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Lineare Algebra » Vektorräume » Z_2-Vektorraum
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Kein bestimmter Bereich Z_2-Vektorraum
Martin_Infinite
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  Themenstart: 2003-12-12

Hi! Also irgendwie stelle ich ich hier complètement doof an: Sei V die Potenzmenge einer n-elementigen Menge X. Dann ist V ein Z2-Vektorraum. Soweit alles klar. Aber wie finde ich nun eine Basis dieses Vektorraumes? Ich kann mir das auch gar nicht vorstellen wie díeser Vektorraum überhaupt aussieht. Gruß Martin


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scorp
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  Beitrag No.1, eingetragen 2003-12-13

Hi, ist die Basis nicht gerade X? ...hoffentlich war das jetzt nix gaenzlich falsches... Gruesse, /Alex


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

Dabei meine ich mit Z2 den 2-elementigen Körper {0,1}, in dem 1+1=0 gilt. Die Verknüpfungen des Vektorraumes sind durch A+B = (A \union B) \\ (A \cut B) und k*A = fdef(A,falls k=1;\0,falls k=0) definiert.


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

@Alex: Eine Basis muss eine Teilmenge des Vektorraumes sein. X ist hier aber ein Element des Vektorraumes. Gruß Martin


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scorp
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  Beitrag No.4, eingetragen 2003-12-13

Komisch... so im Nachhinein faellt mir auf, dass deine Aufgabe erschreckende Aehnlichkeiten mit meiner LA-Uebungsaufgabe 2a hat. Wie praktisch...    


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

Wie wäre es mit union(menge(menge(x)),x \el X) Ist's ne Basis? Mal sehen.


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scorp
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  Beitrag No.6, eingetragen 2003-12-13

Sei X={x_1, x_2, x_3, ... x_n} (n-elementige Menge) Jedes Element aus V laesst sich darstellen als Vektor v = vereinigung(\alpha_i * x_i,i=1..n) mit \alpha \el Z_2 Also ist eine Basis B = {{x_1}, {x_2}, {x_3}, ... {x_n}} EDIT: Das was du in deinem letzten Post geschrieben hast meinte ich... Hast du nicht ne Klammer zu viel? [ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-12-13 00:15 ]


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

Ne da ist keine Klammer zu viel.


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scorp
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  Beitrag No.8, eingetragen 2003-12-13

Willst du ein Haekchen setzen?


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

Ich wollte erst noch eine Vermutung beweisen, nämlich dass union((union(menge(x_k),k=1,i)),i=1,n) eine Basis ist. Das habe ich nun von 0 bis 2 und von 9 bis halb 11 Uhr geschafft. Ich werden den Beweis gleich mal posten, damit mir jmd sagen kann ob der auch so in Ordung geht. Eigentlich ging es mir noch um die Beantwortung der Frage "Gibt es eine weitere Basis deren Elemente mehr als 1 Elemente enthalten?" vom Beutelspacher. Aber bei meiner obigen Basis gibt es ja immer noch {x1} als 1-elementiges Element ... Gruß Martin


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

So, er ist fertig geLaTeXet: Kann jmd kritisch Stellung dazu nehmen, besonders dazu, wie ich die lineare Unabhöngigkeit am Ende nachweise? Stimmt die Behauptung überhaupt? (ar ja nur eine Vermutung) Gruß Martin ----------------- [ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-12-13 12:35 ]


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scorp
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  Beitrag No.11, eingetragen 2003-12-13

Das sieht ja fuerchterlich aus! (optisch)


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

Ah! Da hatte ich aus Versehen noch "2" drinne beim Dialog für Anzahl der Farben. Werde es oben ändern.


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DaMenge
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  Beitrag No.13, eingetragen 2003-12-13

Hi Martin, außer ein paar stilistischer Sachen sind mir nur zwei Dinge aufgefallen : 1.) Bei deiner Basisdarstellung fehlr ein Mengen-Klammer-Paar 2.) in der 4. letzten Zeile ist ein Tippo : S vereinigt X' sollte X' ergeben und nicht X aber sonst scheint mir alles richtig. mfg DaMenge


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

Hi Menge! 1. Wo genau? Ich kann da keine Fehlende entdecken. 2. Danke, ich werd's ändern. Gruß Martin


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DaMenge
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  Beitrag No.15, eingetragen 2003-12-13

nun ja, sei X={a,b,c} dann ist deine Basis : {a}È{a,b}È{a,b,c}={a,b,c} aber du meintest : ( {a}, {a,b}, {a,b,c} ) als Basis, richtig ? Dann muss zwischen deinen beiden Vereinigungssymbolen einen Mengenklammer...


