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Analysis » Topologie » Beweis: Teilmenge offen, wenn Komplement abgeschlossen
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Universität/Hochschule J Beweis: Teilmenge offen, wenn Komplement abgeschlossen
Kaffeefan
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  Themenstart: 2009-12-17

Folgende Aufgabe macht mir Probleme: Beweisen Sie, dass eine Menge M\subsetequal\ \IR genau dann offen ist, wenn ihr Komplement \IR\\ M abgeschlossen ist. Hat jemand ne Idee wie ich hier am besten anfganen soll? Danke für eure Hilfe im vorraus!=)


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Wapiya
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  Beitrag No.1, eingetragen 2009-12-17

Hallo Kaffefan Wie habt ihr Abgeschlossenheit definiert? Gruß Wapiya


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Kaffeefan
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2009-12-17

Unsere Definition von Abgeschlossenheit lautet wie folgt: Im Falle M=M' (d.h. jeder Häufungspunkt von M gehört zu M) heißt M abgeschlossen. Das ist die Definition =)


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Wapiya
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  Beitrag No.3, eingetragen 2009-12-17

Leider schreibst du nicht, was M' ist. Wenn ich jedoch deine "Definition" richtig deute, habt ihr die Abgeschlossenheit über die Grenzwerte von Folgen definiert. Dazu hier meine Tips als Fragen: Du kannst die Rückrichtung z.B. folgendermaßen zeigen. Nimm dir ein x \el\ M. Betrachte für ein beliebiges \epsilon den Schnitt B_\epsilon (x) \cut\ \IR\/M. 1) Du musst zeigen, dass M offen ist! Was bedeutet das für diesen Schnitt? 2) Wie kann man bzgl. dieses Schnittes eine Annahme aufstellen, an Hand der man eine Folge basteln kann, deren Grenzwert auf Grund eurer Definition in \IR\/M liegen müsste. Somit also einen Widerspruch zu Aussage 1 herstellen und daher die Rückrichtung beweisen? [ Nachricht wurde editiert von Wapiyaneu am 17.12.2009 16:54:22 ]


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Kaffeefan
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2009-12-17

M' ist die Vereinigung der Menge M mit allen Häufungspunkten von M.


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Kaffeefan
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2009-12-17

Also gut, d.h. erstmal die Aussage: M\subsetequal\ \IR ist offen<=>Das Komplement \IR\\M ist abgeschlossen ist zu beweisen. Soweit noch richtig oder? [ Nachricht wurde editiert von Kaffeefan am 17.12.2009 17:16:32 ]


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Wapiya
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  Beitrag No.6, eingetragen 2009-12-17

ja und für <= hap ich Tips gegeben.


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Kaffeefan
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2009-12-17

Der erste Tipp mit der Schnittmenge wo du sagst, ich solle mir ein x Element von M nehmen und dann den Schnitt wie du oben geschrieben hast bilden. Wenn das x aus M ist und irgendeine Menge mit der Menge IR\M geschnitten wird wobei x in M enthalten ist und somit nicht in IR\M, dann müsste doch die Schnittmenge die leere Menge sein oder? Weißt du was ich meine? =)


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Wapiya
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  Beitrag No.8, eingetragen 2009-12-17

Ich glaube du hast meinen Tip nicht verstanden. Welche Mengen schneide ich? Betrachte mal den Schnitt in Abhängigkeit von Epsilon! Gruß Wapiya [ Nachricht wurde editiert von Wapiyaneu am 18.12.2009 15:12:59 ]


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