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 Ableitung der trigonometrischen Funktionen mit Schulmitteln |
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goeba
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 |  Themenstart: 2010-03-30
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Während die Ableitung der trigonometrischen Funktionen über ihre Potenzreihendefinition trivial ist, hat man in der Schule das Problem, dass man einer geometrisch definierten Funktion mit algebraischen Mitteln "zu Leibe" rücken muss.
Ausgehend vom Faden "Herleitung der Additionstheoreme" stellt sich daher die Frage: Wie leitet man die trigonometrischen Funktionen am besten ab?
Hier zwei von mir gewählte Varianten:
1. Grafisch
Man lässt die Schüler z.B. den Sinus in ein großes, genaues Schaubild zeichnen, an ausgewählten Stellen Tangenten einzeichnen, deren Steigung bestimmen, so dass die Ableitungsfunktion dann direkt skizziert werden kann.
Praktisch alle Schüler sind so in der Lage, eigenständig herauszufinden, dass die Ableitung von sin(x) cos(x) ist.
Variante mit GTR: Wählt man zwei nahe beieinanderliegende Punkte, so nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung. Mit dem Taschenrechner ist es ein Leichtes, sehr nahe beieinanderliegende Punkte zu wählen.
Definiert man die fragliche Funktion als Y1, so ist (Y1(X+0.001)-Y1(X))/0.001 ihre ungefähre Ableitungsfunktion (statt 0.001 kann man natürlich noch kleinere Zahlen wählen.
Diese lässt sich dann mit dem GTR zeichnen, so dass man auch hier sehen kann, dass die Ableitung von sin(x) cos(x) ist.
2. Über Geschwindigkeitsüberlegungen am Einheitskreis
Der Punkt (cos(t)|sin(t)) bewegt sich auf dem Einheitskreis. Lässt man t von 0 bis 2pi laufen, so legt er die Strecke 2 Pi zurück. Der Punkt hat also die Geschwindigkeit 1 (L.E./Z.E.).
In welche Richtung bewegt sich der Punkt? Die momentane Richtung ist immer tangential zur Flugbahn. Nimmt man zusätzlich die Geschwindigkeitsüberlegung hinzu, so ist klar, dass der Vektor für die Bewegungsrichtung nun (-sin(t)|cos(t)) ist. Damit hat man plausible Argumente für die Ableitungen von Sinus und Cosinus.
Ich bin gespannt auf strengere Alternativen.
[ Nachricht wurde editiert von goeba am 30.03.2010 10:30:43 ]
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lula
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2010-03-30
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Hallo
Das qualitative Ableiten am Graphen kann eigentlich nur zeigen, dass die Steigungsfunktion dieselbe Periode hat wie sin, und um \pi/2 versetzte 0 Stellen. Damit liegt nur die Vermutung von cos nahe. Ich glaub kaum, dass man so die Ableitung von x^2 oder x^3 machen würde. schon zu zeigen, dass die Steigung an der Nullstellen von x +1 oder -1 sind ist schwer, schon allein wegen der Schwierigkeit die Nullstellen bei pi usw. einzutragen. Woher haben die Schüler einen "guten" sin plot?
Dass die Schüler dabei cos rauskriegen liegt nur daran, dass sie ausser sin und cos keine periodischen so ähnlich aussehenden Funktionen kennen.
Lass sie auf dieselbe Weise x^5 ableiten, und sie kriegen sicher ne Parabel raus! also ax^2 (wieder weil das die einzige ihnen vertraute nach oben geöffnete Kurve ist.)
Das mit Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung zu machen find ich sehr gut. 1. kommt man damit auf den historischen Hintergrund zurück, Ableitungen um Momentangeschw. zu definieren, 2. wird die Definition des sin als Kreisprojektion benutzt, was sonst zu wenig thematisiert wird, drittens wird nicht immer eindimensional und mit Graphen gearbeitet.
Die direkte Herleitung am Kreis über den GW find ich aber auch einfach, sie entspricht dann mehr dem, was man an der Parabel etwa macht.
ich hab immer beide Varianten benutzt, auch weil man das in Physik immer wieder braucht.
zur direkten Herleitung hab ich irgendwo hier schon mal ein Bildchen hochgeladen
hier
bis dann lula
[ Nachricht wurde editiert von lula am 30.03.2010 12:56:56 ]
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goeba
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-30
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Ich wäre aber sehr gespannt auf eine Herleitung über den Differenzenquotienten, denn meiner Meinung nach braucht man irgendwo immer, dass sin(x)/x -> 1 für x -> 0!
Ich habe mir die Herleitung mal auf einen Zettel geschrieben. Man braucht die Additionstheoreme und obigen Grenzwert. Dann müsste man den Sinus z.B. so definieren, was ich für die Schule aber für ungeeignet halte.
LG
Andreas
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2010-03-30
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\quoteon(2010-03-30 12:41 - goeba in Beitrag No. 2)
Ich wäre aber sehr gespannt auf eine Herleitung über den Differenzenquotienten, denn meiner Meinung nach braucht man irgendwo immer, dass sin(x)/x -> 1 für x -> 0!
\quoteoff
---> Ja das ist richtig und diesen Grenzwert erhält man aus einem Flächenvergleich am Einheitskreis; der Rest ist mit den Addth eine recht elementare Rechnung....
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chryso
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2010-03-30
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Ich finde die graphische Herleitung durchaus ausreichend und sinnvoll. Die meisten Lehrer (zumindest in meinem Umfeld) machen - glaube ich - nicht einmal das. Ich habe sogar schon Schüler angetroffen, die mit Ableitungen von Winkelfunktionen gar nicht arbeiten.
Schüler tendieren ohnehin dazu, dem Lehrer "lieber zu glauben" als Freude an Beweisen zu haben. Der graphische 'Beweis' reicht ihnen vollkommen.
So Pseudobeweise wie in manchen Lehrbüchern über den Differenzenquotienten, wobei man nicht nur die Additionstheoreme braucht, sondern auch Grenzwerte von sinx/x und (cosx-1)/x, halte ich für überflüssig. Diese Grenzwerte werden nämlich auch nur über Tabellen 'hergeleitet'("Ein Beweis wäre sehr aufwändig, deshalb verzichten wir darauf".)