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

Darüber hatte ich gestern schon nachgedacht. Jetzt verstehe ich aber, warum man da doch noch eine einfügen muss. Ist der Beweis zur linearen Unabhängigkeit wirklich richtig? Ich habe mir das meiste an X={a,b,c} und X'={a,b,c,d} klargemacht. Ob das dann so allgemein geht, da bin ich mir noch nicht so sicher. Gruß Martin


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wasseralm
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  Beitrag No.17, eingetragen 2003-12-13

Hallo Martin, ich habe einen Vorschlag zur Vereinfachung deines Beweises: 1. Die Menge menge(menge(x_1), menge(x_2), ..., menge(x_n)) ist ja schon als Basis erkannt. 2. Man zeigt, dass in jedem Vektorraum gilt: Ist menge(b_1, b_2, ..., b_n) eine Basis, dann auch menge(b_1, b_1+b_2, ..., b_1+b_2+...b_n) Dies hat den Vorteil, dass man sich das Gehampel mit den Mengen spart. Gruß von Helmut


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-13

Hi Helmut! Da hast du sicher Recht, aber ich konnte ja nicht wissen, dass das so allgemein geht. Also Danke für den Tipp! Übrigens habe ich das schon für b_i=e_i=(0,0,...,1,0,..,0) (1 an der i-ten Stelle) und V=K^n bewiesen ... Das wäre ja dafür auch noch mal ein schönes Lemma. Gruß Martin


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-14

@Helmut: Habe den Beweis in 3 Minuten geschafft. (jetzt erst weil MPC) Ich habe noch eine Frage: Wie ist in diesem Vektorraum hier das MINUS, also die Umkehrverknüpfung der symmetrischen Differenz? A-B=C <=> A=C+B <=> A = (C \union B) \\ (C \cut B) Jetzt müsste ich nach C auflösen, aber wie? Ich hab's nicht geschafft. Gruß Martin


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DaMenge
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  Beitrag No.20, eingetragen 2003-12-14

hi Martin, aus A-A = leer folgt hier : A=-A also ist A-B=A+B mfg DaMenge


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-14

Danke Menge! Ich hätte mich doch noch mal auf den Nachweise der VR-Axiome verufen sollen, da dort ja festgemacht wird dass jedes Element zu sich selbst invers ist.   Gruß Martin


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-14

Die Frage die hier stand hat sich doch schon geklärt. Gruß Martin [ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-12-14 16:50 ] [ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-12-14 16:53 ]


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-14

Komme wieder nicht weiter ... Sei W die Menge aller Teilmengen von X mit gerader Mächtigkeit. (also die Anzahl der Elemente jedes Elementes von W ist ungerade) Dass W ein Unterraum von V=P(X) ist, habe ich schon zeigen können. Nun weiter: Sei Y eine Teilmenge von X ungerader Mächtigkeit. Jetzt soll ich zeigen, dass W vereinigt mit {Y} bereits ganz V erzeugt. So habe ich angefangen: Sei T eine beliebige m-elementige Teilmenge von X. Wir müssen k,k1,k2,...,km aus {0,1} so finden, dass k*Y + k1*W1 + k2*W2 + ... + km*Wm = T ist, wobei die Wi paarweise verschieden sind und vereinigt W ergeben. Nun gibt es zwei Fälle: a) |T| ist gerade. Dann liegt es nahe k=0 zu setzen. Da  B={{x1},{x1,x2},{x1,x2,x3},...,{x1,...,xn}} eine Basis ist, gibt es h1,h2,...,hn aus {0,1} derart, dass h1*{x1} + h2*{x1,x2} + h3*{x1,x2,x3} + ... + hn*{x1,...,xn} = T gilt. Setze nun ki=0 falls Wi nicht aus B ist, und sonst ki=hi. Dann ist  k*Y + k1*W1 + k2*W2 + ... + km*Wm =sum(h_i*W_i,array(i=1;W_i \el B),m)   Ja, das wäre ja jetzt super wenn n=m wäre, weil dann in der Tat T rauskommen würde. Aber ich weiß nicht weiter ... Und dann noch eine Frage: Gibt es eine Basis von V, deren Elemente stets mehr als ein Element haben??? Also mit {{x1},...,{xn}} und der Basis oben habe ich noch keine anderen gefunden. Gruß Martin


