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 Aufgabe 1 2. Runde Bundeswettbewerb Mathematik 1971 |
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Lithiumoxid
Aktiv 
Dabei seit: 09.03.2011
Mitteilungen: 87
 |  Themenstart: 2011-08-25
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Guten Tag,
ich bin soeben auf folgende Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik 1971 gestoßen, für die ich spontan keinen Ansatz habe. Was meint ihr dazu?
a, b, c, d sind natürliche Zahlen mit ab = cd. Daraus folgt, daß a^2 + b^2 + c^2 + d^2 keine Primzahl ist.
Man formuliere und beweise auch eine Verallgemeinerung dieses Satzes.
Im Falle, dass a b c d gerade sind, ist es keine Primzahl.
Wenn es eine gerade Anzahl an ungeraden Zahlen in a b c d gibt, dann ist es auch keine Primzahl - ist ja logisch. Was aber wenn es eine ungerade Anzahl an ungeraden Zahlen in a b c d gibt? Und wie kann man soetwas beweisen?
Vielen Dank im Voraus,
Lithiumoxid
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mathor
Senior 
Dabei seit: 11.11.2008
Mitteilungen: 1557
 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-08-25
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Hallo Lithiumoxid,
es kann dann natürlich nur eine ungerade Zahl sein, drei geht nicht.
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Lithiumoxid
Aktiv
Dabei seit: 09.03.2011
Mitteilungen: 87
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-25
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Hi mathor,
stimmt! Sonst gäbe es ja einen Widerspruch bezüglich der Bedingung ab=cd. Das heißt eine der Zahlen a b c d ist ungerade, der Rest in gerade. Aber wie argumentiert man da jetzt weiter? Wir haben doch eine Summe und kein Produkt da stehen, da kann doch alles mögliche herauskommen.
Gruß, Lithiumoxid
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Undertaker
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.10.2006
Mitteilungen: 1259
| Beitrag No.3, eingetragen 2011-08-25
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Ich weiß nicht, ob es etwas bringt, aber wegen ab=cd liegt ja eine Umformung der Gestalt:
a^2+b^2+c^2+d^2=a^2+b^2+2ab+c^2+d^2-2cd=(a+b)^2+(c-d)^2
nahe. Aber wie gesagt, ich weiß nicht, ob man damit irgendetwas besser erkennt. Man hat es jetzt im Wesentlichen auf zwei Quadrate reduziert.
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mathor
Senior 
Dabei seit: 11.11.2008
Mitteilungen: 1557
| Beitrag No.4, eingetragen 2011-08-25
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\
Hmmm, wie es weiter geht weiss ich natürlich nicht. Aber vielleicht helfen folgende Beobachtungen weiter, denn Primzahlen als Summe von vier Quadraten ist durchaus ein zahlentheoretisches Thema. Vielleicht findet im Beweis irgendein "Trick".
p = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a+b)^2 + (c-d)^2 = (a-b)^2 + (c+d)^2
p^2 = (a^2-b^2)^2 + (c^2-d^2)^2 + ((a+b)(c+d))^2 + ((a-b)(c-d))^2
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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ZetaX
Senior
Dabei seit: 24.01.2005
Mitteilungen: 2804
Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.5, eingetragen 2011-08-25
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Unter der Voraussetzung ist a^2+b^2+c^2+d^2 = (a+b)^2 + (c-d)^2 = (a-b)^2 + (c+d)^2. Jetzt gilt zum Beispiel, dass eine Primzahl bis auf Vorzeichenwechsel auf höchstens eine Weise als Summe von zwei Quadraten darstellbar ist.
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Lithiumoxid
Aktiv
Dabei seit: 09.03.2011
Mitteilungen: 87
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-25
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Hallo zusammen,
ich verstehe nur nicht, was man mit diesen Informationen anfangen kann? Vor allem mit deiner letzt genannten Information.
Gruß, Lithiumoxid
[ Nachricht wurde editiert von Lithiumoxid am 25.08.2011 12:02:44 ]
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Undertaker
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.10.2006
Mitteilungen: 1259
| Beitrag No.7, eingetragen 2011-08-25
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Ich verstehe das so:
Wenn p eine Primzahl ist, lässt sie sich bis auf Vorzeichenwechsel auf höchstens eine Art und Weis als Summe zweier Quadratzahlen schreiben.
