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  Höchster Koeffizient bei einer linearen DGL n-ter Ordnung |
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Chris311
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 |  Themenstart: 2011-10-14
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\
Hallo,
lineare Dgl. n-ter Ordnung werden so eingeführt, dass der höchste Koeffizient a_n (x) != 0 sein soll.
Angesichts der Picard-Lindelöf-Sätze treffen wir die Annahme a_n (x) ==1.
Welche Aussage kommt hier genau zum tragen?
Ich kenne den Eindeutigkeits- und Existenzsatz von Picard-Lindelöf.
Es scheint sich ja um etwas wie eine Division der Dgl. durch a_n (x) zu handeln; ich sehe allerdings nicht den Zusammenhang zum Picard-Lindelöf.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Liebe Grüße
Chris
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calc
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-10-14
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Hallo,
wenn der höchste Koeffizient an=0 wäre, dann wäre die Differentialgleichung eine Ordnung weniger, weil dn/dxn ja mit null multipliziert wäre. Wenn an aber nicht null wäre, kannst du die Gleichung – wie bereits vermutet – stets durch an dividieren, sodass am Ende der neue höchste Koeffizient 1 ist. Picard-Lindelöf scheint von dieser Gleichung weg zu starten.
Grüße, calc
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Chris311
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-14
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Hallo calc und vielen Dank für deine schnelle Antwort.
\quoteon(2011-10-14 10:26 - calc in Beitrag No. 1)
Picard-Lindelöf scheint von dieser Gleichung weg zu starten.
\quoteoff
Kannst du das ein wenig mehr ausführen? Ich weiß immernoch nicht, warum Picard-Lindelöf hier überhaupt erwähnt wird.
Liebe Grüße
Chris
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calc
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| Beitrag No.3, eingetragen 2011-10-14
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Hallo,
Picard-Lindelöf liefert ja die Eindeutigkeit der Lösung von y'=f(x,y) unter den entsprechenden Voraussetzungen – und diese Gleichung ist bereits mit a1=1 entsprechend hergerichtet, wie du oben beschrieben hast. Wenn ihr auch also auf diesen Satz bezieht, dann muss es möglich sein, dass die Differentialgleichung in diese Gestalt gebracht werden kann.
Grüße, calc
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Chris311
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-14
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\
Hm, aber nach Picard-Lindelöf wissen wir dann doch erstmal nur, dass beide Dgl. eine eindeutige Lösung besitzen. Aber woher weiß man, dass es für beide Dgl. dieselbe ist?
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calc
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| Beitrag No.5, eingetragen 2011-10-14
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Hallo,
solange es sich um eine Äquivalenzumformung handelt, sind
a_1\.y'+g(x,y)=0
und
y'+g(x,y)/a_1=:y'+f(x,y)=0
dasselbe.
Grüße, calc
[ Nachricht wurde editiert von calc am 14.10.2011 10:45:18 ]
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Chris311
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-14
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\
Ja, so meinte ich das auch im Eingangspost. Warum reicht diese Aussage nun nicht alleinestehend?
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calc
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| Beitrag No.7, eingetragen 2011-10-14
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Welche Aussage reicht nicht alleinestehend?
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Chris311
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-14
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Die aus no.5
Anscheinend braucht man auch noch Picard-Lindelöf.
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calc
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| Beitrag No.9, eingetragen 2011-10-14
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Hallo,
nein, du brauchst nicht Picard-Lindelöf für diese Aussage, sondern Picard-Lindelöf beginnt dabei, dass an=1 ist, d.h. um Picard-Lindelöf zu verwenden musst du die Gleichung erst einmal in die geforderte Gestalt bringen (können).
Dass an≠0 ist, hat mit dem Satz ansich nichts zu tun, sondern gehört zur davon unabhängigen Definition der Differentialgleichung n.ter Ordnung (welche der Satz selbst wiederum dann sehr wohl als erfüllt voraussetzt).
Hast du das gemeint oder stehe ich gerade gehörig auf der Leitung, worauf du hinausmöchtest?
