiert dann mit dem letzten Term?
1/4
PS: Ich hab diese Rechnung für die e-Funktion auch noch nie gemacht oder auch nur irgendwo gesehen. Da setzt man sich halt hin, schreibt auf, was man weiß, setzt es zusammen und fängt an zu rechnen. In dem Fall hier halt mit Potenzgesetzen und anderen "Tricks" (siehe Kommentare oben - das Handwerkszeug sollte man nur kennen und einigermaßen beherrschen). Das ist nicht sonderlich schwer, da ist nur Phantasie gefragt.
Und Du mußt da selbst rangehen. Du kannst bestimmt nachvollziehen, was ich gemacht hab. Aber der Witz ist, zu lernen, da selber drauf zu kommen. Sonst kannste irgendwann einpacken. Diese Art "mathematisch-kreativ" zu denken mußt Du lernen. Also mach Dich an die Aufgabe und fang an zu rechnen! Und wenn Du stecken bleibst: MP hilft. Aber nicht immer die ganze Aufgabe.
Klingt hart? Die Pampers haben wir doch wohl schon längst abgelegt.
PPS: Ach Du dickes Ei. Jetzt wo's im Thread steht seh ich, daß cyrania das ja auch schon mal vorgekaut hat. Himmel noch mal, was hast Du für ein Problem? 
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 2003-11-16 05:18 ]
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cyrania
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| Beitrag No.19, eingetragen 2003-11-16
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Ja Rico, schau dir bitte meine Lösung Schritt für Schritt an und überlege, wie jeder Schritt entstand. Ich habe es ja zum Teil schon extra begründet.
Den Limes habe ich dir nur als kleinen Tipp für Aufgabe b geschenkt. Wo habe ich ihn denn benutzt?
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Rico
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|  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
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Das mit der linke und rechten Summe macht mich total wuschig.
Ich bedbnake mich aber trotzdem bei allen für Ihre Hilfe und Geduld.
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viertel
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| Beitrag No.21, eingetragen 2003-11-16
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Was ist daran schlimm? Entweder berechnest Du die Fläche Rechtecke mit der Höhe des linken Randes (wobei die Höhe natürlich durch die Kurve vorgegeben wird)
oder mit dem rechten Rand:
Und je schmaler die Streifen werden, umso kleiner wird die dunkelgraue Fläche, d.h. der Unterschied zwischen "linken" und "rechten" Rechtecken geht gegen Null.
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cyrania
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| Beitrag No.22, eingetragen 2003-11-16
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Lieber Rico, bleib einfach bei der linken Summe, so wie in der Aufgabe verlangt. Für b musst du nur noch meinen Tipp befolgen.Dann wird der ganze Nenner 1 und der rechte Summand geht gegen 0.
Die Lösung lautet dann e^b-e^a.
Weil du so dran knabberst und dich auch bedanken kannst, würde ich dir immer wieder helfen.
Einen schönen Abend wünscht Cyrania
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Rico
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
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Natürlich kann ich mich bedanken. Ist doch selbstverständlich für Eure Hilfe, die ich wiederum nicht als selbstverständlich hinnehme. Die ganze Sache ist wirklich entpuppt sich als ein riesiger Lernfaktor für mich.
Zurück zum Thema:
Das heißt die linke Summe ist meine gesuchte Näherungslösung für a), ja?
Ist dann der Post von Viertel (2003-11-16 05:12)
oder Dein Post (2003-11-15 16:22)
gemeint?
Muss ich auf diese Lösung
e^b-e^a
bei b) kommen?
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viertel
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| Beitrag No.24, eingetragen 2003-11-16
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Welcher Post ist doch egal. Wenn Du beide nachvollziehst läuft es doch eh auf's gleiche raus.
Und Deine Vermutung für b) ist richtig.
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Rico
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|  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-17
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Na dann belass ich es mal hierbei und spreche allen Mitwirkenden meinen Dank aus.
Den Rest krieg ich schon hin.
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