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 Lineare DGL mit nicht konstanten Koeffizienten |
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Cytrix
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 11.12.2008
Mitteilungen: 325
Wohnort: Köln
 |  Themenstart: 2012-03-12
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Hallo zusammen,
Enspurt in der Klausurvorbereitung, morgen ist es soweit :-)
Folgendes Problem:
Ich habe das Funktional T(u)=int(sqrt(1+u'(x)^2)f(x),x,-50,50). Ich nehme an es existiert ein Minimum in C^2[-50,50], dann erfüllt dieses Minimum die starke Form der Euler-Lagrange Gleichung. Wenn ich diese aufstelle und dann das Hauptlemma anwende, erhalte ich die DGL
(u'(x)f(x)/sqrt(1+u'(x)^2))'=0
Diese soll man nun nach Aufgabenstellung soweit es geht lösen.
Wenn ich also ableite erhalte ich:
(u''(x)f(x)-u'(x)f'(x))/(1+u'(x)^2)=0
<=>u''(x)f(x)-u'(x)f'(x)=0
Die Funktion f ist unbekannt. Kann man diese DGL noch weiter in Abhängigkeit von f lösen?
Viele Grüße, Cytrix
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-03-12
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Hallo, Cytrix,
das wäre u''/u' = f'/f, aber du hast dich oben beim Ableiten schon verechnet.
Wally
[ Nachricht wurde editiert von Wally am 12.03.2012 13:31:18 ]
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2012-03-12
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\quoteon(2012-03-12 10:01 - Cytrix im Themenstart)
Wenn ich also ableite erhalte ich ...
\quoteoff
Hi Cytrix,
warum tust du das?
Aus einer DGL der Form (...)' = 0 ergibt sich doch sofort (...) = C, wobei C eine (vorerst unbekannte) Konstante ist.
Dieser Ansatz scheint mir geeigneter zu sein.
Gruß Buri
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Cytrix
Ehemals Aktiv 
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-03-12
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\quoteon(2012-03-12 10:32 - Wally in Beitrag No. 1)
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Hallo, Cytrix,
u'/u'' = f'/f
und beide Seiten integrieren \(und die Konstante nicht vergessen\).
Wally
\quoteoff
Scheinbar stehe ich auf dem Schlauch, aber ich sehe nicht wie ich die linke Seite integrieren kann. Ich erhalte ja
int(1/u'',u)=int(f'(x)/f(x),x), die rechte Seite ist ja kein Problem, aber was mache ich mit dem linken Integral?
@Buri:
Diesen Ansatz hatte ich auch schon probiert, dabei komme ich aber auch nicht weiter.
Ich hätte ja dann u'(x)/sqrt(1+u'(x))=c/f(x)
=> int(1/sqrt(1+u'(x)),u)=int(1/f(x),x) und nun?
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
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| Beitrag No.4, eingetragen 2012-03-12
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\quoteon(2012-03-12 11:00 - Cytrix in Beitrag No. 3)
=> int(1/sqrt(1+u'(x)),u)=int(1/f(x),x) und nun?
\quoteoff
Hi Cytrix,
das ist völlig falsch.
Du hast das Quadrat bei u'2 vergessen.
Was da steht, ist keine DGL, sondern eine algebraische Gleichung für u', der Übergang zu einem Integral ist erst möglich, wenn du das nach u' aufgelöst hast.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 12.03.2012 11:06:16 ]
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.5, eingetragen 2012-03-12
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\
Oben geändert
[ Nachricht wurde editiert von Wally am 12.03.2012 13:32:20 ]
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Cytrix
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Dabei seit: 11.12.2008
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-03-12
|
Ok,
u'(x)/sqrt(1+u'(x)^2)=c/f(x) => u'(x)^2/(1+u'(x)^2)=c^2/f(x)^2
=>u'(x)=c/sqrt(f(x)^2-c^2)
=> u(x)=int(c/sqrt(f(x)^2-c^2),x) +c^-
So ok? Weiter kommt man wohl nicht?!
@Wally, das wäre eine Stammfunktion zu u''/u'?!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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