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 DGL 2. Ordnung |
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Kasia
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 09.12.2011
Mitteilungen: 24
 |  Themenstart: 2011-12-12
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Hallo Leute,
ich muss folgende DGL lösen: y''*y = 1 + y'^2
Hat einer von Euch einen Tipp, wie ich da rangehen soll?
Hab weder in Büchern noch im Internet etwas gefunden, das mir hilft.
Ich weiß, was rauskommt, der cosh, aber ich hätte gerne einen schönen Lösungsweg.
Schonmal vielen Dank,
Kasia
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2011-12-12
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Hallo
Integriere mal y``*y partiell.
mfgMrBean
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Kasia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 09.12.2011
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-12-12
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Hi,
danke für Deine Antwort!
Ich komme dann auf:
y' * y - int(y'^2,x,,) = int(1+y'^2,x,,)
und kann das dann zusammenfassen zu
y' * y = int(1+2*y'^2,x,,)
Ist das richtig so? Aber dann komme ich wieder nicht weiter.
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Kasia
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 09.12.2011
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2011-12-12
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Bzw kann ich ja dann noch:
int(1+y'^2,x,,) = int(1,x,,) + int(2*y'^2,x,,) = x + int(2*y'^2,x,,)
und bin dann bei
y' * y = x + int(2*y'^2,x,,)
das sieht aber auch nicht besser aus?!
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Ex_Senior
| Beitrag No.4, eingetragen 2011-12-12
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Hallo
Ich dachte das sich die Integrale "herauskürzen". So geht das leider nicht weiter.
Du musst folgendes machen
Setze u=y`
Dann kannst du umformen zu:
1/y=u*u`/(u^2+1)
int(1/y,y)=int(u*u`/(u^2+1),y)
mfgMrBean
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Kasia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 09.12.2011
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2011-12-13
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Danke für Deine Hilfe!!
Dann ist u(y) eine Funktion, ja? Und y betrachte ich als Variable?!
Dann bekomme ich aber doch:
y''*y=1+y'^2
=> u'*y=1+u^2
<=> y = (1+u^2)/u' (1)
<=> 1/y = u'/(1+u^2) (2)
Die linke Seite ist ja jeweils einfach zu integrieren, egal, ob man (1) oder (2) integriert. Aber bei der rechten Seite habe ich noch ein Problem.
Entweder muss ich u^2/u' oder u'/(1+u^2) intergrieren, und das krieg ich beides nicht hin. Partielle integration bringt nix, und Substitution auch nicht, weil u' ja die Ableitung von u ist.
Hast Du noch einen Tipp für mich?
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2011-12-13
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Hallo
Ich erkläre dir erstmal, wie die Beziehung aus Beitrag 4 entstanden ist.
u muss mithilfe der Kettenregel abgeleitet werden:
u`=du/dy*dy/dx=u*du/dy
Dadurch ergibt sich:
u*du/dy*y=u^2+1
u*du/dy/(u^2+1)*dy=1/y*dy
Um die linke Seite zu integrieren berechne die Stammfunktion von x/(x^2+1) oder schlage sie irgendwo nach.
mfgmrBean
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Kasia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 09.12.2011
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2011-12-13
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Dann komme ich als auf int(1/y,y,,) = int(u/(1+u^2),u,,)
<=> ln(y) = 1/2 * ln(u^2 + 1)
<=> y = e^(1/2) * (u^2 +1)
<=> y * e^(-1/2) -1 = u^2 = (y')^2
Stimmt das bis dahin? Und dann habe ich eine neue DGL?! Die sieht aber nicht mehr so schön aus wie die erste... Oder habe ich einen Fehler gemacht?
Liebe Grüße
Kasia
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2011-12-13
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Hallo
Das Integral hast du richtig gelöst, aber die anschießende Umformung ist falsch.
mfgMrBean
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Kasia
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 09.12.2011
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2011-12-13
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Hahahaha, ich habs :-)
dämlicher Fehler... log-Gesetze sollte man kennen...
ln(y) = 1/2 * ln(u^2+1)
<=> e^(ln(y)) = e^(1/2 * ln(u^2+1))
<=> y = e^(ln((u^2+^)^(1/2)))
<=> y = sqrt(u^2+1)
<=> y = sqrt(y'^2+1)
<=> y^2 = y'^2 +1
<=> y' = sqrt(y^2 -1)
und dann mit Trennung der Variablen:
int(1/(sqrt(y^2-1)),y,a,b) = int(1,x,a,b)
<=> arcosh(y) = x + c
<=> y = cosh(x+c)
Und genau das wollte ich haben. Sehr cool, vielen, vielen Dank!!!!
Und schönen Abend noch
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, eingetragen 2011-12-14
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Hallo
In der ersten Zeile hast du noch die Integrationskonstante vergessen.
Dadurch ergibt sich als Lösung:
y=c_1+cosh(x+c_2)
mfgMrBean
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Kasia hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kasia hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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