Grüße, calc
[ Nachricht wurde editiert von calc am 14.10.2011 11:11:58 ]
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Chris311
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-14
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Achso, das heißt ich brauche Picard-Lindelöf um sicherzustellen, dass ich nach der Äquivalenzumformung immer noch nur genau eine Lösung habe?
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calc
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| Beitrag No.11, eingetragen 2011-10-14
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Ach in diese Richtung denkst du … nein, nicht ganz, sondern eher in die andere Richtung:
Zuerst einmal definiert ihr, was eine Differentialgleichung n.ter Ordung ist. Daraufhin (mit sicherlich einigen Zwischenschritten/resultaten) kommt der Satz von Picard-Lindelöf: Er garantiert dir, dass eine Differentialgleichung entsprechender Ordnung (und damit wird vorausgesetzt, dass die Definition erfüllt ist) von obiger Gestalt (damit wird vorausgesetzt, dass ihr die gewünschte Gleichung in diese Gestalt bringen könnt, ansänsten wäre das gewünschte Resultat unbedingt richtig) mit noch 1,2 Zusatzbedingungen -- und jetzt kommt die Aussage, die unter den genannten Voraussetzungen gültig ist: -- eine (loakl) eindeutige Lösung besitzt.
Grüße, calc
[ Nachricht wurde editiert von calc am 14.10.2011 11:25:27 ]
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Chris311
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-14
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\
Ok, so wie ich dich jetzt verstande habe sieht es so aus:
Picard-Lindelöf liefert die lokale Eindeutigkeit einer Lösung der linearen Dgl. n-ter Ordnung, da man jede solche auf die Form
Y'=F(x,Y)
bringen kann.
Ungeachtet dessen kann jede lineare Dgl. n-ter Ordnung auf die Form
a_n(x)y^(n) + a_(n-1)(x)y^(n-1)+...+a_1(x)y'+a_0(x)y = f(x)
mit a_n(x) == 1 gebracht werden.
Wenn das so weit in Ordnung ist, folgt auch gleich die nächste Frage :-)
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calc
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| Beitrag No.13, eingetragen 2011-10-14
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Hallo,
also der Picard-Lindelöf, den ich kenne, liefert dir die Existenz und Eindeutigkeit für y'=f(x,y) ‐ das wäre eine DGL erster und nicht n.ter Ordnung (wenn du in deiner Quelle mehrere Resultate hast, dann ws. ja).
Aber: nicht da man die DGL in diese Form bringen kann, sondern wenn man die DGL in diese Form bringen kann (auch wenn mir jetzt ad hoc kein Beispiel einfällt, könnte an ja vielleicht so ausgefallen sein, dass nach der Division irgendeine andere Voraussetzung des Satzes nicht mehr erfüllt sein könnte).
Ja, kann sie (sowahr eben an(x)≠0 gilt und die Umformung eine Äquivalenzumformung ist).
Grüße, calc
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Chris311
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-17
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\quoteon(2011-10-14 11:44 - calc in Beitrag No. 13)
also der Picard-Lindelöf, den ich kenne, liefert dir die Existenz und Eindeutigkeit für y'=f(x,y) ‐ das wäre eine DGL erster und nicht n.ter Ordnung (wenn du in deiner Quelle mehrere Resultate hast, dann ws. ja).
\quoteoff
\
Mein Picard-Lindelöf auch. Aber man kann ja immer folgendes machen:
y^(n)+sum(a_\nue y^(\nue),\nue=0,n-1)=f(x) <=>
y_1 ' = y_2
y_2 ' = y_3
.
.
.
y_(n-1) ' = y_n
y_n ' = -a_0 y_1 - a_1 y_2 - ... - a_(n-1) y_n + f(x)
<=> Y' =: A(x)Y+b(x)=:F(x,Y),
wobei Y = (y_1;.;.;.;y_n) = (y;y';.;.;.;y^((n-1))), A=(0,1,0,.,.,.,0;0,0,1,0,.,.,0;,,,.,,,;,,,,.,,;,,,,,.,;,,,,,,1;-a_0,-a_1,.,.,.,.,-a_(n-1)), b(x):=(0;.;.;.;f(x)).