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DaMenge
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  Beitrag No.24, eingetragen 2003-12-14

2003-12-14 18:30: Martin_Infinite schreibt: Sei W die Menge aller Teilmengen von X mit gerader Mächtigkeit. (also die Anzahl der Elemente jedes Elementes von W ist ungerade) Dass W ein Unterraum von V=P(X) ist, habe ich schon zeigen können. Nun weiter: Sei Y eine Teilmenge von X ungerader Mächtigkeit. Hi Martin, die ersten beiden Sätze raffe ich nicht ganz - für mich widersprechen die sich sogar, aber das bedeutet für mich nur eins : ich verstehe nicht was du meinst. Am besten du machst das mal am Beispiel klar für |X|=3 oder |X|=5 und schreibst einfach mal W auf ... so wie ich das nämlich verstehe ist es eigentlich recht simpel ... insbesondere : "wenn |T| gerade" - dann liegt T in W (IMHO), aber wie gesagt : wir missverstehen uns hier wohl, also schreib doch mal ein Beispiel auf ... mfg DaMenge


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-14

X={0,1,2} Dann ist ja V=P(X)={{},{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{1,2,3}}. Picke dir die Elemente raus, deren Mächtigkeit gerade ist. Dann ist   W={{},{0,1},{0,2},{1,2}} Die Menge Y kann zB {1} oder {1,2,3} sein, weil |{1,2,3}|=3 ungerade und |{1}|=1 ungerade ist. Ach du hast Recht, wenn |T| gerade ist, dann liegt T im Unterraum W von V. Bloß was bringt mir das, wenn ich T mit ganz anderen Vektoren (hier Teilmenge von X) erzeugen will? Könntest du vielleicht in den Chat kommen? Gruß Martin [ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-12-14 19:34 ]


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-14

Ok, das hat sich geklärt. Jetzt soll ich auch noch herausfinden, ob W eine Hyperebene von V ist. Dazu hat mir DaMenge die Menge aller 2-elementigen Teilmengen von X vorgeschlagen. Bloß wie zeige ich, dass das eine Basis von W ist? Wenn man das gezeigt hat, dass ist man schon fertig, denn die Menge hat genau n über 2 = n(n-1)/2 Elemente, was nur dim(V)-1=n-1 ist, wenn n=2 ist. Gruß Martin


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-14

**hoch-schieb**


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-15

Ok, das hatten wir gestern noch im Chat geklärt. Kann mir noch jmd sagen, ob dieser VR eine Basis haben kann, deren Elemente stets mehr als ein Element enthalten? Gruß Martin


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wasseralm
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  Beitrag No.29, eingetragen 2003-12-15

Hallo Martin, für n=1 und n=2 geht es sicher nicht, ab n=3 kann man wieder den Trick verwenden, in einer Basis die Vektoren a, b durch a+b, b zu ersetzen. Aus deiner schon angegebenen Basis wird dann: menge(x_2, x_3) menge(x_1, x_2) menge(x_1, x_2, x_3) menge(x_1, x_2, x_3, x_4) ... Gruß von Helmut


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-18

Hi! Warum sollte denn a+b=menge(x_2, x_3) sein? Gruß Martin


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wasseralm
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  Beitrag No.31, eingetragen 2003-12-18

Hallo Martin, ich glaube das habe ich wirklich zu verwirrend geschrieben. Als Basis erkannt war schon die Menge bestehend aus den Vektoren menge(x_1) menge(x_1, x_2) menge(x_1, x_2, x_3) menge(x_1, x_2, x_3, x_4) ... Da wir n>= 3 voraussetzen, sind mindestens die ersten drei Vektoren vorhanden. Den ersten nennen wir a, den dritten b. Dann wird a durch a+b ersetzt. Die symmetrische Differenz der Mengen menge(x_1) und menge(x_1, x_2, x_3) ist menge(x_2, x_3). Gruß von Helmut


