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  Residuen |
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zwaegi
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 09.06.2003
Mitteilungen: 499
 |  Themenstart: 2004-01-06
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so, brauch mal wieder eure hilfe in funktionentheorie (hoff das ist hier im richtigen forum...)
also, ich will das residuum von
f=1/(z^2*sin(z))
an den stellen z=0 und z=pi berechnen. (sollte 1/6 und -1/pi^2 geben, nach maple). aber wie komm ich darauf?!?
kann ich denn für z=0 nicht den sinus mit taylor entwickeln und dann sagen
Res(f,z=0) = lim (z^3 * f''(z))
das funktioniert nämlich bei mir nicht.
wär froh um nen guten ansatz...
danke schon mal.
zwaegi
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Kleine_Meerjungfrau
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Dabei seit: 29.10.2003
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2004-01-06
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Hallo zwaegi!
Ich hab das jetzt mal gerechnet aber so ganz hat das auch nicht geklappt. Du kennst vermutlich folgende Formel:
Res(f,z_0)=1/(n-1)!\.g^(n-1)(z_o)
Ich kann mir immer nicht merken was n ist, ich glaube aber, das ist die Häufigkeit der Nullstelle. Demnach musst du dann aber für z=0 mit g' rechnen und für z=pi mit g.
Kommst du damit vielleicht weiter?
Gruß
kleine Meerjungfrau
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zwaegi
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-06
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ja, genau mit dieser formel hab ich das probiert. aber ich kann das drehen und wenden wie ich will, das gibt bei mir keinen 1/6...
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Kleine_Meerjungfrau
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Dabei seit: 29.10.2003
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| Beitrag No.3, eingetragen 2004-01-06
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Hm ... und in Maple hast du das Richtige eingegeben?
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zwaegi
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-06
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ich denk schon
residue(f, z=0);
und natürlich vorher f richtig definiert. das müsste schon stimmen, bei andern funktionen ists auch immer gegangen...
trotzdem danke schon mal für die hilfe :-)
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zwaegi
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-07
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so, das erste hab ich jetzt rausgefunden (z=0). es geht mit der formel von meerjungfrau, hab mich einfach blöd verrechnet.
beim zweiten (also z=pi) hab ich aber keinen plan. meines erachtens ist das auch ein pol (sin(pi)=0) aber welcher ordnung? oder wie löst man das? die formel von meerjungfrau dürfte hier ja kaum greifen, oder?
zwaegi
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Kleine_Meerjungfrau
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| Beitrag No.6, eingetragen 2004-01-07
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Hallo zwaegi!
Dann hab ich mich auch blöd verrechnet :-) Wie geht das mit der Formel?
pi ist ein Pol erster Ordnung. Das kannst du schon auch mit der Formel rechnen. Aber bei mir kam was anderes raus (wie schon gesagt).
Gruß
kleine Meerjungfrau
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Rodion
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2004-01-07
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Hallo!
Du mußt doch zunächst schauen, ob die Singularität in Pi eine hebbare, ein Pol oder eine wesentliche ist.
Naja, wievielfache Nullstelle des Nenners ist denn Pi? Eine einfache, also ist Pi ein einfacher Pol. Und für Pole k-ter Ordnung ist obige Formel Anwendbar:
Res(f,z_0)=g^(k-1)(z_0)/((k-1)!)
wobei
g(z):=(z-z_0)^k*f(z)
Also, da hier k=1:
Res(1/(z^2*sin(z)), \pi)=lim(z->\pi, (z-\pi)/(z^2*sin(z)))=1/(\pi^2*cos(\pi))=-1/\pi^2
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zwaegi
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-07
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also ich habs schlussendlich so gemacht:
1/(3-1)!*g^((3-1)) =1/2*(z^3*1/(z^2*sin(z)))''=1/2*1/3=1/6
alles an der stelle z=0 natürlich.
hm, also wenn pi ein pol erster ordnung ist, dann müsste man ja eigentlich auch die formel anwenden können... gäbe bei mir:
1/(1-1)!*g^((1-1)) =1*(z*1/(z^2*sin(z)))=1/(z*sin(z))
an der stelle z=pi... hm, aber das geht nun wirklich nicht?!?
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zwaegi
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-07
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danke rodion! schon wieder so ein blöder fehler, man muss ja nicht nur mit z sondern mit (z-pi) multiplizieren!
so, das wär nun abgehakt!
danke euch beiden.
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