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  DGL (lineare) höherer Ordnung lösen |
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venividivici
Ehemals Aktiv 
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Wohnort: Süddeutschland
 |  Themenstart: 2011-04-08
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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich zur Zeit mit gewöhnlichen Differentialgleichungen und deren Lösungstechniken (habe bereits den Artikel hier auf dem Matheplaneten gelesen). Doch an einer Stelle hängt es noch etwas:
\
Gegeben sei folgende DGL:
y'''+2y''+y'=2x+1
Bestimmung der homogenen Lösung (Exponentialansatz, Lösen des charakteristischen Polynoms):
\lambda^3+2*\lambda^2+\lambda=0 <=>
\lambda*(\lambda^2+2*\lambda+1)=0 <=>
\lambda*(\lambda+1)^2=0
Somit: \lambda_1=0 und \lambda_(2,3)=-1
y_h=C_1+C_2*e^(-x)+C_3*x*e^(-x)
Für die partikuläre Lösung wählt man wieder "Variation der Konstanten", d.h.:
\
y_h=u_1(x)+u_2(x)*e^(-x)+u_3(x)*x*e^(-x)
einsetzen in die inhomogene DGL?
Viele Grüße,
v³
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GrandPa
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Dabei seit: 08.03.2008
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-04-08
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Hallo,
also ich würde einen geeigneten Lösungsansatz für y_p suchen.
Beispiel:
y´´´ + y´= 4 e^x
y_h = C_1 + C_2 *sin x + C_3 *cos x
Ansatz für y_p = A * e^x
... dann ableiten einsetzen
=> y = y_h + y_p
L.G. GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 08.04.2011 13:29:02 ]
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gaussmath
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Dabei seit: 16.06.2007
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2011-04-08
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Hi. Variation der Konstanten geht, ist aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Der niedrigste Grad der Ableitung ist 1. Die Störfunktion ist ein Polynom vom Grad 1. Daher kommt für die part. Lösung ein Polynom vom Grad 2 in Frage. Dann Koeffizientenvergleich machen und fertig.
Grüße, Marc
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von gaussmath am 08.04.2011 15:10:34 ]
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venividivici
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2011-04-08
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Danke für eure Antworten!
Versuch:
\
y'''+2y''+y'=2x+1
y_h=C_1+C_2*e^(-x)+C_3*x*e^(-x)
Lösungsansatz für y_p:
y_p = ax^2+bx+c
eingesetzt in inhom. DGl ergibt:
(ax^2+bx+c)'''+2(ax^2+bx+c)''+(ax^2+bx+c)'=(2a)*x+(4a+b)=2x+1
Koeffizientenvergleich:
2a = 2 -> a=1
4a+b=1 -> b=1-4a=-3
Somit y_p = x^2-3x+C_4
Somit:
y_a = y_h+y_p
= C_1+C_2*e^(-x)+C_3*x*e^(-x)+x^2-3x+C_4
= C_1+e^(-x)*(C_2+C_3*x)+x^2-3x+C_4
Kann man das so machen?
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gaussmath
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| Beitrag No.4, eingetragen 2011-04-08
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C4 kannst du dir sparen. Es reicht EINE part. Lösung! 
Edit: Ansonsten ist deine Rechnung schick, soll heißen: Richtig!
[ Nachricht wurde editiert von gaussmath am 08.04.2011 14:08:15 ]
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venividivici
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2011-04-08
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Gut, danke für's Überprüfen!
\
Angenommen es wäre folgende DGL gegeben:
y''''-2y''+y=cos(x)+sin(x)
y_h angeben wie gewohnt,
Lösungsansatz für y_p=A*cos(x)+B*sin(x)
Würde hier auch der Weg über den Koeffizientenvergleich funktionieren?
Ich probiere:
\
(A*cos(x)+B*sin(x))''''-2*(A*cos(x)+B*sin(x))''+A*cos(x)+B*sin(x)=
A*cos(x)+B*sin(x)-2*(-A*cos(x)-B*sin(x))+A*cos(x)+B*sin(x)=
A*cos(x)*(1+2+1)+B*sin(x)*(1+2+1)=
4*A*cos(x)+4*B*sin(x)=cos(x)+sin(x)
4A=1 -> A=1/4
4B=1 -> B=1/4
y_p = 1/4*(cos(x)+sin(x))
Gibt es Fälle, in denen dies nicht funktioniert? Mir erscheint es so, dass dies immer funktioniert, solange das Störglied eine Komposition von Abbildungen der Form u_i(x) ist.
Schöne Grüße,
v³
[ Nachricht wurde editiert von venividivici am 08.04.2011 15:38:02 ]
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gaussmath
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| Beitrag No.6, eingetragen 2011-04-08
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Nein, das funktioniert nicht immer. Beispiele für Störfunktionen:
\
s(t)=(x^2+4x-2)*exp(2x) oder s(t)=sin(x)*exp(x)
Variation der Konstanten funktioniert hingegen stets bei linearen DGLen.
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venividivici
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2011-04-08
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Ok, gibt es dennoch irgendeine gute "Merkregel", wann man welche Technik am geschicktesten anwenden kann? Oder (eigtl. ist die Frage überflüssig) sieht man das mit genügend Übung automatisch?
Viele Grüße,
v³
[ Nachricht wurde editiert von venividivici am 08.04.2011 16:40:33 ]
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gaussmath
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| Beitrag No.8, eingetragen 2011-04-08
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Das kann man auf die Schnelle nur schwierig beantworten. Es gibt Tabellen mit Standardansätzen für Standardfunktionen (Störfunktionen). Diese würde ich mir besorgen und abspeichern im Kopf.
Es gibt Funktionen, deren Gestalt sich durch Ableiten nicht ändert, manchmal nur durch eine Konstante. Dazu gehören Polynome (Verringerung des Grades), trigonometrische Funktionen wie f(x)=sin(x)+cos(x) und ex. Hier lässt sich der obige Ansatz immer verfolgen.
Darüber hinaus sollte man auf das Prinzip der Superpositon achten, wenn Störfunktionen durch Addition verkettet sind.
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rlk
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| Beitrag No.9, eingetragen 2011-04-08
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Hallo Venividivici,
eine kleine Ergänzung: Funktionen der Form x\mapsto exp(s*x) für s\in \IC sind Eigenfunktionen der hier betrachteten Differentialoperatoren, das ist der Grund dass der Ansatz in Beitrag 5 funktioniert hat.
Wenn s eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, tritt der so genannte Resonanzfall ein, Du musst den Ansatz dann zu
y_p(x)=r(x)*exp(s*x)
erweitern, wobei r(x) ein Polynom ist, dessen Grad gleich der Vielfachheit der Nullstelle s ist.
Störfunktionen \(die rechte Seite der Gleichung wird oft so bezeichnet\) der Form F(x)*exp(s*x) hat DanielW in dem Beitrag [1] diskutiert.
Wegen der Linearität der Differentialgleichung kann man auch Störfunktionen, die aus Summen entsprechender Terme bestehen, so behandeln.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
[1] DGL n-ter Ordnung - Erklärung für Lösungsansatz
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venividivici
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2011-04-08
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Vielen Dank nochmal für Eure nette Hilfe! Werde mir jetzt eigenständig noch einiges durchlesen.
v³
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