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  f Lipschitz-stetig, u''=f(u) |
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-Mathematicus-
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Mitteilungen: 157
 |  Themenstart: 2012-03-10
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Hallo liebe Matheplanetatier,
Habe beim Durchgehen von Klausuraufgaben Probleme bei folgender Aufgabe:
Vielleicht könnt ihr mir ja TIpps geben.
f: \IR->\IR Lipschitz-stetig, u:\IR->\IR Lösung von u``=f(u).
Ang. es ex. 2 Punkte x_1 < x_2 mit u`(x_1)= u`(x_2)=0.
Zeige: u ist periodisch mit Periode P= 2*(x_x-x_1), also U(x)=u(x+P) für alle x\el\IR.
Hinweis: betrachte v_1(y)=u(x_1+y) und w_1(y)=u(x_1-y) und zeige v_1=w_1.
Nach Satz von Picard-Lindelöf gilt doch dann dass es eine eindeutige Lösung u gibt , d.h. wenn ich zeige , dass v_1 und w_1 Lösungen der Dgl sind, sind sie gleich. ISt das die richtige Idee?
Da wüsste ich aber dann nicht wie ich das machen soll. Wäre dankbar für Denkanstöße .
Mfg Mathematicus
[ Nachricht wurde editiert von -Mathematicus- am 10.03.2012 21:15:14 ]
[ Nachricht wurde editiert von -Mathematicus- am 11.03.2012 01:08:20 ]
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haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1746
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| Beitrag No.1, eingetragen 2012-03-10
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Hallo,
kann es sein, dass Deine Aufgabenstellung so nicht ganz stimmt?
Schon die lineare DGL u''=u besitzt im Phasenraum hyperbelförmige
(nicht-periodische) Bahnen, die \u'(x_1) = u'(x_2)
erfüllen.
Ich vermute mal, es könnte
\
u'(x_1) = u'(x_2)=0
und weiter unten
\
v_1(y)=u(x_1+y) und w_1(y)=u(x_2-y)
oder so ähnlich heißen.
Könntest Du das noch mal überprüfen?
Viele Grüße,
haerter
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-Mathematicus-
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-03-11
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Hey @haerter. DU hast natürlich Recht. Sorry. Hab nicht aufgepasst. Jetzt habe ich es korrigiert
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haerter
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| Beitrag No.3, eingetragen 2012-03-11
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Hallo,
alles klar.
Damit kannst Du Deine Idee aus dem ersten Beitrag durchziehen.
Differenziere also $v_1$ und $w_1$ zweimal,
um zu sehen, dass sie die DGL lösen, stelle sicher, dass beide
dieselben Anfangsbedingungen(Plural!) erfüllen und schließe dann,
wie Du oben schon geschrieben hast, dass beide identisch sein müssen.
Dann musst Du noch ein geeignetes y einsetzen.
Viel Erfolg,
haerter
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-Mathematicus-
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-03-11
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@haerter. Danke für deine Antwort. Das habe ich jetzt versucht.
es gilt ja:
v_1 `(y)= u`(x_1+y),
v_1 ``(y)= u``(x_1+y)= f(u(x_1+y))=f(v_1(y))
analgog gilt w_1 ``(y)=f(w_1(y))
jetzt müssten noch die ANfangsbedingungen erfüllt sein: also
v_1 `(x_1)=v_1 `(x_2)=0 und das selbe mit w_2 damit es LÖsungen der Dgl sind.
v_1 `(x_1)=u`(2*x_1)
v_1 `(x_2)=u`(x_1-x_2) sehe aber nicht wieso das NUll sein soll
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haerter
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| Beitrag No.5, eingetragen 2012-03-11
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Hallo,
man muss da recht genau auf die Argumente achten.
Beide Lösungen $v_1(y)$ und $w_1(y)$ sind Funktionen von y mit $y\in[0,x_2-x_1]$, damit $v_1(0)=u(x_1)$ und $v_1(x_2-x_1)=u(x_2)$ wird.
Außerdem ist $w_1'(y)=-u'(x_1-y)$, was Du vermutlich als Zwischenschritt irgendwo berechnet, aber nicht hingeschrieben hast.
Berechne also mal $v_1(0)$, $w_1(0)$, $v_1'(0)$, $w_1'(0)$, $v_1(x_2-x_1)$, $v_1'(x_2-x_1)$, $w_1(x_2-x_1)$ und $w_1'(x_2-x_1)$ und schau mal, ob Du daraus dann die entsprechenden Schlüsse ziehen
kannst.
Viele Grüße,
haerter
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-Mathematicus-
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-03-14
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Hey @ haerter. Habe lange gebraucht obwohl du mir sehr gute und ausführliche Tipps gegeben hast. Aber jetzt habe ich es verstanden.
v_1 `(0)=0 = w_1 `(0)
und w_1(0)=v_1(0)=0 d.h.h wir haben für v_1 und w_1 dasselbe Anfangswertproblem die beide eindeutig lösbar sind da 2 anfangsbedingungen jeweils gegeben sind. SOmit müssen sie gleich sein
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-Mathematicus- hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
-Mathematicus- hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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