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| Autor |
  f(A)=A^-1*b Bestimme f'(A)! |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2003-11-24
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Hi, hab noch ein kleines Problem bei einer Numerik Aufgabe:
Ich habe für A€GGl(n) und g(A)=A^-1 gezeigt, dass
g'(A)*C=-(A^-1)*C*(A^-1) für C€G(n)
Lösungsweg: Differenzieren von ((A+t*C)^-1)*(A+t*C)=E nacht t€R und betrrachten von t=0.
Nun will ich etwas analoges für f(A)=(A^-1)*b zeigen. Da fehlt mir irgendwie der Ansatz, kann mir da jemand weiterhelfen?
Nebenbei: Wieso kann man g(A)=A^-1 differenzieren? Hab irgendwo gelesen, dass man das machen kann weil die Determinante eine Funktion in allen Einträgen von A ist. Was versteht man darunter??
Gruß, Chronos
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-11-24
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Hi,
dann differenziere doch A*f(A)=b
Ciao Lutz
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-24
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Wonach soll ich denn da ableiten?
Da fehlen mir glaube ich die Grundlagen für, sorry. Könntest du mir kruz erklären, wonach man da ableitet?
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-24
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Hm, komm da so echt noch nicht weiter, kleiner Tipp wär nett!
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
| Beitrag No.4, eingetragen 2003-11-25
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Hi,
Du kannst natuerlich auch die Linearitaet der Ableitung benutzen, um einfach das vorherige Resultat anzuwenden, also
f^'(A)(C)=A^(-1)*C*A^(-1)*b
Ciao Lutz
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-25
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Wieso kann man denn das b da so rausziehen?
Es ist doch eigentlich f(A)*C = g(A)*b*C.
Mir ist nicht klar, wie ich da das Ergebnis für g(A)*C einsetzen kann???
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LutzL
Senior
Dabei seit: 06.03.2002
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| Beitrag No.6, eingetragen 2003-11-25
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Hi,
Du darfst hier C nicht als Matrix ansehen, C ist ein Vektor. Demzufolge stehen da auch keine Matrixprodukte in der Ableitung f'(A)(C).
Ciao Lutz
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-26
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Mir ist leider immer noch nicht klar, wie man da jetzt genau arguemtiert und umformt, wäre dir echt dankbar wenn du es mir etwas ausführlicher erklären könntest!
Gruß, Chronos
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46782
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.8, eingetragen 2003-11-26
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Hi Chronos,
@LutzL
Da ist ein Vorzeichenfehler drin, es muß richtig
f'(A) C = -A-1 C A-1 b
heißen.
Es ist f(A) = g(A) b, also
f'(A) C=lim(h->0,(f(A+h C)-f(A))/h)
=lim(h->0,(g(A+hC)b-g(A)b)/h)=(g'(A) C) b
(die Klammern sind wesentlich, g'(A) wirkt auf die Matrix C, es kommt eine Matrix heraus, diese wirkt wiederum auf den Vektor b!)
Gruß Buri
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LutzL
Senior
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
| Beitrag No.9, eingetragen 2003-11-26
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Hi,
um das nochmal ausfuehrlicher zu machen, man ordne einer nxn-Matrix einen n^2-dimensionalen Spaltenvektor zu. Dann ist das Matrix-Vektorprodukt eine bilineare Veranstaltung, und die Ableitung von g eine n^2 x n^2-Matrix.
Ciao Lutz
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-26
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Ok, vielen Dank ihr beiden, jetzt habe ich es glaube ich verstanden :-)
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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