Der Schüler soll das einfach glauben. Da kann man genausogut den Glauben an (sin x)'=cos x fordern.
Unsauber ist der graphische Beweis ja auch nur für eine der Winkelfunktionen z.B. für sin x .
Die Ableitung für cos x könnte man sich dann über die Beziehung cos(x)= sin (x+pi/2) herleiten. (Ich weiß schon, wenn ich auf etwas Unbewiesenem aufbaue ...)
Da kann ich gleich beide graphisch differenzieren und tu wenigstens nicht so, als wäre das mathematisch korrekt.
LG chryso
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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lula
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| Beitrag No.5, eingetragen 2010-03-30
|
Hallo
der Umfang des Kreises, also auch die Bogenlänge x wird auf Schulen noch immer durch einen GW prozess dargestellt, und man misst nicht nur Umfang und durchmesser von Tellern usw.
Wenn man an diese Herleitung anknüpft ist sinx und x zu vergleichen für kleine Winkel, einfach daruaf zurückggreifen, dass wir ja x gerade über für sinx gegen 0 gilt x prop. sinx
Man muss sich klar machen, dass eigentlich nicht sinx das Problem ist, sondern zu der geraden Strecke sinx, die krumme Länge x zu finden.
Darüber wird in der Schule weggegangen, weil man den Winkel ursprünglich mit Grad einführt. Das hat aber nichts mit der sin(x) Funktion zu tun.
Also wenn man Bogenlänge einfach akzeptiert, ist der GW schon fast da.
bis dann lula
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2010-03-30
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Also ich find ja die graphische Methode echt pfiffig. Halte sie aber eher für eine gute Ergänzung, i.S.v. 'es geht auch anders'.
Denn man leitet als erstes die Abl. ganz allgemein über den DQ her... Wenn man jetzt also sagt: bei sin/cos müssen wirs aber anders machen, büßt das m.E. etwas an Glaubwürdigkeit ein.
Von diesem 'per Def. festlegen', i.S.v. 'friß es oder laß es', halte ich nichts. Etwa: so, es ist [cos(x)]' = -sin(x) und damit rechnen wir jetzt nen paar tolle Zahlenwerte aus....
Das spielt tatsächlich nur den Desinteressierten in die Hände....
Ich hab mal 2 Schülern Nachhilfe gegeben, die beide auf 5-6 standen. Ihre Original-Heftaufschriebe waren in etwa so:
Überschrift Quadratische Gleichung - Lösungsformel ist ... - nächste 3 Seiten Zahlenbeispiele...
Naja, jedenfalls meinten beide 6er-Schüler, sie hätten bei diesen Sachen ganz gerne mal ne Herleitung, weil sie so nichts damit anfangen könnten.... Und das war jetzt echt mal das letzte, was ich vermutet hätte und gab mir doch sehr zu denken...
ZU DEN GENANNTEN GRENZWERTEN
(die man für die Abl.en von sin- und cos-Funktion braucht)
=============================
a)sin(x)/x --> 1, x --> 0
-----> Dieser Grenzwert läßt sich m.E. sogar bes. einfach herleiten, in dem man am Einheitskreis die Flächen aus dem Kreissegment und die Dreiecksflächen mit sinus und tangens als eine Seite vergleicht....
b) (1- cos(x))/x --> 0, x ---> 0
-----> Auch dieser Grenzwert ist nicht bes. schwer herzuleiten. Wenn man weiß, daß 1 - cos(x) = 2sin²(x/2), was man idealerweise von den Addth her kennt, läßt er sich auf Grzwert a zurückführen....
==============================
Mag vll. für einen Mathematiker nicht ausreichend sein, weil er das vll. lieber bar jeder Anschauung beweisen will, für die Schule ist es m.E. ausreichend und nachvollziehbar.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von cis am 30.03.2010 14:50:29 ]
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goeba
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-30
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Hi,
exemplarisch unterrichten ist das Stichwort. Es besteht da ein gewaltiger Unterschied im Schwierigkeitsgrad zwischen der quadratischen Gleichung und der Ableitung des Sinus.
Wenn Schüler den Grenzübergang für den Differenzenquotienten für ein paar Polynome gemacht haben, dann ist das schon viel. Bei den trigonometrischen Funktionen sage ich, dass das Problem ist, dass wir diese nur geometrisch definiert haben und deswegen keinen algebraisch Strengen Beweis für die Ableitung führen - eine wie ich finde ehrliche und auch ziemlich korrekte Antwort.
Man muss sich an der Schule schon immer die Frage stellen: Wie viel Zeit brauche ich dafür? Wie hoch ist die Schüleraktivität dabei (also in wie weit besteht die Chance, dass Schüler zumindest auf Teile der Lösung selbst kommen)? Ist der Inhalt als exemplarisch anzusehen?
All das ist bei einer "strengeren" Ableitung (denn wirklich streng ist sie nicht, sobald ich auf Plausibilitätsargumente wie "krumm" und "gerade" zurückgreifen muss) für die trigonometrischen Funktionen hier meiner Meinung nach nicht gegeben.
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chryso
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| Beitrag No.8, eingetragen 2010-03-30
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So vieles wird in der Schule "anschaulich" und nicht ganz exakt erklärt und vor allem - von den Schülern verstanden. (Oder leitet jemand die Tatsache, dass zwischen zwei Extremwerten einer auf einem Intervall definierten differenzierbaren Funktion ein Wendepunkt ist, über die Differenzierbarkeit her?)
Es stellt sich, wie Andreas gesagt hat, die Frage, wieviel Zeit geht dabei drauf für relativ wenig Ertrag.
Wenn die Schüler mit graphischem Differenzieren die Ableitungen für die Winkelfunktionen sin und cos bekommen, haben sie
1) eine Ahnung bekommen, was das Differenzieren überhaupt ist, (denn Differenzieren ist mehr als die Hochzahl-Vorziehen und den Exponenten-um-1-Verringern)
2) eine plausible Erklärung für die Ableitung bekommen. Dass das graphische Resultat kein mathematisch exakter Beweis ist, leuchtet ihnen auch ein.