Damit lässt sich anscheinend jede Dgl. n-ter Ordnung auf eine Dgl. erster Ordnung bringen...
Liebe Grüße
Chris
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LutzL
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2011-10-17
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Richtig.
und wenn die Matrixeinträge stetig sind, dann ist die Lipschitz-Bedingung erfüllt. Polstellen nach Division durch a_n wären da hinderlich.
Ciao Lutz
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Chris311
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-17
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\
Ok, aber warum man nun Picard-Lindelöf für die Annahme a_n == 1 braucht, will mir immernoch nicht einleuchten. Den braucht man doch hier gar nicht. Handelt sich doch nur um Umformungen. Tut mir leid, wenn das irgendwie an mir vorbeigegangen ist, und ihr es schon ein paar Mal gesagt habt...
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LutzL
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| Beitrag No.17, eingetragen 2011-10-17
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Hi,
das ergibt sich aus der Umschreibung in ein System, so wie von Dir erklärt. Damit sich genau diese Matrix ergibt, muss a_n=1 sein, wie Du an dem fehlenden Koeffizienten vor der höchsten Ableitung siehst.
Ciao Lutz
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Chris311
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-21
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Hallo ihr beiden.
Ich habe mir dieses Thema nochmal genauer angeschaut und glaube im folgendem Beitrag steht alles was ich wissen muss:
\quoteon(2011-10-14 11:24 - calc in Beitrag No. 11)
Zuerst einmal definiert ihr, was eine Differentialgleichung n.ter Ordung ist. Daraufhin kommt der Satz von Picard-Lindelöf: Er garantiert dir, dass eine Differentialgleichung entsprechender Ordnung von obiger Gestalt mit noch 1,2 Zusatzbedingungen -- und jetzt kommt die Aussage, die unter den genannten Voraussetzungen gültig ist: -- eine (loakl) eindeutige Lösung besitzt.
\quoteoff
In eigenen Worten:
Wenn ich eine Dgl. n-ter Ordnung auf diese Form bringen kann, dann garantiert mir der Picard-Lindelöf (mit diesen Zusatzbedingungen), dass dieses eine (lokal) eindeutige Lösung besitzt. Das bedeutet, dass die Lösung die gleiche wie vor der Umformung ist; zumindest auf einer Umgebung.
Vielen Dank für die Hilfe.
Liebe Grüße
Chris
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Chris311
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-21
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\quoteon(2011-10-17 14:16 - LutzL in Beitrag No. 17)
Hi,
das ergibt sich aus der Umschreibung in ein System, so wie von Dir erklärt. Damit sich genau diese Matrix ergibt, muss a_n=1 sein, wie Du an dem fehlenden Koeffizienten vor der höchsten Ableitung siehst.
Ciao Lutz
\quoteoff
Ich habe das überprüft; das stimmt wohl, hat aber nichts mit Picard-Lindelöf zu tun; und meine Frage war ja wozu ich hier Picard-Lindelöf brauche.
Liebe Grüße
Chris
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LutzL
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| Beitrag No.20, eingetragen 2011-10-21
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Hi,
also irgendwie solltest Du mal Deine Gedanken sortieren. Es soll Picard-Lindelöf auf eine lineare DGl. angewandt werden. Um deren lokale eindeutige Lösbarkeit zu zeigen.
Um sich etwas Schreibarbeit zu sparen, trifft man die Annahme a_n=1, ansonsten müsste man bei Aufstellen des Systems immer a_k/a_n schreiben.
Und was ist nun Dein Problem?
Ciao Lutz
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Chris311
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-21
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\quoteon(2011-10-21 15:10 - LutzL in Beitrag No. 20)
Es soll Picard-Lindelöf auf eine lineare DGl. angewandt werden. Um deren lokale eindeutige Lösbarkeit zu zeigen.
Ciao Lutz
\quoteoff
Wer sagt das?
Problem ist und war folgendes:
\
Man betrachtet eine lineare Dgl. n-ter Ordnung mit a_n(x) !=0.
Angesichst der Picard-Lindelöf Sätze treffen wir dann die Annahme, dass a_n(x)==1.
