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  Halbe Kreisfläche mittels Integral berechnen |
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musclecar
Ehemals Aktiv 
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Wohnort: Rheinland-Pfalz
 |  Themenstart: 2010-05-12
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Hallo,
ich habe beim Stöbern in meinen Schulordnern, ein Aufgabeblatt gefunden und hab es mal aus "Spaß" angefangen zu rechnen und komme da, bei einer eigentlich simplen Aufgabe nicht weiter.
Und zwar ist dort ein Koordinatensystem mit einem halben Kreis gezeichnet. Der Mittelpunkt von dem Kreis ist im Urpsrung. Es ist aber nur die Hälfte vom Kreis gezeichnet. Er hat den Radius r und es ist der Winkel fi/phi eingezeichnet. Er wird von der negativen x-Achse bis zum Radius gemessen. Sprich gegen den Uhrzeigersinn. Hoffe das ist verständlich.
So dann hab ich angefangen zu rechnen und zwar folgt:
A=Fäche des Halbkreises
A=int(,A,r,-r) mit dA=-r*d\phi*dr
=int(,,r,-r) int(-r,,0,\pi) dr d\phi
=int(,,r,-r)-r*stammf(\phi,0,\pi) dr
=int(,,r,-r)-r*\pi dr
=stammf(-1/2*r^2*\pi,r,-r)
=-1/2*(-r)^2*\pi - (-1/2*r^2*\pi
=-1/2*(r)^2*\pi + (1/2*r^2*\pi
=0
Aber rauskommen muss ja, A= -(\pi*r^2)/2
Wo liegt mein Fehler? Hab ich ein Fehler bei den Grenzen gemacht, oder vielleicht mein dA falsch aufgestellt?Ich seh grad den Wald vor lauter Bäumen nicht.
[ Nachricht wurde editiert von musclecar am 12.05.2010 20:11:36 ]
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.1, eingetragen 2010-05-12
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Hi,
der Fehler ist bloss, dass das Integral von 0 bis r laufen sollte.
Wenn du es aus der Schule hast, war wahrscheinlich
\
int(\wurzel(r^2-x^2),x,-r,r)
gemeint.
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ElMachete
Senior
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Mitteilungen: 727
| Beitrag No.2, eingetragen 2010-05-12
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Hey musclecar
Dass das Integral welches du notiert hast zu Null wird ist offensichtlich. Abgesehen davon dass ich aus deiner Beschreibung des Kreises (es soll wohl ein Halbkreis mit einer gewissen Orientierung darstellen) stimmen die Integrationsgrenzen für dr nicht - siehe Polarkoordinaten.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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musclecar
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2010-05-12
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Hallo,
also ich habe keine Lösung zu der Aufgabe. Das Aufgabenblatt haben wir mal bekommen zum üben, und diese Blatt hab ich rausgekrammt und bin auf diese Aufgabe gestoßen. Versteh aber noch nicht ganz, wo mein Fehler liegt. Also dass bei r und -r als Grenzen für die Fläche 0 rauskommt klingt logisch. Aber was ist an diesen Grenzen falsch? Wenn ich mir diesen Halbkreis anschaue, dass ist ja seine linke Grenze -r, wo er die negative x-achse berührt. Und die rechte Grenze ist r. Ich schau mir das Polarkoordinaten Bild weiter an, vielleicht versteh ich es dann, aber momentan, macht es noch nicht klick.
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.4, eingetragen 2010-05-12
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In Polarkoordinaten ist r der Abstand vom Ursprung, und der sollte tunlichst nicht negativ sein.
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musclecar
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2010-05-12
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Im Polarkoordinaten System würde ja wegen cos 180=-1 etwas positives rauskommen. Wenn ich sage, dass mein Abstand vom Ursprung zum Punkt, wo der Halbkreis die negative x-Achse schneidet, negativ ist und multipliziere das mit cos 180, kommt ja etwas positives raus. Und das wär mein r.(beziehe mich dabei auf das Polarkoordinatensystem von wikipedia, wo bei der positiven x-Achse, der Winkel 0 ist und gegen den Uhrzeigersinn größer wird. Bei der negativen x-Achse wäre er dann 180 groß.)
Damit mit dem Integral oben, das richtige Ergebnis rauskommt, muss ich ja als Grenze r und 0 einsetzen, aber warum? Dann würde ich ja nur ein Viertelkreis betrachten, oder?
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.6, eingetragen 2010-05-12
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\
Man erreicht doch jeden Punkt des Halbkreises, indem man r von 0 bis r (unguenstige Bezeichung) und den Winkel von 0 bis \pi laufen laesst.
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musclecar
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2010-05-12
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Hallo,
ja das stimmt. Dann müsste ich die Grenze links von der y-Achse gar nicht betrachten, weil ich mit dem Winkel phi und r auch Punkte angeben kann, die im -x,-y-Bereich liegen. Gibt es für diese Felder im Koordinatensystem auch speziele Namen?, anstatt dauernd sagen zu müssen, bei der negativen x-Achse und der negativen y-Achse?
Eine Frage die mich gerade interessieren würde:
Wenn ich mein Winkel aber nur im Bereich von 0 bis \pi/2
betrachten würde, müsste ich da dann mit dem "verbotenen -r" arbeiten?
Gruß musclecar
[ Nachricht wurde editiert von musclecar am 12.05.2010 21:02:49 ]
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.8, eingetragen 2010-05-12
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Man bezeichnet diese Bereiche im Koordinatensystemen auch als Quadranten, die genau wie die Quadranten im Gebiss benannt werden - oben rechts ist der I., dann gegen den Uhrzeigersinn.
In Polarkoordinaten spricht man nicht ueber negatives r. Man charakterisiert jeden Punkt durch seinen Abstand zum Ursprung und seinen Polarwinkel. Wenn du nur bis pi/2 gehst, ist es eben ein Viertelkreis.
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musclecar
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2010-05-12
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Hallo,
okay, dann haben sich alle Probleme aufgelöst. Hoffe ich^^.
Danke für Die Hilfe.
Gruß musclecar
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musclecar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
musclecar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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