LG chryso
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 30.03.2010 15:35:03 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2010-03-30
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\quoteon(2010-03-30 14:21 - goeba in Beitrag No. 7)
....
Wenn Schüler den Grenzübergang für den Differenzenquotienten für ein paar Polynome gemacht haben, dann ist das schon viel.
\quoteoff
-------> Da das Zeitproblem immer wieder aufkommt: Also ich seh das immer wieder, daß Schüler der Klassen 10 11f. wochenlang Ableitungen von Polynomen über den DQ berechnen... und ca 1-2 KAen darüber schreiben. Ich will nichts unterstellen, aber das heimelt für mich leicht an, nach Beschäftigungstherapie.... Was übt man da? Grund- und Bruchrechnen?
Also bei mir lief das mit den Ableitungen von Polynomen so: Über den DQ wurde das an ca. 3 Polynomen gemacht und dann wurde die allgemeine Ableitung (x^n)' = n x^(n-1) hergeleitet (das übr. über Polynomdivision - geht m.E. unkomplizierter übers Pascal-Dreieck. Für reelle Exponenten wurde es später verallgemeinert..). Von da an wurde also über (x^n)' = n x^(n-1) gerechnet...
Da ich mir nicht vorstellen kann, das es in einer Abschlußprüfung explizit heißt, berechne z.B. (x³ + 5x - 2)' rein über den DQ (d.h. Du darfst dabei (x^n)' = n x^(n-1) nicht verweden), spräche für mich schon einiges dafür, anderen Funktionen (etwa sin, cos, tan, ln) mehr Zeit zu widmen...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von cis am 30.03.2010 19:30:58 ]
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chryso
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| Beitrag No.10, eingetragen 2010-03-30
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Zum Grenzwert sinx/x ist mir noch etwas eingefallen:
Man kennt die Flächenformel eines Dreiecks A= Seite1*Seite2*sin(eingeschlossenen Winkels)/2
Zeichnet man nun ein Dreieck in den Einheitskreis, so erhält man die Fläche 1*1*sin x /2. Andrerseits hat der Kreissektor die Fläche Bogen*Radius/2.
Geht nun der Winkel x gegen Null, so nähert sich die Fläche des Dreiecks der des Kreissektors. Man könnte vielleicht das Kreissegment, um das der Sektor größer ist als das Dreieck, noch abschätzen durch ein Rechteck.
LG chryso
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.11, eingetragen 2010-03-30
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Am einfachsten geht es m.E. so:
A_kleinesDreieck <= A_Kreissektor <= A_großesDreieck
=> 1/2 sin(h) cos(h) <= \pi r^2 h/2\pi <= 1/2 r tan(h) |\|wobei r = 1
=> sin(h) * cos(h) <= h <= sin(h)/cos(h)
....
<=> cos(h) <= sin(h)/h <= 1/cos(h) \red \textleftarrow \small Fehler korrigiert
=> lim(h->0,cos(h)) <= lim(h->0,sin(h)/h) <= lim(h->0,1/cos(h))
=> 1 <= lim(h->0,sin(h)/h) <= 1
=> lim(h->0,sin(h)/h) = 1
[ Nachricht wurde editiert von cis am 30.03.2010 20:39:08 ]
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chryso
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| Beitrag No.12, eingetragen 2010-03-30
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Hallo cis!
Macht man in Deutschland den Differentialquotienten in der 10.?
Glaube ich kaum.
In Österreich ist es die 11. Da bei uns Mathematik nur drei Wochenstunden unterrichtet wird, oft Stunden ausfallen (z.B. weil in Englisch, Deutsch, Italienisch oder Latein eine zweistündige Schularbeit geschrieben wird, weil irgendwelche Exkursionen stattfinden, ein religiöser "Einkehrtag" vor Ostern, eine Theateraufführung besucht wird oder eine Sprachwoche nach England/Italien/Frankreich stattfindet, oder ein Feiertag ist) kannst du dir selbst ausrechnen, dass da nicht Zeit bleibt, monatelang mit Differentialquotienten herumzurechnen.
Nur einmal kurz der Stoff der 11. Klasse (Grundkurs, bei uns gibt es keine Leistungskurse):
1) Komplexe Zahlen, Grundrechnungsarten in C ,Gleichung höheren Grades (symmetrische und solche, wo man eine reelle Lösung als Teiler des konstanten Glieds finden muss und Polynomdivision) Polarkoordinaten, n-te Wurzeln und Potenzen von komplexen Zahlen.
2)Differentialrechnung,
Differenzenquotient, graphisches Differnzieren, Ableitungsregeln (Produkt- Quotienten- Kettenregel, implizite Funktionen, Stammfunktionen) Trigonometrische F.,
3) Kurvendiskussionen, einschließlich Umkehraufgaben
4) Anwendungen
Optimierungs und Extremwertaufgaben
Regel von de l'Hospital
Newtonsches Näherungsverfahren, numerisches Lösen von Gleichungen mit Intervallschachtelung und Newton,
ev. Taylorpolynome und Potenzreihenentwicklung
5) Exponential- und Logarithmusfunktionen, Anwendungen(z.B. Halbwertszeitberechnungen), Kurvendiskussion, Umkehraufgaben
6) Nichtlineare analytische Geometrie
Kegelschnitte (ausführlich!) Berührbedingungen, Extremwertaufgaben
Kugel
7) Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Laplace'sche WS
Kombinatorik
Zufallsvariable und Verteilungen, Erwartungswert, Varianz
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Testen von Hypothesen
Wenn du nun bedenkst, dass man nicht jede Stunde neuen Stoff machen kann, dass Schularbeiten geschrieben und verbessert werden, dass vergessener Stoff aus den Vorjahren wiederholt wird, dass Schüler auch geprüft werden müssen, dass eine ganze Reihe von zeitaufändigen Übungen in der Schule zu rechnen sind, siehst du, dass da unmöglich Zeit bleibt, monatelang sich mit dem Differenzenquotienten aufzuhalten und dass man hier auch kaum Zeit für aufwändige Herleitungen der Ableitung der trigonometrischen Funktionen hat.
