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 BWM 2009/ 2.Runde /Aufgabe 4 |
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chryso
Senior 
Dabei seit: 07.02.2009
Mitteilungen: 10529
Wohnort: Österreich
 |  Themenstart: 2009-09-26
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\big\Bundeswettbewerb Mathematik 2009 |Runde 2 |Aufgabe 4
4. Wie viele Diagonalen kann man in ein konvexes 2009-Eck höchstens einzeichnen, wenn in der Zeichnung jede gezeichnete Diagonale im Inneren des 2009-Ecks höchstens eine weitere Diagonale schneiden darf?
Die Richtigkeit des Resultates muss bewiesen werden.
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Die Aufgaben der 2. Runde habe ich für mich gelöst.
Falls jemand eine Lösung braucht, die Lösungen für 2. und 4. hätte ich in den fed eingetippt.
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 Profil
| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
salomeMe
Senior 
Dabei seit: 06.10.2015
Mitteilungen: 451
Wohnort: Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-04-03
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Hi chryso,
bitte wundere Dich nicht, dass eine Antwort zu so einer alten Fragestellung kommt. Ich nehme mir gern Aufgaben vor, die ich unbeeinflusst angehen kann.
Erst einmal mein Vorschlag zur gesuchten Anzahl: 3009.
Falls das falsch ist, ist es auch die folgende Argumentation und Du brauchst nicht weiter lesen. :-)
Zunächst schneide ich mir ein beliebiges konvexes 5-Eck vom konvexen 2009-Eck an geeigneten Eckpunkten des 2009-Ecks ab. In dieses lassen sich maximal 3 solche Diagonalen einzeichnen, wobei bei den meisten (mit Ausnahme von 2) möglichen Varianten zu jeder der beiden Ecken der Schnittseite mindestens eine Diagonale führt.
Jetzt reduziere ich das entstandene 2006-Eck um zwei weitere Ecken, indem ich aus dem 5- ein 7-Eck, durch Hinzufügen des angrenzenden Vierecks mache. In dieses 7-Eck lassen sich 3 weitere Diagonalen der gewünschten Art einzeichnen, wobei eine die vorherige 5-Eckseite ist.
Analog lassen sich jetzt weitere 1001 Vierecke vom ursprünglichen 2009-Eck abschneiden.
Wenn das erledigt ist, hat man wieder das 2009-Eck mit einer von sehr viel mehr als 3*2009 Möglichkeiten 3009 der gewünschten Diagonalen in ihm unterzubringen.
Würde man bei einem hinzugefügten Viereck statt der mögliche drei Diagonalen nur zwei eintragen, so wären im nächsten Schritt trotzdem nur drei weitere Diagonalen möglich, also das Maximum an Diagonalen nicht mehr erreichbar, wenn man nur die hinzugekommenen Eckpunkte als Ausgangspunkte neuer Diagonalen zulässt und die Seite, die zur Diagonalen geworden ist, zu den neuen Diagonalen zählt. Analoges gilt für das erste Fünf-Eck.
Bin mir nicht sicher, ob das als Beweis reich. Falls Du einen schöneren hast, würde ich mich über eine PM oder einen Beitrag von Dir freuen.
Beste Grüße
salomeMe
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