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 physikalische Einheiten |
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McDanielz
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.06.2012
Mitteilungen: 35
 |  Themenstart: 2012-08-04
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Hallo,
was ich schon immer mal wissen wollte und dazu praktisch nichts im Netz oder hier im Forum gefunden habe(vllt stell ich mich auch dumm an) ist die Frage, welche abstrakte Grundlagen den physikalischen Einheiten eigentlich zugrunde liegt. Also warum kann ich z.B. Einheiten addieren, multiplizieren oder sogar in einem Bruch kürzen. Ich hab irgendwo mal aufgeschnappt, dass die Struktur eine kommutative Algebra sei oder etwas ähnliches. Naja jedenfalls wäre ich sehr dankbar ihr würdet mich aufklären bzw entsprechende Literaturhinweise geben
Danke!
McDanielz
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46765
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-04
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Hi McDanielz,
das Stichwort ist "bürgerlicher Größenbereich".
Aber ich bin sehr verwundert, dass du das anscheinend nicht kennst, obwohl dein Thema im Unterforum Didaktik steht.
Diese Leute, die Didaktiker, tun nämlich genau das.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 04.08.2012 16:43:29 ]
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McDanielz
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Dabei seit: 04.06.2012
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-04
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Danke für die Antwort,
Das mit den Größenbereichen ist mir bekannt, allerdings werden wenn mich nicht alles täuscht damit nur positive Größen abgedeckt. Warum werden die "negativen Größen" wie z.B. -2 Meter oder -5 °C, denen ich natürlich auch eine Bedeutung zukommen lassen kann und damit auch gerechnet wird, nicht mit einbezogen?
McDanielz
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
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Wohnort: Dresden
| Beitrag No.3, eingetragen 2012-08-04
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\quoteon(2012-08-04 17:23 - McDanielz in Beitrag No. 2)
... Warum werden die "negativen Größen" wie z.B. -2 Meter oder -5 °C ... nicht mit einbezogen?
\quoteoff
Hi McDanielz,
welch eine Frage!
Natürlich kann man auch negative Größen betrachten, es gibt kein Hindernis, das zu tun.
Aber es ist nun einmal so, dass man beim Aufbau mathematischer Systeme Schritt für Schritt vorgeht. Wenn man sich also mit bürgerlichen Größenbereichen befaßt, hat man genug damit zu tun, erstmal die Eigenschaften, die nur von positiven Größen handeln, zu bestätigen.
Ist man damit fertig, zieht man negative Größen mit hinzu.
Wenn du so etwas nirgends findest, dann kannst du es dir auch selbst zurechtmachen.
Weitere Nachfragen kann ich nur dann beantworten, wenn du näher erklärst, warum du an solch einer Erweiterung interessiert bist.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 04.08.2012 17:39:53 ]
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McDanielz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.06.2012
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-04
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Nunja ich bin angehender Physiker und möchte einfach nur Wissen welche Axiome meine Rechnungen unterfüttern. Bei den Zahlen sinds jedenfalls für mich als Physiker die Körperaxiome der Komplexen Zahlen. Darauf kann ich alle Rechnungen zurückführen. Allerdings nur die ohne Einheiten denn von denen weiß ich (noch) nicht auf was ich die zurückführen soll. Das wäre im wesentlichen mein Grund für eine solche Erweiterung wobei ich beim besten Willen nicht glauben kann, dass es sowas noch nicht gibt. Es wäre doch nichts naheliegender, oder? Und by the way, wie siehts mit "reellen Größen" aus?
McDanielz!
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Buri
Senior
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Mitteilungen: 46765
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.5, eingetragen 2012-08-04
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\quoteon(2012-08-04 18:13 - McDanielz in Beitrag No. 4)
... ich bin angehender Physiker und möchte einfach nur Wissen welche Axiome meine Rechnungen unterfüttern.
\quoteoff
Hi McDanielz,
dann bleibe doch bei der physikalischen Interpretation der Welt und mache dir keine Sorgen um Axiome.
Axiome dienen gewissermaßen dazu, vorgestellte Welten wiederzuspiegeln, sie erheben keinen Anspruch darauf, die wirkliche Welt wiederzugeben.
Es sind nur Modelle.
Das Rechnen mit komplexen Zahlen ist Handwerk.
Man muß es irgendwie erlernen, wie das geht, aber nicht unbedingt mit Axiomen, sondern eher praktisch, mit Rechenregeln.
Genauso ist es mit den physikalischen Größen.
Wie man sie einführt und mißt, weißt du doch aus der Schule.
Laß dir nicht einreden, dass da noch etwas Tieferes dahintersteckt, sondern vertraue darauf, was du schon weißt, und denke physikalisch, wenn du das kannst.
Gruß Buri
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McDanielz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.06.2012
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-04
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Hm sowas ähnliches hat D'Alembert auch geantwortet als seine Studenten ihn gefragt haben, warum der Calculus mit infinitesimalen Zahlen oder Fluxionen funktioniert, den Newton und Leibniz eingeführt haben."Einfach anwenden, der Glaube kommt dann schon"^^. Heute gibts eine vernünftige Antwort(Stichwort Grenzwert).