Es reicht ja auch nicht eine einmalige Herleitung. Wenn jemand will, dass alle Schüler das auch verstehen, ist eine mindest 2malige Wiederholung notwendig.
Nur wenn jemand tatsächlich mit der Begriffsstutzigkeit von einigen Schülern in der Praxis konfrontiert ist, weiß er, was machbar ist und was nicht.
LG chryso
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 30.03.2010 23:17:10 ]
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chryso
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| Beitrag No.13, eingetragen 2010-03-30
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\quoteon(2010-03-30 16:46 - cis in Beitrag No. 11)
A_kleinesDreieck <= A_Kreis\red\sektor\black\ <= A_großesDreieck
=> sin(h) * cos(h) <= h <= sin(h)/cos(h)
<=> 1/cos(h) <= sin(h)/h <= cos(h)
\quoteoff
Diesen Schritt erklär mit bitte genauer.
Er ist sicher falsch.
Das würde ja bedeuten, dass 1/cos(h)<= cos(h) ist!! 
Wahrscheinlich meinst du das Umgekehrte.
LG chryso
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 30.03.2010 19:45:59 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.14, eingetragen 2010-03-30
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\quoteon(2010-03-30 17:12 - chryso in Beitrag No. 13)
Diesen Schritt erklär mit bitte genauer.
... Wahrscheinlich meinst du das Umgekehrte.
\quoteoff
Ja, ich meinte es andersrum... siehe oben....
Ich mußte vorhin dringend weg, da is mir dieser Patzer unterlaufen...
Nbb.: Also der Schritt sind egtl. schon 2-4 Zeilen --> Hier aber verkürzt...
\quoteon(2010-03-30 16:56 - chryso in Beitrag No. 12)
Hallo cis!
Macht man in Deutschland den Differentialquotienten in der 10.?
Glaube ich kaum.
\quoteoff
-----> Also da will ich mich mal nicht festlegen. Durch dieses G8-System machen jetzt manche in Kl. 10 Sachen, die sonst in 11 gewesen wären o.s.ä.
War aber egtl. auch nicht meine Aussage: Ich kenn inzw. 3 Leute (versch. Schulen), die zum Thema Diff'rechnung mehrere Wochen Polynome und auch Wurzelfunktionen rein über den DQ berechneten (was m.E. eher Grund- und Bruchrechnen schult) und dann, nachdem das in 1 bis 2 KAen geprüft wurde, die bekannte 'Potenzregel' allgemein einführen - also soviel zur sinnvollen Nutzung der wenigen Zeit (ok, kann man jetzt verschiedener Meinung sein, was sinnig od. unsinnig ist).
====================
So, und wenn ich schon dabei bin, mach ich mal noch den 2. Grenzwert; obwohl dieser möglw. keine bes. Relevanz hat angesichts wichtigerer Sachen, wie Schulausflug, Bibeltreffen, Theatertag, Klassenfrühstück, Projektwochen und ähnlicher Freihzeitaktivitäten (übr. Zeichs, was es bei mir auch alles gab - wie hat das mein Mathelehrer nur trotzdem hinbekommen?):
(A) lim(h->0,sin(h)/h) = 1
(B) Aus cos(a+b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) bekommt man, unter Zuhilfenahme von cos^2(c) + sin^2(c) = 1, für a = b = h/2
2*sin^2(h/2) = 1 - cos(h)
=> lim(h->0,(1 - cos(h))/h) = lim(h->0,(2*sin^2(h/2)) / h)
|= lim(h->0,(sin(h/2) * sin(h/2)/(h/2))) \darkblue\ \small \textleftarrow cases(da 0/2 = 0, ist h -> 0; mit h/2 -> 0 gleichbedeutend)
|= lim(h/2->0,(sin(h/2) * sin(h/2)/(h/2)))
|= lim(h/2->0,sin(h/2)) * lim(h/2->0, (sin(h/2)/(h/2)))\darkblue\ \small \textleftarrow mit Grenzwert(A)
|= 0 * 1
|= \blue 0 = lim(h->0,(1 - cos(h))/h)
-----> Damit kann man ohne Weiteres sin(x) und cos(x) über den DQ ableiten....
[ Nachricht wurde editiert von cis am 30.03.2010 20:34:35 ]
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chryso
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| Beitrag No.15, eingetragen 2010-03-30
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Ich habe mir jetzt noch etwas direkt einfallen lassen. Da brauchen wir die Überlegungen mit (sin x)/x gar nicht, sondern kommen ohne Umschweife auf die Ableitung.
a und b seien die Winkel im Bogenmaß.
Ich betrachte die Differenz von sin(a+b) und sin(a) im Einheitskreis.
E sei der Halbierungspunkt des Bogens AB
Das Dreieck PAB ist ähnlich zum Dreieck FEO
(um 90° gedreht, die entsprechenden Seiten stehen im rechten Winkel aufeinander.)
a+b/2 = \measuredangle\ FOE = \measuredangle\ PBA = \epsilon
cos(a+b/2)= cos(\epsilon)= PB^- /AB^-
lim(b->0,(sin(a+b)-sin(a))/((a+b)-a))=lim(b->0,PB^- /b)= lim(b->0,PB^- /AB^- )= lim(b->0,cos(a+b/2))= cos(a)
Diesen Beweis der Ableitung könnte man durchaus in der Schule bringen. Er ist sehr kurz und einfach zu verstehen.
Für die Ableitung von cos(x) betrachtet man am einfachsten sin(x+pi/2).
LG chryso
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 30.03.2010 23:03:04 ]
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 31.03.2010 14:47:04 ]
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chryso
Senior
Dabei seit: 07.02.2009
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| Beitrag No.16, eingetragen 2010-03-31
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In dieser Art gilt der Beweis für den ersten Quadranten.
Zwar könnte man ihn auch für die anderen Quadranten adaptieren.
Leichter aber ist es, mit der Symmetrie der Funktion zu argumentieren.
\
Spiegelung an der Geraden x=\pi/2
Weiters Spiegelung im Punkt E.