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LutzL
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| Beitrag No.22, eingetragen 2011-10-21
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Ja, und?
Es ist eine, wie oben mehrfach diskutiert, triviale, Vereinfachung der DGl.
Man hätte auch schreiben können: Wir wenden jetzt Pic-Lin auf die DGl. an. OBdA sei a_n=1.
Bzw.: Angesichts der nachfolgenden Diskussion von Pic-Lin treffen wir die Annahme a_n=1.
Wie gesagt, es hält einfach die Notation etwas lesbarer.
Ciao Lutz
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Chris311
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-21
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\
Ok. Um meine Aussage zu bekräftigen, dass man Picard-Lindelöf überhaupt nicht braucht, mach ichs einfach mal ohne selbigen vor.
\big\ (Die lineare Dgl. n-ter Ordnung)__
Seien I \subset \IR Intervall, a_\nue, f \in C(I), \nue=0,...,n, a_n(x)!=0. Dann heißt die Dgl.
\ll(*) a_n(x) y^(n)+a_(n-1)(x) y^((n-1)) + ... + a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x), x \in I
(lineare Dgl. n-ter Ordnung)__.
a_n(x) == 1, denn
\ref(*) <=> y^(n)+(a_(n-1)(x))/a_n(x) y^((n-1)) + ... + (a_1(x))/a_n(x) y' + (a_0(x))/a_n(x) y = f(x)/a_n(x)
Fertig, ohne Picard-Lindelöf.
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calc
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| Beitrag No.24, eingetragen 2011-10-21
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Hallo,
stimmt, Picard-Lindelöf hast du hier nicht angewandt, weil du nichts gelöst hast. Für die Umformung der Gleichung brauchst du den Satz auch nicht.
Wenn du aber sichergehen willst oder für irgendetwas brauchst, dass es eine Lösung der obigen Gleichung gibt, dann garantiert dir dies Picard-Lindelöf jetzt.
Du verirrst dich offensichtlich darin, dass Picard-Linelöf dir diese Umformung irgendwie macht – das ist aber falsch. Erst nachdem du deine oben geschriebene Umformung getätigt hast, ist nun Picard-Lindelöf mit seiner Lösungsexistenzgarantie an der Reihe.
Grüße, calc
[ Nachricht wurde editiert von calc am 21.10.2011 19:49:04 ]
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Chris311
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Dabei seit: 23.01.2008
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-21
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Soll ich dir was sagen...genauso sehe ich das auch.
Das im Skript aber steht, dass man angesichts der Picard-Lindelöf-Sätze diese Annahme trifft gefällt mir gar nicht; denn das besagt ja, dass man mithilfe von Picard-Lindelöf folgert, dass a_n == 1 ist.
[ Nachricht wurde editiert von Chris311 am 21.10.2011 20:26:44 ]
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calc
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| Beitrag No.26, eingetragen 2011-10-21
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Hallo,
also wenn das so im Skriptum steht, dass man "angesichts der Sätze" etc. diese Wahl trifft, dann bedeutet das doch einfach nur, dass man diese Wahl von vorneherein gleich trifft, um nachher die Sätze ohne weitere entsprechende Bemerkung anwenden zu können … oder wie steht es genau im Skript bzw. was stört dich an dieser Formulierung?
Grüße, calc
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Chris311
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-21
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Ok, ich glaube ich missinterpretiere das.
Anscheinend teile ich ja eure Ansichten, dann muss es stimmen.
Wahrscheinlich weil ich das "angesichts" als "aufgrund" interpretiere.
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calc
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| Beitrag No.28, eingetragen 2011-10-21
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Ok, das erklärt, dass wir etwas aneinander vorbeizureden schienen … nein, also "angesichts" liest sich auch als etwas der Art "in weiser Voraussicht" oder auch "weil [dir das später brauchen werden]" o.ä.
[ Nachricht wurde editiert von calc am 21.10.2011 21:22:42 ]
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Chris311
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-21
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Ok, dann ist alles klar. Fehlinterpretation meinerseits.
Vielen Dank für eure Geduld mit mir...
Liebe Grüße
Chris
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Chris311 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Chris311 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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