| |
| Autor |
  Die Eulersche Zahl e |
|
Newone
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.11.2008
Mitteilungen: 78
 |  Themenstart: 2010-04-07
|
Hallo zusammen,
ich habe eine vielleicht etwas ungewöhnlich, weil für einige evtl. banale Frage....sie stammt aus dem Übungsbetrieb für Mathe-Didaktik, ist jedoch (denke ich) Gegenstand der Analysis und daher der Post hier.
Die Aufgabe lautete damals:
Beschreiben Sie so einfach wie möglich, was die Eulersche Zahl e ist.
Aufgrund des Wortes einfach habe ich damals auf Summendarstellung etc vezichtet und mich mit folgendem Satz versucht:
Die Zahl e ist die Zahl für die gilt \ (e^x)´=e^x
Das fand mein Korrektor irgendwie gar nicht so cool, er/sie hält das nämlich nicht für ne Erklärung.
Daher frag ich mal in die Runde: Wie sähe eurerseits eine Antwort auf so etwas aus?
Bin für Diskussionen und Anregungen dankbar.
Gruß
Newone
|
 Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior 
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2010-04-07
|
Profil
|
Gockel
Senior 
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
 | Beitrag No.2, eingetragen 2010-04-07
|
Hi.
Was "einfach" ist, hängt natürlich vom Standpunkt ab. Was eine "Erklärung" ist, auch. Ich finde deine Charakterisierung von e nicht schlecht. Auf jeden Fall ist sie schön kurz. Sie setzt aber den Ableitungsbegriff voraus.
Außerdem ist anhand deiner Beschreibung nicht offensichtlich, ob so eine Zahl überhaupt existiert und ggf. ob sie eindeutig bestimmt ist. Und man hat auch so ad hoc keine Handhabe, um sich eine numerische Darstellung dieser Zahl zu beschaffen.
Vielleicht wollte dein Korrektor eher die Definition
\ee:=lim(n\to\inf,(1+1/n)^n)
haben. Das setzt weniger Stoff voraus, man muss nur Limites kennen, keine Ableitungen. Es liefert auch eine halbwegs praktikable Berechnungsmethode für die Zahl. Man muss sich aber auch bei dieser Definition natürlich davon überzeugen, dass dieser Limes überhaupt existiert.
Wieso diese Charakterisierung auch als "Erklärung" dienen kann: Dieser Grenzprozess hat eine sinnvolle, praktische Interpretation, die man als "Erklärung" heranziehen kann: Wenn man ein Guthaben irgendwie verzinst, dann kann der Zins ja unterschiedlich häufig ausgezahlt werden, z.B. jährlich, halbjährlich, vierteljährlich etc. Wenn er nun halbjährlich ausgezahlt wird, dann kannst du die Zinsen vom ersten halben Jahr wieder einzahlen und im zweiten halben Jahr Zinseszins kassieren. Wenn du das vierteljährlich machst, bekommst du noch mehr. Es stellt sich jetzt die Frage, ob man dadurch beliebige Reichtümer anhäufen kann.
Wenn man sich jetzt genau durchdenkt, was bei einer Einteilung des Jahres in n Zeitabschnitt passiert und man an jedem Stichtag die bis dahin erhaltenen Zinsen wieder einzahlt, dann kommt man darauf, dass man am Ende des Jahres exakt das (1+x/n)^n -fache des ursprünglichen Betrags hat. Dabei ist x der Jahreszinssatz (daher x/n für ein n-tel der Zeit).
Die Eulersche Zahl sagt dir nun, dass es selbst bei 100% Zinsen (x=1) und selbst mikrosekündlicher Wiederholung der Zinsaktion keine beliebige hohen Gewinne geben kann. Man kann allerhöchstens eben das 2.718...fache seines Einsatzes am Ende des Jahres erhalten.
mfg Gockel.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Didaktik der Mathematik' von Gockel]
[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 07.04.2010 18:55:53 ]
|
Profil
|
Newone
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.11.2008
Mitteilungen: 78
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-07
|
Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort.
Diese Definitionen und Argumente sowie Eigenschaften sind mir durchaus bekannt. Aber ich erkenne darin beileibe keine einfache Erklärung.
Da find ich meinen "Satz" schon einfacher und mich würden daher die Ansätze anderer interessieren.
Beispielsweise die Definition mit der Fakultät ist doch auch eher ne Aussage á la: Das ist die Zahl die man näherungsweise erhält, wenn man lange genug diese Fakultätsrechnung betreibt.