LG chryso
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Nachtkerze
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 | Beitrag No.17, eingetragen 2010-03-31
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@chryso
Dein Beweis in Beitrag 15 finde ich wirklich sehr schön, einfach, kurz und leicht zu verstehen.
------------
Während davor in diesem Thread noch eine interessierte Diskussion im Gange war, ist sie nun verstummt, so als würde dieser Beweis direkt das Interesse an der Thematik stören.
Wolltet ihr nun einen einfachen Beweis für Schüler haben oder nicht?
Warum nimmt dann niemand dazu Stellung? Oder ist er doch nicht so einfach?
Mich würde eine Rückmeldung von Lehrern interessieren.
Gruß Nachtkerze
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Tigger
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 | Beitrag No.18, eingetragen 2010-03-31
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@chryso: Ich finde Deine Überlegungen im Beitrag 15 beeindruckend. Die durchgeführten Schritte sind (auch für Schüler) nachvollziehbar. Mit deiner Skizze und einigen kleinen Hilfestellungen sollten gute Schüler sogar in der Lage sein, die Herleitung selbst hinzubekommen.
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fru
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Dabei seit: 03.01.2005
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 | Beitrag No.19, eingetragen 2010-04-01
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Hallo Chryso!
\quoteon(2010-03-30 22:49 - chryso in Beitrag No. 15)
Da brauchen wir die Überlegungen mit (sin x)/x gar nicht, ...
\quoteoff
Doch, Du erwähnst sie nur nicht ausdrücklich  .
\
Wenn Du beim Grenzübergang den Bogen b von A nach B durch die Sehne AB^- zwischen diesen beiden Punkten ersetzt, dann verwendest Du implizit natürlich jenen Grenzwert, welchen Du eigentlich vermeiden möchtest:
1=lim(b->0,b/AB^-)=lim(b->0,b/(2*sin|b/2))=lim(b->0,(b\/2)/(sin|b/2))=lim(x->0,x/(sin|x)
Daß Du diesen Schritt
lim(b->0,PB^-/b)=lim(b->0,PB^-/AB^-)
kommentarlos durchführst, ändert natürlich nichts daran.
Liebe Grüße, Franz
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chryso
Senior
Dabei seit: 07.02.2009
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| Beitrag No.20, eingetragen 2010-04-01
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@fru
Es stimmt, dass der Bogen sich der Sehne "nähert", wenn der Winkel immer kleiner wird, habe ich stillschweigend vorausgesetzt.
Aber das wird ja auch vorausgesetzt, wenn man den Umfang eines Kreises durch den Umfang eingeschriebener Vielecke annähert.
Da wir (in meiner Schulzeit in der Unterstufe(!)*) den Umfang eines Kreises durch eingeschriebene und umschriebene Vielecke hergeleitet und berechnet haben, kann ich also - wenn b->0 geht, den Bogen durch die Sehne ersetzen. 
*) Hier hatten wir doch tatsächlich zwei Folgen von 2n-Ecken so weit berechnet, dass wir die ersten Dezimalstellen von pi erhalten haben.
Fru, als ich im Fenster der 'besuchten Forumsbeiträge' deinen Namen las, wusste ich schon im Voraus, was du wohl geschrieben hattest. (Es wäre also gar nicht notwendig gewesen, das zu formulieren ;-)
LG chryso
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 01.04.2010 01:14:30 ]
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fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.21, eingetragen 2010-04-01
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\quoteon(2010-04-01 01:06 - chryso in Beitrag No. 20)
Es wäre also gar nicht notwendig gewesen, das zu formulieren ;-
\quoteoff
Hmmm, dann muß ich wohl etwas deutlicher werden :
Natürlich kannst Du "voraussetzen, daß der Bogen sich der Sehne nähert", um Deinen unbegründeten Schritt rechtzufertigen. Aber dann könnte man natürlich auch darauf verzichten, irgendetwas Anderes zur Rechtfertigung der Verwendung des Grenzwertes von (sin x)/x anführen zu wollen (also bedenkenlos verwenden, daß er existiert und den Wert 1 hat).
Vielleicht habe ich Dich ja falsch verstanden; aber es schien mir so, als ob Du mit Deinem einleitenden "Da brauchen wir die Überlegungen mit (sin x)/x gar nicht, sondern..." sagen wolltest, daß Du einen Weg gefunden hättest, welcher die Schwierigkeiten des Beweises, daß dieser Grenzwert gleich 1 ist, vermeiden könnte. Das wäre dann unzutreffend, und darauf wollte ich (weil es vielleicht nicht gleich auf den ersten Blick zu erkennen ist) hinweisen.
Liebe Grüße, Franz
[ Nachricht wurde editiert von fru am 01.04.2010 01:53:27 ]
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chryso
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| Beitrag No.22, eingetragen 2010-04-01
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Ich verwende faktisch den Satz, den ein Schüler vielleicht schon von der Unterstufe her kennt, dass der Umfang eines Kreises gleich dem Grenzwert des Umfangs eines eingeschriebenen 2n-Ecks ist (n->unendlich ).
Wir haben das damals - mathematisch nicht ganz sauber (wir hatten in der Unterstufe keinen Grenzwert definiert etc.)- 'gezeigt', indem wir zwei Folgen von 2n-Ecken betrachteten, die 'offensichtlich gegen den selben Wert konvergierten.
(eingeschriebenes 2n-Eck : Minorante,
umgeschriebenes 2n-Eck : Majorante)
-----------
Mir ist schon klar, dass ich mich da ein wenig drüber hinweg geschwindelt habe (aber nur ein wenig. )
Ich wollte nur sagen, dass man dieses gesonderte Problem des Grenzwertes von sinx/x nicht extra thematisieren muss.
Ein Schüler sieht bei diesem Schritt sicher kein Problem.
LG chryso
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goeba
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-01
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Hallo,
ich finde auch Chrosos Beweis sehr schön. Ich habe auch früher Pi eingeschachtelt durch ein umbeschriebenes und ein einbeschriebenes 2n-Eck.
