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Lineare Algebra » Determinanten » Determinante
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Universität/Hochschule Determinante
Puenktchen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-06-25


Berechne die Derterminante von A=(aij) Elemenr M(nxn)mit

aij:= 1   falls i+j=n+1
       0   sonst



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-06-25


Hi Puenktchen,

erstmal muß ich die Definition der Matrix verstehen.
Ich schreibe sie mir für n=3 genau hin:

n=3 => n+1 = 4
( 0 0 0 1 )
( 0 0 1 0 )
( 0 1 0 0 )
( 1 0 0 0 )

Das sieht doch sehr übersichtlich aus.
Die Determinante berechnet man, indem man nach einer Zeile entwickelt. (Spalte geht auch, das ist egal).

Wie es aussieht, ist der Wert der Determinaten 1 oder -1.
Um mich da nicht zu vertun, will ich es genau angehen.

Ich definiere An als Bezeichnung für die nxn Matrix dieser Bauart.
Und mit An\ij bezeichne ich die Matrix, die sich aus An ergibt, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.

Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ergibt sich dann nur folgendes:

  det(An) = (-1)n+1 * det(An\ij)

Der Faktor (-1)n+1 ergibt sich aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz.

Es ist aber An\ij = An-1.
Folglich:

  det(An) = (-1)n+1 * det(An-1)

Das ist eine Rekursion, und um sie anwenden zu können, berechne ich det(A1), was einfach 1 ergibt.

Dann ist

  det(A2) = (-1)3 * 1 = -1
  det(A3) = (-1)4 * (-1) = -1
  det(A4) = (-1)5 * (-1) = 1
  det(A5) = (-1)6 * 1 = 1
  det(A6) = (-1)7 * 1 = -1

Die Antwort auf die Frage lautet also:
  det(An) = (-1)[n/2]

[.] ist die Gauss-Klammer, sie steht für die größte ganze Zahl 'kleiner gleich'.

Zur vollständigen Lösung gehört nun noch ein Induktionsbeweis!
Am einfachsten geht das auf folgende Art:
Induktionsanfang: A(1) und A(2) gilt (wie oben zu sehen)
Induktionsbehauptung: A(n) => A(n+2)

Gruß
Matroid 



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