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 Mengen und Wurzeln |
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Cinimod
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 06.07.2002
Mitteilungen: 340
 |  Themenstart: 2002-08-05
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Ich habe mal folgende Fragen Mengen und Wurzeln:
Da steht:
Frage 1:
Für endliche Mengen A und B gilt: |A u B| = |A| + |B| - |A n B|
(Das in der Mitte sollen zwei Halb-Bögen sein!)
Diese Aussage verstehe ich nicht ganz. Nehmen wir die Menge Mensch.
Es gibt kleine und grosse Mensche, also Menge A und Menge B.
Die Mächtigkeit der Vereinigung von A und B soll gleich der Mächtigkeit
von A und B sein, minus der Mächtigkeit ihres Durchschnittes. Stimmt das so? Die Mächtigkeit von der Vereinigung von A und B sind alle kleinen und grossen Menschen -> |A u B|. Sie bestehen aus kleinen und
grossen Mensch -> = |A| + |B|. Soweit verstehe ich das ja auch. Aber nun wird der Durchschnitt der Mächtigkeit von A und B subtrahiert.
-> - |A n B|. Da es nur der Durchschnitt ist, würde das doch bedeuten,
dass ein paar grosse und kleine Menschen übrig bleiben. Somit wäre
die Aussage doch nicht erfüllt, oder?
Frage 2:
In einer Aufgabe heisst es, wie folgt:
Sie N die Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3... und
A = {x e N: 1 <= x <= 7}
B = {y: y ist Primzahl}.
Man bestimme A n B.
Wieso kommt da nun {2,3,5,7} raus? Es wird doch nach dem Durchschnitt
gefragt, also nach der Menge der Elemente, die sowohl zu A, als auch zu
B gehören. Pi = 3.141. Geht also über ca. 3 nicht hinaus. Woher kommt dann die 5 und die 7.
Frage 3:
Was mich schon immer mal interessiert hat, woher der Wurzelbegriff eigentlich kommt. Kennt da jemand zufällig einen Link? Ich möchte wissen, wer dieses Zeichen "erfunden" hat etc. Alles zur Wurzel, aber
bitte keine komplizierten Rechenregeln - die kommen später. Der Ursprung interessiert mich viel mehr. Warum ist die Wurzel von 2 eigentlich 1.4? Klar, wenn ich es in meinen Taschenrechner eingebe, kommt das raus. Aber die Mathematiker früher hatten keinen. Wie haben die das rausgekriegt?
Hoffe mich einigermassen verständlich ausgedrückt zu haben :-)
Vielen Dank für Antworten im voraus!
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Ende
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-08-05
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Hallo, Cinimod!
Zu Frage 1:
Die Begriffe gross und klein sind natuerlich sehr schwammig. Theoretisch koennte es Menschen geben, die gleichzeitig gross und klein sind. [Ist man mit 1,75m gross oder klein oder beides?]
Nun seien A die Menge der grossen Menschen, B die Menge der kleinen Menschen.
Die Anzahl der grossen und kleinen Menschen |AuB| kann man nun wir folgt berechnen:
Zaehle die grossen Menschen (|A|), die kleinen Menschen (|B|) und addiere beides.
Nun koennte es ja, wie gesagt sein, dass es Menschen gibt, die gleichzeitig gross und klein sind. Da diese Menschen nun zweimal gezaehlt wurden, ziehst Du sie einmal wieder ab, indem Du alle Menschen zaehlst, die gross UND klein sind (|AnB|) und das Ergebins subtrahierst.
Wenn Deine Definition von gross und klein sehr genau ist, und es eben doch keine Menschen geben kann, die gleichzeitig gross und klein sind, dann ist |AnB| = 0, und die Formel vereinfacht sich zu |AuB| = |A| + |B|.
Zu Frage 2:
Diese Frage verstehe ich ueberhaupt nicht. Wie kommst Du denn da so ploetzlich auf das Pi? Das wird doch in der Aufgabe ueberhaupt nicht erwaehnt? 