Mittlerweile ist aber die Einführung in die Differentialrechnung nach Klasse 10 gerutscht. Die Schüler haben nun zwar mehr Wochenstunden, diese aber eher in Wahlpflichtfächern oder AGs, nicht in den Hauptfächern. In Mathematik fällt von der Stundenzahl faktisch ein ganzes Schuljahr weg, dafür kommen, vor allem in Stochastik, noch Inhalte dazu. Zusätzlich habe ich hier in Niedersachsen ca. 50 % Schüler in den Klassen sitzen, die kein gymnasiales Niveau haben.
Ich stehe massiv auf dem Standpunkt "entweder richtig oder gar nicht". Themen, bei denen ich keine Zeit mehr habe für Wiederholung und Übung, unterrichte ich dann lieber gar nicht. Daher bleibe ich bei meiner Meinung: Den Differenzenquotienten unterrichte ich exemplarisch an Funktionen, bei denen die auftretenden Grenzwerte leicht zu bestimmen sind. Wenn sich irgendwann mal wieder was ändert (ich finde z.B., dass die Lehrpläne in Bayern besser auf 12 Jahre umverteilt wurden als das in Niedersachsen der Fall war), dann mache ich das, z.B. mit Chrysos Beweis.
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Ex_Senior
| Beitrag No.24, eingetragen 2010-04-06
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Ich finde ja die hier gen. Herleitungen echt interessant. Da jedoch die Abl. so sehr am DQ ausgemacht wird, meine ich, man sollte bei sin/cos nicht zweigleisig fahren (schon gar nicht, nur um die Addth zu vermeiden).
Hier nochmal zusammengefaßt:
\light\blue Ableitung der Sinusfunktion:
\align [sin(x)]' = lim(h->0,(sin(x+h)-sin(x))/h) \textleftarrow \small \blue sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
= lim(h->0,(sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x))/h)
= lim(h->0,(cos(x)sin(h)-sin(x)*[1 - cos(h)])/h)
= cos(x) * lim(h->0,sin(h)/h) - sin(x) * lim(h->0,(1 - cos(h))/h)
N.R.: \light\blue (A) Der Grenzwert lim(h->0,sin(h)/h)
A_kleinesDreieck <= A_Kreissektor <= A_großesDreieck
\small => 1/2 sin(h) cos(h) <= \pi r^2 h/2\pi <= 1/2 r tan(h) \small |\|wobei r = 1
\small => sin(h) * cos(h) <= h <= sin(h)/cos(h)
\small => cos(h) <= h/sin(h) <= 1/cos(h)
\small => 1/cos(h) >= sin(h)/h >= cos(h)
\small <=> cos(h) <= sin(h)/h <= 1/cos(h)
\small => lim(h->0,cos(h)) <= lim(h->0,sin(h)/h) <= lim(h->0,1/cos(h))
\small => 1 <= lim(h->0,sin(h)/h) <= 1
=> \blue lim(h->0,sin(h)/h) = 1
N.R.: \light\blue (B) Der Grenzwert lim(h->0,(1 - cos(h))/h)
\small \blue cos(a+b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)
\small Für a = b = \small h/2 :
\small cos(h) = cos^2(h/2) - sin^2(h/2) |\textleftarrow \blue \small sin^2(c) + cos^2(c) = 1
\small |= (1 - sin^2(h/2)) - sin^2(h/2) = 1 - 2sin^2(h/2) = cos(h)
\small \blue => 1 - cos(h) = 2*sin^2(h/2)
\small => lim(h->0,(1 - cos(h))/h) = lim(h->0,(2*sin^2(h/2)) / h)
\small |= lim(h->0,(sin(h/2) * sin(h/2)/(h/2))) \small \darkblue\ \small \textleftarrow cases(da 0/2 = 0, ist h -> \small 0; mit h/2 -> 0 gleichbedeutend)
\small |= lim(h/2->0,sin(h/2)) * lim(h/2->0, \small (sin(h/2)/(h/2)))\darkblue\ \small \textleftarrow mit \small Grenzwert(A)
\small |= 0 * 1 \blue |= 0
=> \blue lim(h->0,(1 - cos(h))/h) = 0
(Zurück zur Ableitung)__:
\align [sin(x)]' = cos(x) lim(h->0,sin(h)/h) - sin(x) lim(h->0,(1 - cos(h))/h) \small \textleftarrow \blue cases(mit Grenzwert (A); und (B))
= cos(x) * 1 - sin(x) * 0
= cos(x)
=> \blue \big [sin(x)]' = cos(x)
So wurde das zu meiner Schulzeit hergeleitet....
[ Nachricht wurde editiert von cis am 06.04.2010 01:39:32 ]
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viertel
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 | Beitrag No.25, eingetragen 2010-04-06
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@cis
Warum mußt Du uns diese Augenschmerzen mit \small bereiten?
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Ex_Senior
| Beitrag No.26, eingetragen 2010-04-06
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\quoteon(2010-04-06 01:16 - viertel in Beitrag No. 25)
@cis
Warum mußt Du uns diese Augenschmerzen mit \small bereiten?
\quoteoff
Ach komm, bisschen Formatierung zur Hervorhebung von Hauptstrang und Nebenhandlung muß auch sein...
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Ex_Senior
| Beitrag No.27, eingetragen 2010-04-20
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Also ich plädiere weiterhin für den DQ bei ABl. von sin, cos.
Bei der Abl. e-Funktion bspw. (möglw. neuer Faden), sofern man diese über die Grenzwertdefinition kennt, steht man vor einem ähnlichen Problem (es ist wieder ein spezieller Grenzwert zu finden).
Das ist nicht schön, wenn man das mal so, mal so macht... die anderen (geom.) Möglichkeiten sind eher eine gute Ergänzung...
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FriedrichLaher
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 | Beitrag No.28, eingetragen 2012-07-05
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@chryso, #15
noch einfacher (?)
je mehr $\text{X}_*$ sich $\text{X}$ nähert und damit auch $\overline{\text{X}_*\text{X}}$ der Bogenlänge x, um so ähnlicher werden auch die 3ecke $\text{RCX},\,\text{R}_*\text{X}_*\text{X}$, somit also (sinx)' = $\overline{RX}/\overline{CX}$ = cosx
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DavidM
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 | Beitrag No.29, eingetragen 2012-07-05
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Hallo,
da ich gerade in Bayern Abitur gemacht habe, möchte auch ich mich hier äußern.