Die Umformung zeigt jedoch, dass wir schon zwei Varianten dieser Darstellung gefunden haben. Deshalb kann p keine Primzahl sein.
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Undertaker
Ehemals Aktiv
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Mitteilungen: 1259
| Beitrag No.8, eingetragen 2011-08-25
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In welche Richtung soll dann eigentlich die verlangte Verallgemeinerung gehen?
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
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Wohnort: Wien
 | Beitrag No.9, eingetragen 2011-08-25
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Hallo Undertaker!
\quoteon(2011-08-25 12:11 - Undertaker in Beitrag No. 7)
Die Umformung zeigt jedoch, dass wir schon zwei Varianten dieser Darstellung gefunden haben.
\quoteoff
Nein, das wäre (auch wenn es einfach ist) erst zu beweisen  !
Liebe Grüße, Franz
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Undertaker
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Dabei seit: 17.10.2006
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| Beitrag No.10, eingetragen 2011-08-25
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Diesen Beweis habe ich implizit vorausgesetzt. Wenn man annimmt, dass beide Darstellungen identisch sind, führt das auf die Gleichungen:
c+d=a-b
c-d=a+b
Man erhält durch Addition z.B. dass c=a gilt. Deshalb müsste d=-b sein, was durch die Einschränkung auf natürliche Zahlen (ich nehme mal an, die Null gehört dort nicht dazu) unmöglich ist.
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
ZetaX
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| Beitrag No.11, eingetragen 2011-08-25
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Man kommt auch damit weiter, das es w,x,y,z gibt so dass a=wx, b=yz, c=wy, d=xz ist. Das liefert vermutlich auch die intendierte Verallgemeinerung; eine Frage nach einer solchen ist trotzdem bescheuert, da nicht klar ist, was das überhaupt heißen möge, und die Aufgabensteller wohl genau das hören wollen.
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mathor
Senior
Dabei seit: 11.11.2008
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| Beitrag No.12, eingetragen 2011-08-25
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Gibt es für die eindeutige Summe von Quadraten Aussage einen elementareren Beweis als über die ZPE Eigenschaft von Z[i]? Der wäre hier ja auf diesem Niveau auch sicherlich gefragt.
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ZetaX
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2011-08-25
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Ja, ich habe mal einen gepostet. Den wiederzufinden könnte aber aufwendiger sein, und neu aufschreiben möchte ich ihn eigentlich auch nicht.
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ZetaX
Senior
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| Beitrag No.14, eingetragen 2011-08-25
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mathor
Senior
Dabei seit: 11.11.2008
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|  Beitrag No.15, eingetragen 2011-08-25
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
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| Beitrag No.16, eingetragen 2011-08-25
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\quoteon(2011-08-25 12:33 - Undertaker in Beitrag No. 10)
... natürliche Zahlen (ich nehme mal an, die Null gehört dort nicht dazu)
\quoteoff
\
Ja____, denn andernfalls wäre der Satz falsch__, wie das einfache Gegenbeispiel a=c=1, b=d=0 zeigt \(für das natürlich
a^2+b^2+c^2+d^2=2\el\IP
prim ist, obwohl die Voraussetzung ab=cd wegen b=d=0 => ab=0=bd natürlich erfüllt ist).
\quoteon(2011-08-25 12:33 - Undertaker in Beitrag No. 10)
Wenn man annimmt, dass beide Darstellungen identisch sind, führt das auf die Gleichungen:
c+d=a-b
c-d=a+b
\quoteoff
\
Nein____, diese Annahme führt auf
(abs(a+b)=abs(a-b)\and\ abs(c-d)=abs(c+d))\or\ (abs(a+b)=abs(c+d)\and\ abs(a-b))=abs(c-d))
Das ist \(wenn wir o.B.d.A. a>=b>0\and\ c>=d>0 annehmen) mit
a=c\and\ b=d
gleichwertig. Dann wäre aber a^2+b^2+c^2+d^2=2*(a^2+b^2)\el\IP eine gerade__ Primzahl, woraus a^2+b^2=1 folgt \(was in Widerspruch zu
a>=b>0 => a^2>=b^2>=1 => a^2+b^2>=2>1
steht).
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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