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Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » y''=c/y^2 [war;Gravitationsgleichung]
Autor
Universität/Hochschule y''=c/y^2 [war;Gravitationsgleichung]
Kofi
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  Themenstart: 2011-07-01

Gegeben ist die Differentialgleichung \ r'' = - \gamma/r^2, mit r(0) = r_0>0, r'(0) = v_0>0 also die eindimensionale Bewegung im Schwerefeld der Erde. Hier gibt es ja jetzt den Trick, das ganze umzuformen zu r'^2 = 2\gamma/r + C, wobei C =v_0^2 - 2\gamma/r_0 Für C>0 ist klar, was passiert: r geht gegen unendlich für t gegen unendlich. Für C<=0 ist dies nicht so klar. Daraus folgt, dass r auf jeden Fall beschränkt sein muss, aber es soll herauskommen, dass r' irgendwann Null wird, wonach das Teilchen wieder "zurückfällt". Warum aber kann es nicht den asymptotischen Fall geben, dass r zwar streng monoton steigt, aber beschränkt bleibt?

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Dr_Sonnhard_Graubner
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  Beitrag No.1, eingetragen 2011-07-01

Hallo, wie hast du denn die Gleichung gelöst? Viele Grüße,Sonnhard.

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Kofi
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-07-01

\ "Physikertrick": Man definiert U(r) = int(\gamma/s^2,s,r_0,r) = \gamma/r - \gamma/r_0, und erhält r'' = -U'(r) => r''r' = - U'(r)r' => d/dt (1/2r')^2 = -d/dt U(r) und damit r'^2 = -U(r) + C, wobei sich die Konstante durch einsetzen von 0 als v_0^2 entpuppt. [ Nachricht wurde editiert von Kofi am 01.07.2011 19:21:48 ]

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Dr_Sonnhard_Graubner
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  Beitrag No.3, eingetragen 2011-07-01

Hallo, diesen Trick kenne ich,ich meine deine Konstante. Viele Grüße,Sonnhard. [ Nachricht wurde editiert von Dr_Sonnhard_Graubner am 10.07.2011 10:11:29 ]

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Kofi
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2011-07-01

\ Na, indem ich bei dieser Gleichung alles einsetze: r'^2 = -U(r) + const. U ist bekannt, und const ergibt sich aus den Anfangsbedingungen durch Einsetzen von 0.

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