Ich weiß worauf du hinaus willst, Buri, und womöglich hast du praktisch gesehen Recht mit dieser Einstellung. Trotzdem werd ich weiter darüber Grübeln, sind ja schließlich Semesterferien;).
Auf jedenfall Danke für deine Antworten!
McDanielz
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2012-08-04
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Zu #0, die Frage nach der algebraischen Struktur.
In der Physik bildet jede Größenart (die untrennbar mit ihrer Dimension, i.b. Einheit lebt) einen *Modul* (Verallgemeinerung des Vektorraumes) über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen.
So ist etwa für die Größenart g über dem Körper (K;+,·) und ein reelles Vielfaches k:
(g1 · g2) · k = g1 · (g2 · k)
(g1 + g2) · k = g1 · k + g2 · k
g · (k1 + k2) = g · k1 + g · k2
[Schreibfehler korrigiert]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
0
[ Nachricht wurde editiert von cis am 05.08.2012 09:08:34 ]
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ZetaX
Senior
Dabei seit: 24.01.2005
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Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.8, eingetragen 2012-08-04
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Eigentlich möchtest du sogar die von den Einheiten erzeugte IZ^n-graduierte Algebra (n sei die Zahl der Einheiten). Das klingt vielleicht hochgestochen, aber was es schlussendlich heißt ist simpel: Man kann darin alle mit +-*/ sowie Zahlen (einen Grundkörper muss man sich sowieso noch wählen) und allen Einheiten gebildeten Terme betrachten. Ein Term heißt dann homogen, wenn er effektiv nur ein Produkt aus Vorfaktoren und Einheiten (und deren Inversen) ist; z.B. wäre 4 m²/(kg)³ von dieser Form, m²+3m hingegen nicht. Das Produkt homogener Terme ist dann wieder homogen, und die Summe zweier gleichartiger (formal: gleichen Grades) homogener Terme ist wieder homogen. Letzteres gibt in etwa wieder, dass man nur Dinge gleicher Einheit addieren sollte.
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McDanielz
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.06.2012
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-04
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Vielen Dank für die neuen Antworten!
@ZetaX: hast du auch eine entsprechende Quelle/Literaturverweis? Wäre dafür sehr dankbar.
McDanielz
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ZetaX
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Dabei seit: 24.01.2005
Mitteilungen: 2804
Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.10, eingetragen 2012-08-04
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\
Quellen \(außer die Wikipedia für die im folgenden verwendeten Begriffe\) kann ich so keine angeben. Aber was man tut ist folgendes:
Sei R ein kommutativer Ring und G eine beliebige Gruppe, so bildet man den Gruppenring R[G].
Siehe hier.
\
Als Physiker veranschaulicht man sich diesen am besten als alle denkbaren endlichen Summen von Gruppenelementen mit Vorfaktoren \(siehe die zweite Eigenschaft im Link\).
R[G] ist genau dann kommutativ, wenn G es ist.
In deinem Fall möchtest du R als den Ring aller für dich denkbaren Konstanten wählen, also wohl \IR oder \IC. Wenn du nun n verschiedene Einheiten x_1, x_2, ..., x_n hast, so wähle G=\IZ^n als die Summe von n vielen Kopien der ganzen Zahlen \IZ.
Ein typischer physikalischer Term hat dann die Form c*x_1^(a_1)*...*x_n^(a_n) mit ganzen Zahlen a_i und einem Vorfaktor c. Im Gruppenring schreiben wir dieses Element als c*\( a_1,...,a_n \), diese sind genau die homogenen Elemente, auch Monome genannt. Multipliziert man zwei solcher Terme im Gruppenring, so multiplizieren sich die Vorfaktoren und es addieren sich die Exponenten a_i, genau wie es sein sollte. Hat man zwei Terme mit gleichen Exponenten, so addiert man diese, indem man die Vorfaktoren addiert; das ist auch genau die Addition aus dem Gruppenring.
Der Gruppenring ist im allgemeinen kein Körper, in obigem Fall erhalten wir einen Integritätsring der Charakteristik 0 und können den Quotientenkörper bilden. Das erlaubt dann die Division durch beliebige von 0 verschiedene Terme. Praktisch sollte man das aber nicht benötigen.
Es kann noch sein, dass du rationale oder gar reelle Exponenten erlauben möchtest, z.B. weil Quadratwurzeln vorkommen. Dann ersetze einfach \IZ^n durch \IQ^n oder \IR^n.
Schlussendlich ist dieses Kontrukt aber nur eine technische Abstraktion dessen, was du sowieso tust. Statt defintionsgetreu im Gruppenring zu rechnen ist es angenehmer und gewohnter, die Monome wie zuvor als c*x_1^(a_1)*...*x_n^(a_n) auszudrücken, was man per Konvention natürlich auch darf \(wir legen also einfach fest, dass dieser Term das entsprechende Element des Gruppenrings bedeuten soll\).
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McDanielz
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-05
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