Zunächst die Herleitung der Ableitung der Sinusfunktion aus meinem Schulbuch:
\
Anwenden von sin \alpha - sin \beta = 2 cos (\alpha + \beta) / 2 * sin (\alpha - \beta) / 2:
(sin x)' = lim(h->0 ,( sin(x+h) -sin x)/h )= lim(h->0 ,( 2 cos (x+h+x) /2 * sin (x+h-x)/2) / h)
=lim(h->0, ( cos(x + h/2) * sin h/2 ) / (h/2)) = lim(h->0, cos(x + h/2) *(sin h/2) /( h/2))
Der Grenzwert des zweiten Faktors wird dann ähnlich wie in Beitrag 11 beschrieben bestimmt.
Aber noch etwas anderes: Wenn ich sage "Herleitung aus meinem Schulbuch" dann ist das durchaus so zu verstehen, dass wohl kaum ein Lehrer das im Unterricht behandelt. Und die erwähnte Beziehung fällt sowieso vom Himmel. Und das obwohl wir 4 Wochenstunden haben und der Lehrplan, soweit ich das sehe nicht umfangreicher ist, als das was Chryso für 3 Wochenstunden aufgelistet hat.
Gruß,
David
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chryso
Senior
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| Beitrag No.30, eingetragen 2012-07-05
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\quoteon(2012-07-05 08:43 - FriedrichLaher in Beitrag No. 28)
@chryso, #15
je mehr $\text{X}_*$ sich $\text{X}$ nähert und damit auch $\overline{\text{X}_*\text{X}}$ der Bogenlänge x, um so ähnlicher werden auch die 3ecke $\text{RCX},\,\text{R}_*\text{X}_*\text{X}$, somit also (sinx)' = $\overline{RX}/\overline{CX}$ = cosx
\quoteoff
Warum nähert sich X*X der Bogenlänge x, wenn sich X* dem X nähert? Soweit ich sehe, nähert es sich 0.
Der Begriff "zwei Dreiecke werden sich ähnlicher", sollte man mathematisch noch genauer fassen und welche Schlussfolgerungen man daraus ziehen kann. Mit so 'anschaulichen' Beziehungen kann man sehr leicht baden gehen.
Dass dieses Verhältnis sin' ist, müsste man auch noch irgendwo zeigen.
Da kann man aber gleich meine Beziehung mit den ähnlichen Dreiecken aus #15 verwenden.
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Ex_Senior
| Beitrag No.31, eingetragen 2012-07-05
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@DavidM: nette Variante...
\quoteon(2012-07-05 10:19 - DavidM in Beitrag No. 29)
....
Aber noch etwas anderes: Wenn ich sage "Herleitung aus meinem Schulbuch" dann ist das durchaus so zu verstehen, dass wohl kaum ein Lehrer das im Unterricht behandelt.
\quoteoff
---> Nun, zunächst ist postiv anzumerken, daß das übh. im Buch steht. Oft wird der Schüler zum Rechenroboter gemacht, der irgendwelche Aufgaben lösen soll, ohne an sowas wie Herleitungen zu denken - aber: Für mich ist es -anders als Du sagst- nicht verständlich, wieso ein Lehrer die Herleitung nicht behandeln sollte, nur weil diese schon im Buch steht. Du darfst nicht annehmen, daß -wie Du- jeder die genannte Herleitung auch verstehen wird, nur weil sie irgendwo abgedruckt ist.
\quoteon(2012-07-05 10:19 - DavidM in Beitrag No. 29)
.... Und die erwähnte Beziehung fällt sowieso vom Himmel....
\quoteoff
Welche Beziehung meinst Du?
sin(2a) - sin(2b) = 2 cos(a+b) sin(a-b) ?
--> Diese kannst Du Dir leicht aus den Additionstheoremen herleiten...
Abgesehen davon: Du sprachst vom Abitur in Bayern => Ich nehme an, das Buch ist vom bsv-Verlag. Ich bin mir fast sicher, daß dort für diese Beziehung irgendwo ein Hinweis angegeben ist ("siehe Kap. xy"), unter dem man auch dafür eine Herleitung findet. In den älteren Auflagen (kenne selbst nur jene aus den 1970-80er Jahren) war das immer so...
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DavidM
Senior 
Dabei seit: 11.06.2012
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| Beitrag No.32, eingetragen 2012-07-05
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Hallo cis,
ja genau die Gleichung meine ich. Nein und es findet sich auch kein solcher Hinweis, ist allerdings auch nicht von bsv sondern von Klett.
Gruß,
David
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Ex_Senior
| Beitrag No.33, eingetragen 2012-07-05
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\quoteon(2012-07-05 13:36 - DavidM in Beitrag No. 32)
ja genau die Gleichung meine ich. Nein und es findet sich auch kein solcher Hinweis, ist allerdings auch nicht von bsv sondern von Klett.
\quoteoff
---> Also das wundert mich schon, daß die Bayern jetzt scheints bei den Schwaben ihre Bücher kaufen. Als nächstes kaufen sie noch die Lambacher-Schweizer Werke, um endlich Mathe auf Proll-Niveau betreiben zu können
Ne also, solche Beziehungen lassen sich unproblematisch klären - z.B. auf dem MP.
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chryso
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| Beitrag No.34, eingetragen 2012-07-05
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\quoteon(2012-07-05 10:19 - DavidM in Beitrag No. 29)
Aber noch etwas anderes: Wenn ich sage "Herleitung aus meinem Schulbuch" dann ist das durchaus so zu verstehen, dass wohl kaum ein Lehrer das im Unterricht behandelt. Und die erwähnte Beziehung fällt sowieso vom Himmel.
\quoteoff
Das ist relativ einfach zu erklären.
Als Lehrer würde man eventuell recht gerne mehr an Beweisen unter die Schüler bringen. (Ich zumindest.)
Aber die mögen das überhaupt nicht.
Wenn ich etwas beweise oder eine Beziehung herleite, ist die erste Frage - noch bevor ich überhaupt richtig begonnen habe - "Kommt das zur Schularbeit?" (=Test).
