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  Integralgleichung zur Bestimmung der oberen Grenze lösen |
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Hieronymus91
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 |  Themenstart: 2010-04-14
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[Dieser Thread wurde abgespalten von [diesem Thread] von SchuBi]
Hallo!
Ich hoffe ich mach hier nichts falsch, wenn ich meinen etwas älteren Beitrag herauskrame, da es sich um das gleiche Problem handelt.
Ich habe hier eine Integral-Gleichung, wo die obere Grenze berechnet werden muss. Mein Rechner kann das nicht (oder ich weiß nicht, wie ich meine Rechner nutzen kann). Per Hand komme ich auch nicht wirklich weiter- weil das zu lange dauert? Habt ihr vllt. eine Idee? Ist eine Abi-Aufgabe.
int(((x*(6-x))/(-2*x+16) - 0.9),x,3,m_3)=0.059852
Wenn ich die Stammfkt. bilden lasse, bekomme ich folgendes raus:
(32*ln(abs(x-8))+x*(x+4))/4
Und ich glaube der Rechner hat mit diesem Term ein Problem: ln(abs(x-8))
Setze ich die obere u. untere Grennze ein u. forme das bisschen um:
32*ln(abs(m_3-8))+(m_3)^2+4*m_3=18.3649
Was kann ich hier noch machen? Oder gibt es eine schnellere Variante. Ich muss m_3 nur bestimmen, ob mit dem Taschenrechner oder schriftlich...
Ich danke euch im voraus!
[ Nachricht wurde editiert von fed am 14.04.2010 16:22:38 ]
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LiaP
Neu 
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2010-04-14
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Von deiner zweiten Frage habeich leider keine Ahnung, abernochmal zu deiner ersten: Im Zentralabitur 2010 heißt berechnen mit Taschenrechner, sonst steht da algebraisch oder per Hand. Wenn du das schon wusstest, ignorier das hier einfach!
Und viel Glück beim Mathe-Abi!
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Hieronymus91
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-14
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Hallo und Herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten erst mal! 
Ich bin mir bewusst das dort explizit stehen wird, das ich den CAS nicht nutzen soll, doch mein Problem ist ja was anderes:
Ich komme weder mit dem CAS, noch per Hand auf eine Lösung 
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chryso
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2010-04-14
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Hallo Hironymus!
Stell doch die Aufgabe nochmals in einem neuen Thread oder bitte einen Moderator, die neue Frage abzuspalten.
1) Diese Aufgabe ist ganz etwas anderes.
2) Ein langer Thread vor der Frage hält meist jemanden davon ab, auf eine Frage zu antworten, da er sich davor ja alles durchlesen sollte.
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Was macht dein CAS bei dieser Eingabe?
Das Integral könntest mit Substitution y=x-8 lösen.
LG c.
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Hieronymus91
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15
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Vielen Dank für die Infos, werde ich mir merken!
Mein CAS gibt mir, wenn ich die Gleichung von oben mit dem Befehl 'solve' eintippe, den Fehler "Bereichsfehler" und löst sie nicht. Hab den TI-NSpire CAS...
Aber ich verstehe nicht wie du darauf kommst, dass diese Aufgabe was total anderes ist. Hier gehts doch auch um die Umformung zur oberen Grenze mit Hilfe einer Gleichung.
Das mit der Substitution ist mir nicht eingefallen, werde ich dann mal morgen probieren.
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chryso
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| Beitrag No.5, eingetragen 2010-04-15
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Hast du versucht, die Funktion einmal zu zeichnen?
Die Funktion hat bei x=3 und x=4.8 eine Nullstelle, dazwischen ist sie positiv und hat das Integral 0.12
Warum du einen "Bereichsfehler" hast, kann folgende Ursache haben:
Vielleicht hast du dich bei der Zahl, die hinter dem = steht, geirrt.
Ein Wert, der größer ist als 0.12, kann nicht herauskommen.
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Als Stammfunktion bekamst du etwas heraus, wo deine obere Grenze m sowohl in ln als auch m2 und m vorkommen.
Das heißt, die Funktion kann nicht elementar, sondern nur mit einer Näherungsrechnung (Newton oder Intervallschachtelung oder CAS) berechnet werden.
LG chryso
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Hieronymus91
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15
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Also ich hab das mal durch probieren gelöst: Für m=3.9 bekam ich eine Fläche A=0.0549 und für m=4 eine Fläche A=0.0649. Demnach muss m zwischen 3.9 und 4.0 sein, also m=3.95. Dadurch bekam ich auch die Fläche von A=0.059 also ca. 0.06 was ja auch gesucht ist.
1.) Kann ich immer davon ausgehen, dass wenn so etwas "gemischtes" vorkommt, nicht elementar lösbar ist?
2.) Kann ich die Gleichung dann numerisch lösen?
3.)Was ist der Unterschied zwischen einer Numerischen Lösung (dazu existiert in unserem CAS der Befehl 'nsolve') und einer approxiemierten Lösung (allg. Einstellung des CAS: entweder alles exakt, autom, oder approx. lösen)? Stehen beide nicht für eine Näherungslösung?
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Dr_Sonnhard_Graubner
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2010-04-15
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Hallo, schreibe uns dochmal die vollständige Aufgabe hin.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Hieronymus91
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15
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Hallo Dr_Sonnhard,
ich danke dir für deine Bemühung, aber die Lösung m=3.95 ist ja korrekt, so stehts ja auch im Lösungsbuch. Und ich möchte mich auch nicht zu sehr mit der Aufgabe befassen, so 10 std. vor der Abi-Klausur.
