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 Lineare DGL 4. Ordnung lösen |
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LHeiner
Junior 
Dabei seit: 20.11.2010
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2010-11-20
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Hallo zusammen,
ich stehe vor dem Problem für folgende DGL alle Lösungen a aus IR finden die für t->inf i) gegen 0 konvergieren und ii) beschränkt bleiben.
y:=y(t)
y^(4)+2y''+(1+a)y=0
Bis jetzt habe ich folgendes gemacht: (Nullstellen des char. Polynoms berechnet):
\lambda^4+2\lambda^2+(1+a)=0 =>x:=\lambda^2
x^2+2x+(1+a)=0
x_1=-1-sqrt(-a)
x_2=-1+sqrt(-a)
x=\lambda^2=>
\lambda_1,2=+-sqrt(-1-sqrt(-a))
\lambda_3,4=+-sqrt(-1+sqrt(-a))
dann jedoch weiß ich nicht mehr weiter!
Kann mir jemand weiterhelfen? Dankeschön
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dietmar0609
Senior 
Dabei seit: 29.06.2007
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2010-11-20
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Hallo,
Willkommen auf dem Matheplanet !!!
Woher kommt diese Aufgabe und in welchem Zusammenhang ist sie gestellt?
Was weisst du über a?
Ich würde, um mal ein Gefühl für die Aufgabe zu bekommen, mal einige einfachen Werte für a annehmen, z.B. -1, 0 , +1 .
Für diese Werte kannst du, glaube ich , konkrete Lösungen angeben.
Für allgemeines a sehe ich im Augenblick keine geschlossene Lösung.
Ich werde mal etwas herumprobieren.
Weitere Frage: Für welche t sollen denn deine Bedingungen
(die für t->inf i) gegen 0 konvergieren und ii) beschränkt bleiben)
gelten???
Ich habe die Aufgabe nochmal aufmerksam durchgelesen. Sollst du vielleicht diejenigen a bestimmen, für die die obigen Bedingungen gelten???
Spiel mal mit diesem link einige Werte für a durch
www.wolframalpha.com/
Füge mit cut and paste die Dgl ein:
y''''+2y'' +y = 0
d.h. a=0
Gruss Dietmar
[ Nachricht wurde editiert von dietmar0609 am 20.11.2010 13:52:23 ]
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LHeiner
Junior
Dabei seit: 20.11.2010
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-20
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Genau, ich soll untersuchen für welche Werte a\el\ \IR alle Lösungen der DG für t->\inf
i) gegen Null konvergieren
ii) beschränkt bleiben.
t ist der Parameter der Funktion; y(t)
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dietmar0609
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2010-11-20
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Habe mal mit dem oben genannten link verschiedene a's durchprobiert und durchaus einige Lösungen gefunden , die die geforderten Bedingungen erfüllen. Da du 4 Integrationskonstanten hast, kannst du dir durch geeignetes Nullsetzen dieser Konstanten jede Menge Funktionen basteln.
Das kannst du aber auch selbst ....
Dies ist aber kein systematischer Ansatz, um alle a zu finden, sie evtl. sogar zu berechnen.
Mir ist aber aufgefallen, das die meisten Lösungen die Form
y=c_1*e^(-ax)*cos(bx)+ - ...
enthalten.
Eine andere Idee wäre , deine gefundenen Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu untersuchen. Sie haben die Form
\lambda_1,2=+-sqrt(-1-sqrt(-a))
\lambda_3,4=+-sqrt(-1+sqrt(-a))
uns lassen sich sicherlich in der Form
\lambda_1,2=A+iB
\lambda_3,4=C+iD
darstellen.
Habe noch keine zündende Idee, die A,B,C,D durch a darzustellen ...
Gruss Dietmar
[ Nachricht wurde editiert von dietmar0609 am 20.11.2010 16:16:14 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2010-11-20
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Hallo, bei solchen Aufgaben setzt man doch
y=exp(\lambda*x).
Viele Grüße,Sonnhard.
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dietmar0609
Senior
Dabei seit: 29.06.2007
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| Beitrag No.5, eingetragen 2010-11-20
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Hat er ja gemacht .....
Das Problem ist, dass a nicht näher spezifiziert ist.
Gruss Dietmar
[ Nachricht wurde editiert von dietmar0609 am 20.11.2010 16:50:22 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.6, eingetragen 2010-11-20
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Hallo, ja dann muß man eine Fallunterscheidung bezüglich a machen.
Viele Grüße,Sonnhard.
[ Nachricht wurde editiert von Dr_Sonnhard_Graubner am 20.11.2010 17:01:55 ]
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iveL
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| Beitrag No.7, eingetragen 2010-11-20
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hi
um die nullstellen des char. polynoms in der form a+ib darzustellen würde ich zuerst den term unter der großen wurzel in polarkoordinaten darstellen, dann alles in polarkoordinaten und schlussendlich mit euler zurück.
lg levi
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.8, eingetragen 2010-11-20
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LHeiner
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-20
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\quoteon(2010-11-20 17:06 - Dr_Sonnhard_Graubner in Beitrag No. 8)
Hallo, siehe auch hier
www.wolframalpha.com/input/?i=dsolve+y%27%27%27%27%28x%29%2B2*y%27%27%28x%29%2B%281%2Ba%29*y%28x%29%3D0+for+y%28x%29
Viele Grüße,Sonnhard.
\quoteoff
das gleiche habe ich auch gerade gemacht, wollte gerade die Lösung posten, dh ich muss für diesen Ausdruck jetzt Fallunterscheidungen hinsichtlich a=0,a>0 und a<0 betrachten und jeweils schauen wie sich die Lösung für x->inf verhält?
aber da bekomme ich doch für a=0 und a>0 komplexe werte?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
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| Beitrag No.10, eingetragen 2010-11-20
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Hallo, für a=0 habe ich
y(x)=C_1*sin(x)+C_2*cos(x)+C_3*x*sin(x)+C_4*x*cos(x).
Viele Grüße,Sonnhard.
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dietmar0609
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2010-11-20
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aber da bekomme ich doch für a=0 und a>0 komplexe werte?
Das habe ich dir in Beitrag 3 schon erzählt .....
@sonnhard: Das steht auch schon in Beitrag 1
Dietmar
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von dietmar0609 am 20.11.2010 17:28:46 ]
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