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  Volumen eines Rotationskörpers |
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Niklas28
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 |  Themenstart: 2010-06-05
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe wo es im mom etwas klemmt, folgendermaßen:
Es ist die Funktion f gegeben durch:
f(x)=1/2 * e^(-x)
Die Geraden g mit x=1 und h mit x=u (u>1), die x-Achse und die Funktion f begrenzen eine Fläche die um die x-Achse rotiert.
Zu berechnen ist das Volumen V(u) des entstehenden Rotationskörpers und:
Mir ist nicht ganz klar wie denn die Gerade h diese Fläche begrenzen soll ohne einen Hinweis auf u zu haben.
Demnach ginge das Volumen doch ins Unendliche ????
Schaubild des Graphen:
gruß
nik
[ Nachricht wurde editiert von Niklas28 am 05.06.2010 09:40:04 ]
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Ex_Senior
 | Beitrag No.1, eingetragen 2010-06-05
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Hi Niklas,
zunächst wird u als endlich angenommen und 'ganz normal' als obere Schranke in die Stammfunktion eingesetzt.
Hernach lässt man u gegen unendlich streben und untersucht, was dabei mit dem Volumen passiert.
In dem Fall, dass es einen (endlichen) Grenzwert gibt, wird oft davon gesprochen, dass die entsprechende Fläche bzw. der Rotationskörper einen Inhalt besitzt.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Integralrechnung' von Diophant]
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 05.06.2010 09:40:28 ]
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Niklas28
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-05
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Ich habe nun also eingesetzt:
V = \pi * int((1/2 * e^(-u)),u,1,u) = stammf(-1/2 * e^(-u),1,u)
V= -1/2 * e^(-u) - (-1/2 * e^(-1))
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.3, eingetragen 2010-06-05
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\
Einerseits lautet die Formel für das Volumen eines Rotationskörper bei Rotation um die x-Achse
V=\pi int(f^2(x),x)
und andererseits sollte man nicht die Integrationsvariable u nennen, wenn schon eine Grenze u heisst.
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Ex_Senior
| Beitrag No.4, eingetragen 2010-06-05
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Hi,
nein, das ist falsch. Habt ihr nicht gelernt, wie man das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse berechnet?
Die Formel lautet:
\
V=\p*\int(f(x)^2,x,a,b)
Du solltest sie dir merken... 
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Niklas28
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|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-05
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Jomei, ich war scheinbar Gedanklich nebenher noch beim Flächeninhalt irgendwie 
dann also:
V = \pi * int((1/2 * e^(-u))^2,u,1,u) = stammf(1/4 * e^(-2u),1,u)
V= \pi*(1/4 * e^(-2u) - (1/4 * e^(-2)))
[ Nachricht wurde editiert von Niklas28 am 05.06.2010 10:14:29 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2010-06-05
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Hallo,
warum hast du Daniels Hinweis mit der Integrationsvariablen nicht beachtet? Und außerdem ist dir beim Integrieren ein Vorzeichenfehler unterlaufen.
Weiter würde ich dem ganzen, so lange es noch von u abhängt, den Namen
\
V(u)=...
verpassen.
Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 05.06.2010 13:01:16 ]
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Niklas28
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-05
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So nu aber mal,
V(u) = \pi * int((1/2 * e^(-x))^2,x,1,u) = stammf(-1/4 * e^(-2x),1,u)
V(u) = \pi*(1/4 * e^(-2ux) - (-1/4 * e^(-2)))
[ Nachricht wurde editiert von Niklas28 am 05.06.2010 10:31:08 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2010-06-05
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Hi,
es fehlt immer noch ein Minuszeichen. Und man kann das ganze noch ein wenig vereinfachen.
Wenn du das alles geschafft hast, dann überlege dir, ob
\
\lim(u->\inf,V(u))
existiert.
Gruß, Diophant
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Niklas28
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-05
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So ich denk jetzt stimmt es:
V(u) = \pi * int((1/2 * e^(-x))^2,x,1,u) = stammf(1/4 * e^(-2x),1,u)
V(u) = \pi*(-1/4 * e^(-2ux) - (-1/4 * e^(-2)))
Vereinfacht:
V(u) = \pi*(1/(4 * e^2) - 1/4 * e^(-2ux))
Die Sache mit dem Grenzwert würd ich nun so angehen:
Der Grenzwert existiert wenn die Funktion f in der Umgebung von u stetig ist. !?!
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, eingetragen 2010-06-05
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Hallo,
was macht den das 'x' in deinem Volumen???
Und das mit dem Grenzwert hast du völlig falsch verstanden. Du musst dir einfach nur überlegen, was mit dem Volumen passiert, wenn u gegen unendlich strebt.
Mit Sicherheit werden dabei vor allem die Summanden des Funktionsterms von Interesse sein, in denen u vorkommt...
Gruß, Diophant
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Niklas28
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-05
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nicht aufgepasst,
V(u) = \pi * int((1/2 * e^(-x))^2,x,1,u) = stammf(1/4 * e^(-2x),1,u)
V(u) = \pi*(-1/4 * e^(-2u) - (-1/4 * e^(-2)))
V(u) = \pi*(1/(4 * e^2) - 1/4 * e^(-2u))
Also wenn u gegen unendlich strebt, strebt auch das Volumen gegen unendlich wenn ich das so richtig verstanden hab.
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Ex_Senior
| Beitrag No.12, eingetragen 2010-06-05
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Hi,
\quoteon(2010-06-05 11:00 - Niklas28 in Beitrag No. 11)
Also wenn u gegen unendlich strebt, strebt auch das Volumen gegen unendlich wenn ich das so richtig verstanden hab.
\quoteoff
nein, dann hast du es nicht richtig verstanden. Was passiert denn mit dem Term
\
1/4*exp(-2u)
wenn u größer wird? Und was, wenn u unendlich groß wird? Und was hat das dann wiederum auf das Volumen für einen Einfluss?
Fragen über Fragen
Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 05.06.2010 12:58:41 ]
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Niklas28
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-05
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also wenn u wächst wird der Term:
1/4*exp(-2u)
immer kleiner. Wenn u also unendlich groß wird wird der Term eben unendlich klein.
Er wird immer kleiner und strebt gegen 0 meiner Meinung nach.
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Ex_Senior
| Beitrag No.14, eingetragen 2010-06-05
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Hallo,
ja, genau. Und was bedeutet das für das Volumen V(u)?
Gruß, Diophant
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Niklas28
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-05
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Das bedeutet für das Volumen das u im Grunde "kaum" bzw sogut wie keinen Einfluss darauf hat.
Demnach ist das Volumen:
V = \pi*(1/(4*exp(2))-0)
für: u->\inf
[ Nachricht wurde editiert von Niklas28 am 05.06.2010 11:22:06 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.16, eingetragen 2010-06-05
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Hallo,
nein, das hast du noch nicht korrekt formuliert: das bedeutet, dass der ins unendliche reichende Rotationskörper einen endlichen Inhalt besitzt. Formal sieht das so aus:
\
\lim(u->\inf,V(u))=\lim(u->\inf,(\p/4*(1/exp(2)-exp(-2u))))
=\lim(u->\inf,(\p/4*(1/exp(2)-1/exp(2u))))
=\p/(4*exp(2))|VE
Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 05.06.2010 12:57:48 ]
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Niklas28
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2010-06-05
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ok, ich hab es dann falsch Ausgedrückt aber das richtige gemeint.
Danke Euch.
gruß
nik
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Niklas28 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Niklas28 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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