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| Autor |
  Lösung einer DGL 4. Ordnung |
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Technoman
Junior 
Dabei seit: 23.08.2010
Mitteilungen: 5
Wohnort: Stuttgart
 |  Themenstart: 2010-08-23
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Hi Allerseits!
Nachdem ich nun schon seit längerem stiller Mitleser bin, habe ich mich entschlossen mich hier mal anzuschließen.
Ich hoffe ihr könnt mir direkt bei meinem Problem helfen!
y^(4) = 2*y^(3)
Außerdem:
k (2) = e^4 + 41
k' (2) = 2*e^4 + 33
k'' (2) = 4*e^4 + 14
k^(3)(2) = 8*e^4
Ich habe begonnen mit dem char. Polynom (\lambda^4-2\lambda^3 = 0 )
liefert \lambda_1,2=0; \lambda_3=2
Dann habe ich den Ansatz: a + b*k + c* e^(2k) gewählt. Hier vermute ich den Fehler.
Denn wenn ich nun ableite für k', usw bekomme ich einen Widerspruch.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank schonmal im Voraus!
lG
Alex
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gaussmath
Senior 
Dabei seit: 16.06.2007
Mitteilungen: 9044
Wohnort: Hannover
 | Beitrag No.1, eingetragen 2010-08-23
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Hallo,
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y^(4) = 2*y^(3) -> y^(3) = 2*y^(2) + a -> y^(2) = 2*y' + x*a + b -> ...
Grüße, Marc
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Technoman
Junior
Dabei seit: 23.08.2010
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Wohnort: Stuttgart
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-08-23
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Hi
ich fürchte diese Antwort war leider etwas knapp für mich 
Habe gerechnet:
y^(3)=2y^(2)+a
y'' =2y'+ax+b
y'=2y+ax^2+bx+c
damit würde ich: a=-14; b=-28 und c=55 erhalten.
Ich fürchte ich hab dich da falsch verstanden.
Die Lösung der Aufgabe lautet:
k(t) = e^2t + 3 + 5t + 7t^2
Würde mich freuen, wenn du die Lösung etwas genauer darstellen könntest 
glg
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.3, eingetragen 2010-08-23
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Das merkt man sich ganz leicht. Für jeden Linearfaktor (X-\lambda)^k im charakteristischen Polynom erhält man als Elemente der Lösungsbasis
x^0 exp(\lambda x), x^1 exp(\lambda x),..., x^(k-1) exp(\lambda x).
In deinem Fall lautet das charakteristische Polynom ja
X^4-2X^3= (X-0)^3 (X-2)^1
sodass man sofort die Lösungsbasis
1,x,x^2 ,exp(2x)
hinschreiben kann.
[ Nachricht wurde editiert von DanielW am 23.08.2010 14:35:13 ]
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Technoman
Junior
Dabei seit: 23.08.2010
Mitteilungen: 5
Wohnort: Stuttgart
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2010-08-23
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AHHHH Vielen Dank!
Mein Ansatz hat also gestimmt. Bis auf die Tatsache, dass ich für das Char. Polynom 4. Grades nur 3 NS habe :-(
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Nochmal die gesamte Rechnung, falls es mal wer nachlesen möchte:
y^(4) = 2*y^(3)
Außerdem:
k (2) = e^4 + 41
k' (2) = 2*e^4 + 33
k'' (2) = 4*e^4 + 14
k^(3)(2) = 8*e^4
char. Polynom (\lambda^4-2\lambda^3 = 0 )
liefert \lambda_1,2,3=0; \lambda_4=2
Ansatz: a+bt+ct^2+de^2t = y(t)
Allgemein 3x abgeleitet.
Dann jeweils die Werte eingesetzt und mit den Anfangswerten gleichgesetzt liefert: d=1; c=7; b=5; a=3
und damit die richtige Lösung: k(t)=3+5t+7t^2+e^2t
Vielen Lieben Dank fürs Augen öffnen :)
glg!
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Profil
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Technoman hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Technoman hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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