Mir gehts jetzt eig. nur um die 3 Fragen im Post No.6, in erster Linie um die ersten beiden. Dann könnte ich morgen in der Abi-Klausur besser beurteilen, wie ich an die Aufgabe rangehen kann/soll.
[ Nachricht wurde editiert von Hieronymus91 am 15.04.2010 19:15:18 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.9, eingetragen 2010-04-15
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Hallo, was ist etwas gemischtes? Kannst du mal bitte konkreter werden?
Viele Grüße,Sonnhard.
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Hieronymus91
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15
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Hallo,
\quoteon(2010-04-15 01:00 - chryso in Beitrag No. 5)
Als Stammfunktion bekamst du etwas heraus, wo deine obere Grenze m sowohl in ln als auch m2 und m vorkommen.\quoteoff -> das meine ich mit "gemischtes"
\quoteon
Das heißt, die Funktion kann nicht elementar, sondern nur mit einer Näherungsrechnung (Newton oder Intervallschachtelung oder CAS) berechnet werden.
\quoteoff -> gilt das dann immer, wenn das da oben gilt?
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chryso
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| Beitrag No.11, eingetragen 2010-04-15
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Wenn du eine "gemischte" Summe oder Differenz hast, also z.B.
\
e^(2x)-10x =0
ln(x^2) +5x=0
sin(x)+x^2-3x=0 (x im Bogenmaß)
ist das nahezu immer näherungsweise zu lösen.
Also entweder mit Intervallschachtelung oder mit dem Newtonschen Näherungsverfahren oder mit CAS.
Anders verhält es sich bei gemischten Produkten (genauere Anleitung kommt gleich)
LG chryso
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
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chryso
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| Beitrag No.12, eingetragen 2010-04-15
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So, nun zu den "gemischten" Produkten:
Z.B. (x-3)*x*e^(2-x)*ln(x^2) = 0
Hier überlegst du dir, dass ein Produkt genau dann =0 ist, wenn einer der Faktoren =0 ist.
Davor ist es aber noch notwendig, die Definitionsmenge zu bestimmen.
Def=\IR\\{0} , da ln nur für positive Argumente definiert ist, und x^2 >0 für alle x außer 0
1.Faktor: x-3=0 => x_1 = 3
2.Faktor: x=0 => keine Nullstelle, da 0 nicht in der Definitionsmenge war.
3. Faktor: e^(2-x)=0
e^x ist auf ganz \IR definiert und immer positiv. Deshalb habe ich hier keine reelle Nullstelle
4. Faktor: ln(x^2)=0
e^(ln(x^2)) = e^0
x^2 = 1
x_2 = +1 und x_3 = -1
\IR
LG chryso
Viel Glück beim Abi! 
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Hieronymus91
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15
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OK! Damit hat sich das erledigt, danke dir!
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chryso
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| Beitrag No.14, eingetragen 2010-04-15
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\quoteon(2010-04-15 13:38 - Hieronymus91 in Beitrag No. 6)
1.) Kann ich immer davon ausgehen, dass wenn so etwas "Gemischtes" vorkommt, nicht elementar lösbar ist?
2.) Kann ich die Gleichung dann numerisch lösen?
3.)Was ist der Unterschied zwischen einer Numerischen Lösung (dazu existiert in unserem CAS der Befehl 'nsolve') und einer approxiemierten Lösung (allg. Einstellung des CAS: entweder alles exakt, autom, oder approx. lösen)? Stehen beide nicht für eine Näherungslösung?
\quoteoff
Zuerst:
Du musst die Gelichung so umformen, dass ...= 0 steht
1. ) wie gesagt, bei Summen und Differenzen ist es i.A. nicht elementar lösbar.
Es gibt natürlich Ausnahmen:
x+ln(x)-1=0
Hier sieht man, dass x=1 eine Lösung ist.
Def= IR+
Da die erste Ableitung 1+1/x auf ganz IR+ positiv ist, ist die Funktion f(x)=x+ln(x)-1 streng monoton wachsend, somit ist x=1 die einzige Nullstelle.
2.) Wenn es überhaupt eine reelle Lösung gibt, ja.
Nicht jede Funktion hat eine reele Nullstelle, z.B. ln(x)-x=0 liefert dir keine reelle Lösung.
3.) Hier kann ich nur spekulieren:
Manches kann man nur numerisch lösen.
Manches aber lässt sich exakt UND numerisch lösen, z.B. die Gleichung
x^2 +3x-5=0
exakt: x = -3/2 +-sqrt(29)/2
numerisch: x_1 = -4.192582403 und x_2 = 1.192582403
Versuch einmal an dieser Gleichung, welche Lösungen dir dein Gerät bei welcher Einstellung auswirft.
LG chryso
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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Hieronymus91
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-15
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Hmmm...
Also egal auf welche Einstellung ich den Rechner stelle (exakt, approx oder autom.) lösbar mit dem Befehl 'solve' ist es nicht.
Wenn ich aber den Befehl 'nsolve' nutze (was bei mir eine numerische Lösung berechnet) bekomme ich was falsches raus. Aber ist ja egal, mal gucken wie es morgenn wird.  Ein schlechtes Gefühl hab ich ja nicht.
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