Ob das als eine ausreichendere Erklärung erachtet werden würde weiß ich eben nicht.
gruß
Newone
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
|
Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.4, eingetragen 2010-04-07
|
Hallo, der Satz
"Beschreiben Sie so einfach wie möglich, was die Eulersche Zahl e ist."
ist eine Aufgabenstellung, die man so nicht erfüllen bzw. schwer erfüllen kann, da darin die Worte "so einfach wie möglich" für jeden unterschiedlich bewertbar sind.
Viele Grüße,Sonnhard.
|
Profil
|
Rebecca
Senior
Dabei seit: 18.07.2002
Mitteilungen: 6459
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.5, eingetragen 2010-04-07
|
Hi Newone,
ich weiß nicht, warum dein Korrektor deine Erklärung abgelehnt hat. Ich finde sie gut.
Aber vielleicht findet er diese Erklärung aus didaktischen Gründen besser:
e ist die einzige positive Zahl, für die gilt:
e^x>=1+x für alle x\el\ \IR
Ergänzungen zu dieser Definition findest du hier:
www.mathe-online.at/mathint/log/i_Exkurs_e.html
Gruß
Rebecca
|
Profil
|
Newone
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.11.2008
Mitteilungen: 78
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-07
|
Hallo
@Gockel: Deine Begründung, dass man für deine Erklärung nicht den Ableitungsbegriff benötigt kann ich nachvollziehen. Wie du aber selber auch sagst, ist es dann ebenso bedenklich die Existenz des Grenzwertes vorrauszusetzen. Deine Erklärung ist (für mich) sehr anschaulich. Ob diese so weitgehend gefordert wäre...naja lieber zu viel als zu wenig.
@ Dr_Sonnhard_graubner: Das hab ich auf diversen Übungsblättern ebenfalls angemerkt....In der kommenden Examensklausur sollte ich mir das wohl verkneifen 
Gruß
newone
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
|
Profil
|
Gockel
Senior 
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
| Beitrag No.7, eingetragen 2010-04-07
|
Man muss ja nichts voraussetzen. Das lässt sich alles auch beweisen. Die Frage ist, wie aufwändig das ist.
mfg Gockel.
|
Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.8, eingetragen 2010-04-07
|
Hallo Rebecca, ob exp(x)>=x+1 für alle reellen x so einfach wie möglich ist? Ich glaube dieser Herr sollte mal den Rahmen seiner Fragestellung besser abstecken lernen.
Viele Grüße,Sonnhard.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
|
Profil
|
moudi
Senior 
Dabei seit: 29.12.2005
Mitteilungen: 247
Wohnort: Zürich, Schweiz
 | Beitrag No.9, eingetragen 2010-04-07
|
Hallo Newone
Hier meine Lieblingseigenschaft. Die Zahl e ist diejenige Basis b fuer die Exponentialfunktion y=b^x, deren Graph die y-Achse in einem 45°-Winkel schneidet.
mfG Moudi
|
Profil
|
goeba
Senior
Dabei seit: 24.03.2006
Mitteilungen: 1364
Wohnort: Göttingen
| Beitrag No.10, eingetragen 2010-04-07
|
Hallo,
im schulischen Kontext finde ich die Definition über die Ableitung am besten. Denn die eulersche Zahl braucht man erst im Zusammenhang mit der Ableitung. Für exponentielles Wachstum braucht man die Basis e nicht.
Ich mache das mit meinen Schülern üblicherweise so:
Gesucht ist eine Funktion, die gleich ihrer eigenen Ableitung ist.
Dann kommt jemand auf f(x) = 0. Ok, das ist richtig, aber langweilig. Wir verlangen also zusätzlich f(0)=1.
Dann nähert man die Funktion über einen Streckenzug an. Die erste Strecke hat die Steigung 1. Man kann also gleich eine Näherung skizzieren.
Im nächsten schritt berechnet man die neue Steigung, wenn man z.B. immer 1/10 nach rechts geht. Schlaue Schüler merken dann, dass man immer die gleiche Rechnung hat, man kommt auf eine rekursive Folge. Diese lässt sich durch ausklammern aber explizit machen, und für f(1) kommt man dann genau auf die Folge, die Gockel genannt hat.
Dass diese Folge konvergiert, kann man an der Schule nicht beweisen, zumindest nicht mehr mit den Mitteln, die man heutzutage üblicherweise zur Verfügung hat.
