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 AWA: Autonome DGL 2. Ordnung |
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Delgetti
Ehemals Aktiv 
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 |  Themenstart: 2011-06-28
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Hallo,
ich habe folgende Anfangswertaufgabe:
\
y'' = 2 y y' mit y(\pi/4) = 1 und y'(\pi/4) = 2
Mittels Substitution will ich die Aufgabe lösen:
\
y' = dy/dx = u
y'' = du/dy * dy/dx = du/dy * u
Eingesetzt ergibt das:
\
du/dy u = 2 y u
du = 2y dy
Wie muss ich jetzt weiterrechnen? Ich löse doch jetzt die Integrale:
\
int(1, u) = int(2y,y)
Muss ich die Integrale schon mit den Anfangswerten lösen? Wenn ja, mit welchen? Kann mir das mal jemand von euch kurz Schritt für Schritt aufzeigen?
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Dixon
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-06-28
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Hallo delgetti,
da ist ein interessanter Trick dabei. Schau Dir doch mal 2*y*y' ganz genau an.
Grüße
Dixon
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Delgetti
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-28
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Hallo Dixon,
ich starre schon mehrere Minuten drauf, aber *klick* macht es nicht. Der Anfang des Lösungsweges steht ja bereits in meinem Skript, nur ist er überhaupt nicht nachvollziehbar.
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Dixon
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| Beitrag No.3, eingetragen 2011-06-29
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Hallo delgetti,
na dann schubs ich mal: Kettenregel.
Grüße
Dixon
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dietmar0609
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2011-06-29
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@dixon: Ging mir früher auch so: Entweder du kennst den Trick oder du kommst nicht drauf; eigenartig .....
Dietmar
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Delgetti
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-29
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Ehrlich gesagt, steh ich immer noch auf dem Schlauch. Wie bereits gesagt, kenne ich den Anfang des Lösungsweges bereits (also damit auch die Anwendung der Kettenregel). Nur versteh ich den logischen Schritt einfach nicht (d. h. ich sehe und kapiere es nicht). Kann mir jemand von euch das kurz erklären? (Was die Kettenregel ist, weiß ich natürlich.)
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dietmar0609
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| Beitrag No.6, eingetragen 2011-06-29
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ganz einfach:
was ist denn
(y^2)' = d/dx (y^2)
??? usw.
Gruss Dietmar
[ Nachricht wurde editiert von dietmar0609 am 29.06.2011 21:32:03 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2011-06-29
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Hallo, diese Aufgabe hatten wir auch schon mehrfach.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Delgetti
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-29
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Auch wenn ich mich jetzt zum Spaten mache, aber ich schnall's einfach nicht. Ich seh keine Verbindung zwischen der Kettenregel und der DGL. Ich seh's nicht, tut mir leid.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.9, eingetragen 2011-06-29
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Hallo, leite dochmal y(x)^2 nach der Kettenregel ab.
Viele Grüße,Sonnhard.
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gaussmath
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2011-06-29
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Integriere einfach beide Seiten. Das Integral von 2 y y' ist...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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dietmar0609
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| Beitrag No.11, eingetragen 2011-06-29
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(y^2)' = d/dx (y^2) = 2*y*y'
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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Delgetti
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-29
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Wo liegt mein Fehler?
\
f(x) = u (v(x))
f'(x) = u' v(x) v'
(y^2)'
u = '
v = y^2
u' = d/dx
v' = 2y
u' * v(x) * v' = d/dx * y^2 * 2y = dy^2/dx * 2y
aber y' = dy/dx
wie komme ich denn auf (y^2)' = 2 * y * y'?
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dietmar0609
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| Beitrag No.13, eingetragen 2011-06-29
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Das ist die Kettenregel ...
Leite mal z.B.
y = (f(x))^2
f(x)= sin(x)
ab !
[ Nachricht wurde editiert von dietmar0609 am 29.06.2011 22:51:58 ]
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Dixon
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| Beitrag No.14, eingetragen 2011-06-29
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Kettenregel...
\
f(g(x)) = f(y) = y^2 , mit y = y(x)
Also:
diff(f,x) = diff(f,g) * diff(g,x) = diff(y^2,y) * diff(y,x) = 2y*y'
Aus Deinen Ausführungen werde ich nicht schlau.
Grüße
Dixon
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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Delgetti
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-29
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@dietmar0609: cos(x) * 2 sin(x)
@Dixon: ok, jetzt hab ich's geschnallt. Ich probier mich noch mal an der DGL.
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dietmar0609
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| Beitrag No.16, eingetragen 2011-06-29
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Bravo ...
Wende das Ganze jetzt im Themenstart an und du siehst:
Das Substitutieren wird überflüssig .....
und die Dgl. wird gaaaaaaaaaanz einfach.
Gruss Dietmar
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Delgetti
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-29
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\
int(1/y^2,y) = int(1,x) ??
Falls richtig, setze ich jetzt die Anfangswerte für y oder y' ein?
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dietmar0609
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| Beitrag No.18, eingetragen 2011-06-29
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nein, du integrierst ....
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Delgetti
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-29
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Ich meinte nach dem Integrieren.
\
[-1/y] = [x]
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dietmar0609
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| Beitrag No.20, eingetragen 2011-06-30
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Da du 2 mal integriert hast, fehlen noch 2 Konstanten. Bau die an den richtigen Stellen ein und bestimme sie.
Gruss Dietmar
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Dixon
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| Beitrag No.21, eingetragen 2011-06-30
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Hallo delgetti,
jetzt mal ganz langsam:
\quoteon(2011-06-28 20:05 - Delgetti im Themenstart)
\
y'' = 2 y y' mit AW: y(\pi/4) = 1 und y'(\pi/4) = 2
\quoteoff
Und wir wissen jetzt folgendes:
y'' = 2 y y'
(y')' = (y^2)'
Links und rechts steht eine Ableitung (nach derselben Größe). Das
bedeutet, was da jeweils ohne Ableitung steht ist gleich bis auf
eine additive Konstante:
y' = y^2 + C_1
... denn dieser Vorgang stellt eine Integration dar. Wie
Integration und Differentation verknüpft sind sollte Dir bekannt
sein.
Grüße
Dixon
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Delgetti
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-30
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Achso.
Na jetzt ist auch zu spät. Die Prüfung hab ich heute geschrieben und autonome DGL 2. Ordnung kamen gar nicht ran. Also heißt es: rm -rf ./dgl 
Danke für eure Hilfe.
[ Nachricht wurde editiert von Delgetti am 30.06.2011 15:42:01 ]
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
dietmar0609
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| Beitrag No.23, eingetragen 2011-06-30
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Wär trotzdem schön, wenn Du für die Nachwelt die Lösung noch zu Ende bringen würdest.
Gruss Dietmar
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