Wenn ich verneine, lehnen sie sich entspannt zurück und sind nicht voll bei der Sache, bejahe ich, kommt Panik auf.
Fast alle Schüler haben viel lieber Sachen, die vom 'Himmel fallen'. (Vielleicht ist da so etwas Göttliches dabei.
@cis
Die Herleitung wird nicht deshalb nicht gemacht, weil sich ein Lehrer erwartet, die Schüler würden sich das selbst im Buch anschauen (deine Vermutung klingt fast schon nach einer Stilblüte , für wie weltfern hältst du Lehrer?  ), sondern weil bei der geringen Stundenanzahl Abstriche gemacht werden müssen.
Es ist ja nicht so, dass eine einmalige Erklärung reichen würde.
Damit es auch die Schwächeren verstehen, müsstest du das Problem von mehreren Seiten beleuchten und Übungen dazu selbständig machen lassen.
Z.B. dass Wurzel(5) irrational ist in Analogie zum Beweis für Wurzel(2).
Unterricht in der Schule ist nicht wie eine Vorlesung auf der Uni.
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Zetavonzwei
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 | Beitrag No.35, eingetragen 2012-07-05
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Naja, Beweise werden bei mir im Kurs kaum behandelt...
Kommentar des Lehrers dazu: "Wen es interessiert, der kann es ja nachlesen"
Tatsächlich hat er (leider) damit recht: Diejenigen, die es verstehen und die es interessieren würde (von den 24 im Kurs 2 Personen), können das auch ohne Anleitung und für die anderen braucht er die Zeit, um "Standardaufgaben" zu üben, damit die wenigstens 4 Punkte schaffen (In der Klausur im ersten Halbjahr, die eigentlich gar keinen Anspruch hatte, gab es 2*15, 5 im Bereich von 7-12 und die Hälfte war schlechter als 4 Punkte).
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DavidM
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Dabei seit: 11.06.2012
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| Beitrag No.36, eingetragen 2012-07-05
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Als kleine Ergänzung noch:
Seit letztem Jahr (seit Einführung des G8) müssen in Bayern alle Gymnasiasten ein zentral gestelltes schriftliches Abitur in Mathematik machen, den Lehrern bleibt also in der Oberstufe praktisch kein Raum, Schwerpunkte zu setzen, weil sonst anderes zu kurz käme.
@cis
Es handelt sich bei unserem Buch tatsächlich um die Bayern-Ausgabe des Lambacher-Schweizer
Gruß,
David
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.34 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.37, eingetragen 2012-07-05
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@Chryso: Ich seh das anders, was daran liegen mag, daß ich ich die Oberstufe an Fachoberschulen gemacht habe (erst FH im Rahmen einer Ausbildung, dann Abi). Dort wurde -mit, je nach Lehrer, wenigen Aussnahmen- alles hergeleitet in Fächern wie Mathe, Physik, Elektrotechnik.
Auf die Frage "Braucht man die Herleitung in der Klassenarbeit?" kam dann meist "Wenn, dann etwa in Form einer Verständnisfrage" oder ggf. besser "Nein, aber man versteht die Sachen immer erst dann vollständig, wenn man die Herleitung verstanden hat...".
Der Schulstoff ist schon so ausgewählt, daß man auch alles herleiten kann. Eher an der Uni geht das mitunter nicht, z.B. dann, wenn die Herleitung 30 Seiten / 4 eigene Vorlesungen bräuchte - dort muß dann gelegentlich auf die Literatur verwiesen werden.
[ Nachricht wurde editiert von cis am 05.07.2012 15:16:33 ]
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Zetavonzwei
Senior
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Wohnort: Bamberg, Deutschland
| Beitrag No.38, eingetragen 2012-07-05
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\quoteon(2012-07-05 14:37 - DavidM in Beitrag No. 36)
Als kleine Ergänzung noch:
Seit letztem Jahr (seit Einführung des G8) müssen in Bayern alle Gymnasiasten ein zentral gestelltes schriftliches Abitur in Mathematik machen, den Lehrern bleibt also in der Oberstufe praktisch kein Raum, Schwerpunkte zu setzen, weil sonst anderes zu kurz käme.
\quoteoff
Seltsamerweise gibt es bei mir an der Schule (auch bayerisches Gymnasium) bei Klausuren trotzdem einen enormen Unterschied im Anspruch. Manche stellen (nur!) leichte Standardaufgaben (dazu die Frage von engagierteren Lehrern: "Wie sollen die Schüler das Abi schaffen?"), andere vor allem Denkaufgaben.
Und vor Allem die Lehrer, die leichte Standardaufgaben stellen und auch nur diese unterrichten, haben Schwierigkeiten mit der Stoffmenge. Es scheint also schon die Möglichkeit zu geben, Akzente zu setzen, aber viele haben nicht den Mut dazu, aus Angst, den Stoff nicht zu schaffen.
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chryso
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| Beitrag No.39, eingetragen 2012-07-05
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Ich bin Gegner des Zentralabiturs. Denn - wie ihr schon sagt - fehlt dem Lehrer dadurch der Freiraum, Akzente zu setzen.
Das läuft eher auf einen Drill von Standardaufgaben und -kompetenzen hinaus.
Wesentlich ist nicht mehr, was gute Schüler alles können, sondern wie die Klasse beim Abi abschneiden wird.
\quoteon(2012-07-05 14:32 - Zetavonzwei in Beitrag No. 35)
Naja, Beweise werden bei mir im Kurs kaum behandelt...
Kommentar des Lehrers dazu: "Wen es interessiert, der kann es ja nachlesen"
\quoteoff
Wenn Schüler von SICH AUS Interesse an einem Beweis bekunden, dann mache ich den auch, schlimmstenfalls für die zwei in der Pause oder nach dem Unterricht. (Ob sie es dann noch wollen?)
Aber meine Erfahrung lehrt mich, dass auch gute Schüler das vom Himmel Fallende bevorzugen. sin'(x)= cos(x)
Das ist halt so. Gottgegeben.
An irgend etwas will man doch noch glauben dürfen.
Wenn schon nicht in Religion, so dem Mathelehrer.
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