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-18

Ja, wenn du a,b schreibst, dann denke ich mit b meinst du den 2. Eigentlich ist das dann ganz trivial, wenn man einmal den Beweis des Satzes, den du mir erst genannt hattest, richtig nachvollzogen hat. Deshalb frage ich: Geht folgende verallgemeinerung? Sei ((I_k))_(k \el [1,n] \cut \IN) eine Familie von Teilmengen von [1,n] \cut \IN und menge(b_1 , .. , b_n ) eine Basis. Dann ist auch union(menge(sum(b_k,k \el I_i)),i=1,n) eine Basis. Gruß Martin


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Ex_Mitglied_4018
  Beitrag No.33, eingetragen 2003-12-18

Hi Martin, Also die Aussage ist im Allgemeinen falsch, wie im chat besprochen. (Zum beispiel, wenn Du alle I_k gleich wählst.) Man kann die Frage, wann dies eine Basis ist, auf folgende Weise beantworten. Wir definieren uns eine lineare Abbildung f, indem wir die Bilder auf der Basis {b1,...,bn} festlegen. (Eine lineare Abbildung ist bekanntlich durch die Bilder einer Basis vollständig festgelegt) f(b_i):=sum(b_k,k \el I_i) Wenn wir nun zeigen können, dass die so definierte lineare Abbildung ein Isomorphismus ist, so bilden {f(b_1),...,f(b_n)} eine Basis, und dies ist ja genau die Menge, die Du definiert hast. Nun, wie sehen wir, ob dies ein Isomorphismus ist? Es gibt eine Methode in der Linearen Algebra, in der Man f als eine Matrix darstellen kann und eine Matrix beschreibt bekanntlich genau dann Isomorphismus, falls die Determinante ungleich null ist (oder äquivalent: falls alle Spalten oder alle Zeilenvektoren eine Basis des R^n bilden Nehmen wir ein Beispiel, angenommen die I_i sind so definiert: I_i = {1,...,i} dann sähe die Matrix so aus: (1,0,0,...,0;1,1,0,...,0;...,...,...,...,...;1,1,1,...,1) die Determinante hiervon ist 1 und somit wäre dies gezeigt. Soll ich diesen Sachverhalt genauer erklären? [ Nachricht wurde editiert von Zaos am 2003-12-18 23:19 ]


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-19

Hier noch mal die Forumlierung vom Chat gestern: Sei V ein n-dim. K-VR, menge(b_1 , b_2 , .. , b_n) eine Basis von V, M := [1,n] \cut \IN, ((I_k))_(k \el M) , D := menge(I_k | k \el M). Sei F : D -> K^n , I_k -> (x_1 , .. , x_n) mit \forall i \el M : x_i=fdef(0,falls i \el I_k;1,sonst) . Ist F(D) eine Basis von K^n , so ist union(menge(sum(b_k,k \el I_i)),i=1,n) eine Basis von V. Den Beweis habe ich noch nicht geschafft. Gruß Martin


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  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-19

Ich denke der Satz gehört nicht mehr zu diesem Vektorraum hier. Daher werde ich einen neuen Thread öffnen. @Alex, Zaos, Menge, Helmut: Vielen Dank für die Hilfe! [ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-12-20 10:43 ]


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-23

Habe mich jetzt sooo1 lange mit diesem Vektorraum beschäftigt, *puh*. Könnte sich bitte jemand meine
    P D F
 dazu mal anschauen und kritisch dazu Stellung nehmen? (Rechtschreibfehler habe ich noch gar nicht korrigiert also die dürfen ungeachtet überlesen werden ) Danke   Gruß Martin 1 2 Wochen [ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-12-23 12:44 ]



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Martin_Infinite
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  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-24

*hoch-schieb*


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-26

*hoch-schieb*


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Ex_Mitglied_4018
  Beitrag No.39, eingetragen 2003-12-27

Hi Martin, beeindruckend!^^ Wirklich sehr gut und Fehler habe ich auch nicht entdecken können. (Zugegebenermaßen habe ich mir nicht alle Details in den Beweisen angeguckt) Und es freut mich, dass "unser" Satz in deinen Ausführungen Platz gefunden hat (jetzt weiß Ich auch, wofür Du den Satz brauchtest). Und der Beweis ist der selbe, den ich Dir im Chat zu erklären versucht habe (nur anders ausgedrückt). Es ist schön zu sehen, dass Du dich mit der Maschinerie der Homo- und Isomorphismen vertraut gemacht hast. Gruß, Zaos.


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