Dadurch, dass hier zwischendrin viel mit konkreten Zahlen gerechnet wird und auch gezeichnet wird, bekommen hier auch schwächere Schüler etwas sinnvolles heraus, z.B. eine Näherung für e mit n=10.
LG
Andreas
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11618
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.11, eingetragen 2010-04-07
|
Hallo,
im mathematischen Sinn mag ja die Definition über die Ableitung formal die beste sein. Aber didaktisch gesehen ist der Ansatz von Gockel der einzig sinnvolle. Die Zahl e ist eben gerade die Konstante, die Wachstum (bzw das Gegenteil davon) beschreibt. Mathematisch ist der Hintergrund natürlich die Gleichheit von Funktion und Ableitung, aber der Bedeutung in der realen Welt ist im Unterricht stets der Vorzug zu geben.
Das heißt: zuerst die Erklärung so wie Gockel sie vorgeschlagen hat und irgendwann später, wenn die Schüler soweit sind, die mathematische Erklärung zu dieser Eigenschaft von e bzgl des Wachstums.
(Das bezieht sich natürlich auf Schüler, im Studium sollte man so nicht vorgehen)
Gruß Wauzi
|
Profil
|
chryso
Senior
Dabei seit: 07.02.2009
Mitteilungen: 10529
Wohnort: Österreich
 | Beitrag No.12, eingetragen 2010-04-08
|
\quoteon(2010-04-07 20:21 - goeba in Beitrag No. 10)
Dass diese Folge konvergiert, kann man an der Schule nicht beweisen, zumindest nicht mehr mit den Mitteln, die man heutzutage üblicherweise zur Verfügung hat.
\quoteoff
Soweit ich mich an meine Schulzeit erinnere, haben wir in der Schule bewiesen, dass die Folge (1+1/n)n
a) monoton steigend ist
(Das lässt sich ja auch leicht über die 'Verzinsung' ersehen. Jeder zusätzliche Termin für eine Zinsauszahlung erhöht die Effektivverzinsung.)
b) <3 ist
Ich schreibe das jetzt her, ohne mir zu überlegen, ob das überhaupt möglich war, aber ich habe das so in Erinnerung.
----------
Eine weitere Möglichkeit der Definition von e wäre die Definition über die Potenzreihe.
LG chryso
--------------------
|
Profil
|
lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11464
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.13, eingetragen 2010-04-08
|
Hallo
auch ich finde deine Darstellung von e mit der darstellung die einfachste. e kommt in der Schule auch sinnvoll nicht vor den ableitungen vor. wenn man den Sifferenzenquotienten für a^x bildet,bekommt man a^x*lim(h->0,(a^h -1)/h)
wenn man fordert, dass der GW existiert, kann man experimentieren und finden, er hngt von a ab, e ist dann die Zahl, für die er 1 ist.
bei deiner def. fehlt noch f'=f und f(0)=1 dann kann man auch leicht, wie Goeba direkt auf dei naherungen für f(1)=e als (1+1/n)^n kommen.
Da man ein differenzierbares f verlangt hat, ist die existenz des GW nicht so schwer.
Vielleicht fehlt deinem Tutor einfach der Hinweis dass man auf die Weise andere Darstellungen von e wie obige oder später die Taylorreihe direkt findet.
bis dann lula
|
Profil
|
cow_gone_mad
Senior
Dabei seit: 11.01.2004
Mitteilungen: 6651
 | Beitrag No.14, eingetragen 2010-04-08
|
Definiere eine Funktion f(x) = int_1^x 1/t dt. Diese Funktion ist monoton steigend und f(1) = 0. Definiere e als die eindeutige Loesung von f(e) = 1. Damit das wohldefiniert ist, muss man noch zeigen, dass f(x) \geq 1 fuer ein x. Aber das folgt leicht aus 1/2 + 1/3 + 1/4 > 1.
Ausserdem definiert man so nebenher den Logarithmus und die Exponentialfunktion! Also drei Fliegen mit einer Klappe geschlagen ...
LG, cow_
Edit: Man zeigt auch noch eine wichtige Methode Integrale nach unten abzuschaetzen. Also sind es sogar 4 Fliegen.