Zu Frage 3:
Wer das Wurzelzeichen erfunden hat, weiss ich nicht. Bestimmt irgendein Franzose. Das kannst Du sicher selbst recherchieren.
Zur Approximation des Wertes von Wurzel 2 gibt es viele Verfahren. Das, das am meisten der Intuition entspricht geht wohl so:
Wurzel 2 liegt zwischen 1 und 2, denn 12 = 1 und 22 = 4.
Nun halbiere das Intervall von 1 bis 2. Es ist 1,52 = 2,25, also ist Wurzel 2 auch kleiner als 1,5.
Damit liegt also Wurzel 2 zwischen 1 und 1,5.
Nun halbiere wieder und probiere 1,25. Es ist 1,252 = 1,5625. Also ist Wurzel 2 groesser als 1,25.
Damit liegt also Wurzel zwei zwischen 1,25 und 1,5.
Dieses Verfahren kann man beliebig weiterfuehren, bis man die gewuenschte Genauigkeit erreicht hat.
Gruss, E. 
P.S.: Ist die Einordnung der Frage in die Kategorie 'Universität' eigentlich gewollt? Du klingst eher wie ein (interessierter) Schueler.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.2, eingetragen 2002-08-05
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Hallo,
zu 1) die Formel stimmt auf jedenfall. Wenn A die Menge aller großer Menschen sind, also sagen wir mal alle Menschen deren Größe >= 1.60 m ist und B die Menge aller kleiner Menschen, also deren Größe < 1.60 m ist. Dann ist natürlich im Durchschnitt von A und B kein Element drin, denn es gibt keinen Menschen, der gleichzeitig größer als 1.60m und kleiner als 1.60 m ist. Also sind alle Menschen zusammen:
|AUB| = |A|+|B| und |A Ç B| = 0. Das ist aber eine Sonderfall bei dem der Durchschnitt A Ç B leer ist . Man sagt dann, dass A und B disjunkt sind.
Was aber , wenn der Durchschnitt nicht leer ist?
Sei A die Menge aller Menschen die >= 1.60 m sind und B alle Menschen, die <= 1.80 m sind. Dann sind im Durchschnitt von A und B gerade die Menschen, die sowohl >= 1.60m sind als auch <= 1.80 m sind, also alle Menschen, deren Größe zwischen 1.60 und 1.80m liegt. Nun würden in der Formel |AUB| = |A|+|B| , die Menschen die in A UND B sind zweimal gezählt, nämich einmal in |A| und einmal in |B|, deshalb muss man diese nochmal abziehen, damit man das richtige Ergebnis erhält also |AUB| = |A|+|B|-|A Ç B|
zu 2) Eine Primzahl hat nichts mit PI zu tun! Eine Primzahl ist eine positive Zahl , die nur durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilbar ist.
Plex Inphinity
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Spock
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2002-08-05
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Hallo Cinimod,
das sehr schnell konvergierende rekursive Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel, was Dir Ende an einem Beispiel so schön erklärt hat, geht angeblich auf die alten Babylonier zurück, die das ca. 4000 Jahre vor Deiner Zeit benutzt haben, also lange bevor es Franzosen, Taschenrechner, Pentium, usw. gab. Es ist nicht nur beschränkt auf die Wurzel(2), sondern gilt für jede gegebene Zahl a > 0, für die man ein x > 0 finden will, so daß x² = a erfüllt ist.
Schade, daß Du keine "komplizierten Rechenregeln" magst, aber was macht Dich so sicher, daß Dein Taschenrechner richtig liegt?
Gruss
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Cinimod
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-08-05
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Hallo!
zu 1)
Die Mengen A und B müssen doch eigentlich disjunkt sein, denn
"A u B" ist wie folgt definiert: Die Menge aller Elemente, die zu einer Menge A "oder" zu einer Menge B gehören.
-> Es kann doch gar keinen Durchschnitt geben, wenn schon klar ist, dass die Elemente entweder zu A(gross) oder zu B(klein) gehören.
Deshalb müsste doch |A n B| leer sein. Dann wäre es aber überflüssig
"- |A n B|" zu schreiben, denn es ist ja leer. Oder? Wo liegt der Denkfehler?
zu 2) Sorry....hatte mich verlesen 
Vielen Dank für Antworten im voraus!