[ Nachricht wurde editiert von cow_gone_mad am 08.04.2010 05:49:50 ]
|
Profil
|
Newone
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.11.2008
Mitteilungen: 78
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-08
|
Hallo zusammen,
vielen Dank für die vielen und sehr aufschlussreichen Antworten. Sind ja durchaus viele dabei, die gleichzeitig eine mögliche Einführung in der Schule betrachten und die ich mir dadurch sicherlich mal merken sollte.
Auch schön, dass meine ursprüngliche Erklärung hier nicht auf ganz so viel Ablehnung stößt wie bei meinem Korrektor :-)
Persönlich finde ich nach den vielen Möglichkeiten eine Kombination sehr sinnvoll und denke auch, dass dies etwas ist, was den tutor zufrieden stellen sollte.
Beispielsweise in etwa so:
\
Die Zahl e ist eine irrationale und sogar transzendente Zahl, die als Basis einer Exponentialfunktion die Eigenschaften
a) (e^x)'= e^x und somit
b) an der Stelle x=0 die Steigung 1 (entspricht 45°)
hat.
Sie ist definiert durch:
e := lim(n->\inf,(1+ 1/n)^n) und ist näherungsweise 2,....
So hat man ein paar Eigenschaften mit untergebracht und ist trotzdem noch recht einfach denke ich. Auch wenn natürlich nicht alles drin steckt.
Danke nochmals für eure Antworten.
Gruß
newone
|
Profil
| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
chryso
Senior
Dabei seit: 07.02.2009
Mitteilungen: 10529
Wohnort: Österreich
| Beitrag No.16, eingetragen 2010-04-08
|
Bei einer Erklärung würde ich zuerst mit der Definition anfangen und erst dann Eigenschaften angeben.
Weiters finde ich es auch noch sinnvoll, e als Grenzwert der Reihe anzuführen:
e=lim(n->\inf,sum(1/k!,k=0,n))
Hier sieht man den Zusammenhang mit sin und cos und kann auf die Potenz eix eingehen
**************
Ich versuchte nochmals zu rekapitulieren, wie wir die Konvergenz von a_n =(1+1/n)^n in der Schule nachgewiesen haben könnten.
Wie gesagt, ergibt sich durch die Herleitung über die Verzinsung, dass a_n monoton steigend ist.
Vielleicht ist das nicht ganz exakt, aber für Schüler einleuchtend, dass man am Ende des Jahres desto mehr herausbekommt, je öfter die anteiligen Zinsen zum Kapital geschlagen und mitverzinst werden.
[Wenn man -unzulässigerweise- nur die a_(2^n) betrachtet, wäre die Monotonie für diese Teilfolge auch sehr leicht direkt nachweisbar.]
a_n <3 kann man über die Binomialkoeffizienten zeigen.
(1+1/n)^n = 1 + (n;1) 1/n + (n;2) 1/n^2 + (n;3) 1/n^3 + (n;4) 1/n^4 + ... + (n;n)*1/n^n =
= 1+1 + (n*(n-1))/(1*2*n^2) + (n*(n-1)*(n-2))/(1*2*3*n^3)+ ....<
< 1+1+1/2+1/3! +1/4! + ... 1/n! < 1+1+ 1/2 +1/4 + ... 1/2^n <3
Dass diese vorletzte Ungleichung gilt, ist klar, denn aus
1/k < 1/t => 1/(k*n)<1/(t*2) wenn n >= 2 ist.
****************
LG chryso
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 10.04.2010 20:08:05 ]
|
Profil
|
hugoles
Senior 
Dabei seit: 27.05.2004
Mitteilungen: 4844
Wohnort: Ba-Wü, aus einem Albdorf
 | Beitrag No.17, eingetragen 2010-04-10
|
Ich zeige für die Folge e_n=(1+1/n)^n, dass e_n/e_(n-1) > 1 für alle n.
Dazu braucht man die Ungleichung für Bernoulli, die wir später im Schuljahr dann mit der vollständigen Induktion bestätigen.
Für die Beschränktheit schätzen wir e_n ab durch eine Folge f_n = (1+1/n)^(n+1)
f_n ist dann monoton fallend \(was man ähnlich zur Monotonie von e_n zeigen könnte, aber nicht mehr machen) und f_n > e_n für alle n
Dann steht ja alles da: 2 < e_n < f_n < 4
Damit ist e_n konvergent.
[ Nachricht wurde editiert von hugoles am 10.04.2010 19:46:34 ]
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.18, eingetragen 2010-04-20
|
Profil
|
| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