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
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Wohnort: Trier
 | Beitrag No.5, eingetragen 2002-08-05
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Ja, da hast du recht, im Falle, dass zwei Mengen disjunkt sind, gilt:
|AÈB| = |A| + |B|
Dort kann man "-|AÇB| weglassen, da es Null ist. Im Allgemeinen sind Mengen aber nicht disjunkt und deswegen muss man auch die angegebene Formel benutzen.
Gruss Siah
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Ende
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Wohnort: Kiel, Ostsee
| Beitrag No.6, eingetragen 2002-08-05
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Betrachte als Menge A die Menge A := {1, 2, 3, 4, 5} und als Menge B die Menge B := {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Wie gross sind |A u B|, |A|, |B| und |A n B|?
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Cinimod
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-08-06
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@Siah: Wenn es aber bereits so definiert ist, warum wird dann "- |A n B|" überhaupt geschrieben! Das würde doch gegen die Definition verstossen.
@Ende: |A| -> 5 und |B| -> 6.
|A n B| -> {3,4,5} Der Durschschnitt, bzw. Elemente, die in A
und B enthalten sind.
|A u B| -> Das wären die Elemente von |A| und |B| zusammen.
Aber, wenn gilt: |A u B|, dann muss |A n B| leer sein! Nach der Definition kann kein Durchschnitt vorhanden sein. Die Elemente gehören
entweder zur Menge A oder zur Menge B. Das würde bedeuten, dass die Mengen nur so aussehen können:
Menge A = {1,2,3,4}
Menge B = {5,6,7,8}
Sorry, wegen des vielen Nachfragens. Aber die Sache ist mir noch nicht
ganz schlüssig
Weiterhin Danke für Antworten im voraus!
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Siah
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| Beitrag No.8, eingetragen 2002-08-06
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Also, pass auf:
Wenn man zwei beliebige Mengen A,B betrachtet, dann kann man ja nicht davon ausgehen, dass ihre Schnittmenge AÇB leer ist. So. Will man nun die Mächtigkeit ( d.h die Anzahl der Elemente) ihrer Vereinigungsmenge |AÈB| bestimmen, so muss man die Mächtigkeit von A (also |A|) und die Mächtigkeit von B (also |B|) addieren, und dann noch die Mächtigkeit der Schnittmenge (also |AÇB|) genau einmal abziehen. Also ergibt sich als Formel für die Mächtigkeit zweier beliebiger Mengen A,B:
|AÈB| = |A| + |B| - |AÇB|
Sooo. Warum man die Schnittmenge noch einmal am Schluss abziehen muss kann man sehen, wenn man sich überlegt, was man macht.
Addiert man die Menge von Elementen von A zu der von B, dann hat man (falls die Schnittmenge nicht leer ist) die Elemente der Schnittmenge doppelt gezählt. Zeichne dirs mal auf. Deswegen subtrahiert man die Mächtigkeit der Schnittmenge am Schluss nochmal.
So besser?
Gruss Siah
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.9, eingetragen 2002-08-06
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Ende
Senior
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| Beitrag No.10, eingetragen 2002-08-06
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Hi, Dominic!
Jetzt scheint es mir, als haette ich Dein Problem erfasst.
Das mathematische 'oder' ist nie ein 'entweder ... oder'. Wenn man in der Mathematik sagt, dass ein Element x in einer Menge A oder in einer Menge B enthalten ist, dann ist durchaus auch zugelassen, dass es in beiden Mengen enthalten ist.
Gruss, E.
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Cinimod
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|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2002-08-06
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Beispiel:
Menge A = {1,2,3};
Menge B = {3,4,5};
In Diesem Fall ist "3" der Durchschnitt. Und dieser ist doppelt vorhanden, also muss er abgezogen werden -> -|A n B|, wenn man |A u B| haben möchte.
Jetzt habe ich das kapiert! Das mit dem "oder" war mir neu.
Vielen Dank für eure hilfreichen Antworten 
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